第八章_假设检验

第八章 假设检验

【授课对象】理工类本科三年级 【授课时数】4学时

【授课方法】课堂讲授与提问相结合

【基本要求】1、理解显著性检验的基本思想，掌握显著性检验基本步骤和可能产生的两类错

误；

2、掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验；

3、知道总体分布假设的2χ检验法。

【本章重点】单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

【本章难点】两个正态总体的均值和方差的假设检验；总体分布假设的2χ检验法。 【授课内容及学时分配】

§8.1 假设检验的基本思想

假设检验是统计推断的另一类问题。在总体的分布函数完全未知或只知其形式，但不知其参数的形式的情况下，为了推断总体的某些性质，提出了关于总体的某些假设。例如：提出某一总体服从泊松分布的假设；又如，对于正态总体提出其期望等于0μ的假设等。假设是对未知参数θ在参数空间Θ中什么部位的一种表述，而假设检验就是判断有关未知参数的两个互相对立的假设哪个正确（可接受）

0100::θθθθ>↔≤H H 其中0θ已知

假设0H 称为原假设（零假设），而放在后面的假设1H 称为对立假设（备择假设）。 为判断0H 正确还是1H 正确，需要对总体);(θx F 进行抽样),,,(21n X X X ，根据样本来作决定：接受0H 还是拒受0H ，这就是假设检验（显著性检验问题）。 下面结合例子来说明假设检验的基本思想和做法：

Eg 1：某车间用一台包装机包装葡萄糖，包的得袋装糖重量是一个服从正态分布的随机变量。当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤。某日开工后为检验包装机是否正常，随机的取出9袋，称得重量为（公斤）：

0.497，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.520，0.515，0.512

问机器是否正常？

分析：以σμ,分别表示这一天袋装糖重总体X 的均值和标准差，由于长期实践表明标准差比较稳定，故设015.0=σ，于是)015.0,(~μN X ，μ未知。问题是根据样本观察值来判断

5.0=μ还是5.0≠μ，为此我们提出假设：

5.0:00==μμH 和01:μμ≠H

这是两个互相对立的假设。若在原假设0H 成立的条件下，总体).,.(N ~X 2015050，即统计量),(N ~..X U 10015

05

0-=

，当不0H 成立时，由于X 是以μ为中心，而50.≠μ，所以X 将会偏离0.5较远，从而U 就有变大的趋势。由此，一个很自然的想法，U 大到一定程度时就应当拒绝0H ，那么，到底大到什么样的程度呢？这里用到的基本思想是反证法的思想，其主要理论依据是“小概率事件在一次观测中一般不会出现”，这是一种带有概率性质的反证法。并且该反证法得到结论的说服力的大小就取决于小概率事件的概率小的程度，其概率愈小，否定原假设的说服力就愈强。

§8.2 参数的假设检验

我们这里仅介绍总体X 的分布为正态时的几种显著性检验的方法。正态分布),(2σμN 含有两个参数μ和2σ，因此，这里的假设都是对这两个参数的假设。 一、U -检验：

设总体服从正态分布，在方差已知的条件下，若对期望进行检验，可用U -检验。 1.单个正态总体的U -检验法： (1)双侧检验

设总体),(~2

0σμN X ，其中2

0σ已知，μ未知，),,,(21n X X X 为从X 中抽取的一个简单随

机样本，要检验假设： 0100:,:μμμμ≠=H H （双侧检验）

在前面的学习中我们知道，∑==n

i i X n X 1

1是μ的无偏估计，若原假设0H 成立时，则0

μ-X 应有偏小的趋势，而由抽样分布定理知此时),

(~2

00n

N X σμ，从而统计量

)1,0(~0

N n X U σμ-=

。显然，当1H 成立时，U 有偏大的趋势。对给定显著水平α，为使

犯第二类错误的概率最小，查正态分布分位数表求出2/1α-u 使

ααασμααα=+--=-<+>=>-=

---2/)2/1(1}{}{}{2/12/12/10

u U P u U P u n X U P

这样我们便得到了检验的拒绝域}{2/1αμ->=u W ，即}{2/12/1ααμμ---<>=u u W 或。

Eg1：糖厂用自动包装机进行包糖，要求每袋0.5公斤，假定该机器包装重量

)015.0,(~2μN X ，现从生产线上随机取九袋乘重得509.0=X ，问该包装机生产是否正常？ 解：由题意有包装机装糖重量)015.0,(~2μN X ，要检验假设

5.0:,5.0:10≠=μμH H ，由于22

0015.0=σ已知，可用U -检验，取显著水平05.0=α，查表

得96.1975.02/1==-μμα，而96.18.1015

.0)

5.0509.0(9<=-=

U 没有落入拒绝域W 内，所以由该

样本，还没有得到足够的理由来拒绝原假设0H ，故接受原假设，即生产正常。

上述这种假设，其备择假设01:μμ≠H 表明期望值μ可能大于0μ，也可能小于0μ，我们称

这种检验为双侧检验。这种检验对给定的显著性水平α，按照“使犯第二类错误的概率最小”的原则所确定的拒绝域}{2/12/1ααμμ---<>=u u W 或，是小于一个给定较小的数而大于一个给定较大数的所有数值的集合，该拒绝域不能用一个区间来表示。 (2)单侧检验：

有时，我们只关心总体的期望是否增大，如产品的质量、材料的强度、元件的使用寿命等是否随着工艺改革而比以前提高，此时需检验假设0100:,:μμμμ>≤H H ，还有一些问题，如新工艺是否降低了产品中的次品数，此时要检验假设0100:,:μμμμ<≥H H ，像这种备择假设)(:001μμμμ<>或H 表示期望值只可能大于0μ（或只能小于0μ），这种检验称为单侧检验。对于单侧检验，最终得到的拒绝域的形式又如何呢？下面以假设0100:,:μμμμ>≤H H 为例给予讨论：

当2

02σσ=为已知时，仍用U -检验。统计量n X U 0

σμ-=

只有当01:μμ>H 成立时有变

大的趋势，因此，对于给定的显著性水平α，该检验的拒绝域应取为

}{1αμ->=u W 。

同理，对于假设0100:,:μμμμ<≥H H 在给定的显著性水平α，该检验的拒绝域应取为

}{1αμ--<=u W 。

Eg2：设某电子产品平均寿命5000小时为达到标准，现从一大批产品中抽出12件试验结果如下：5059，3897，3631，5050，7474，5077，4545，6279，3532，2773，7419，5116

假设该产品的寿命)1400

,(~μN X ，试问此批产品是否合格？ 解：由题意可知该产品寿命)1400

,(~μN X ，要检验假设 5000:,5000:10<≥μμH H ，计算知1400,12,49860===σn x ，则

1400

)

50004986(120

-=

-=

n X U σμ，取05.0=α，查得645.195.01==-μμα，拒绝域

}{}{10

01ααμσμμ---

<=-<=n

x u W ，

此时6.4943645.112

1400500010

0≈⋅-

=-

-αμσμn

，而6.49434986>=x ，故可接受0H ，即认