第6章测量误差及数据处理的基本知识

解： m1 = mkm L 1 , m2 = mkm L 2 , m3 = mkm L 3 ∵ λ λ ∴ pi = 2 = 2 mi mkm ⋅ L i λ 令c = 2 ,则 mkm c pi = Li 1 取c = 1,则pi = ,即1km高差的权为单位权 Li 2 若取c = 2,则pi = ,即2km高差的权为单位权 Li
解：计算两组观测值的中误差，来比较两组的精度。 计算两组观测值的中误差，来比较两组的精度。
第一组的精度比每二组高。 第一组的精度比每二组高。
容许误差（极限误差）
∆容 = 3m或2m
相对误差
误差的绝对值 1 相对误差 = = 观测值 M
6.5 误差传播定律
设独立观测值的函数为 Z = f(x1 , x2 ,...,xn ) 按泰勒级数展开 ∂f ∂f ∂f Z +ΔZ = f(x1 , x2 ,...,xn ) + ( Δx1 + Δx2 + ... + ∂xn Δxn) ∂x1 ∂x2 ∂f ∂f ∂f 故ΔZ = ( Δx1 + Δx2 + ... + ∂xn Δxn) ∂x1 ∂x2
6.6 同精度直接观测平差 求最或是值
Δ =l Δ =l
1 2
1
− X
2
− X − X
⋯⋯
Δ
n
=
l
n
[Δ] [l ] = − X ∴ n n 算术平均值L [Δ] =0 ∵ lim n→ ∞ n 最或是值 = 算术平均值 [l ] L = n = [l ] [Δ] = X + n n
求观测值的中误差
mhAC = ±
∴
mhAB + mhBC = ±
2
2
0.012
2
+ 0.009 = ±0.015m
2
h
AC
= +21.223 ± 0.015(m)
例3.用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段
的中误差为±5mm，求全长D及其中误差。
解：全长D = 30 × 10 = 300m 但D = l1 + l2 + ... + l10 m D = m l n = ± 5 × 10 = ± 16mm ∴ D = 300 ± 0.016(m)
真误差 ∆i = l i − X 最或是误差 v i = li − L (1) − (2) : ∆i − v i = L − X 令 δ = L − X ,则Δ i = δ + v i n个如上式子两边平方 [ΔΔ] = [vv] + n ⋅ δ 由（2）得[v] 故[ΔΔ]
2
(1) (2)
求和得 + 2δ [v]
2 1 2 x1 2 x2 2 2 2 xn
例1.量得某圆形建筑物的直径D=34.50m,其中误 差 mD = ±0.01m ,求建筑物的园周长及其中误差。 解：圆周长
P =πD = 3.1416 × 34.50 = 108.38 中误差mP =π⋅ mD = 3.1416 ×( ±0.01) = ±0.03m 结果可写成P = 108.38 ± 0.03(m)
确定权的方法
例5:在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数
n1`n2`n3进行观测，得相应的算术平均值为L1`L2`L3, 求L1`L2`L3的 权。
解：设各观测值的中误 差分别为m1, m2, m3。若观测一次的中误差 为m,则 m1 = m n1 , m2 = m n2 , m3 = m n3
2
[ΔΔ] m = = 2 n n 故[ΔΔ] = m 2 + [vv] n ⋅ m 2 = m 2 + [vv] ∴m = ± [vv] （贝赛尔公式） n −1 最或是值 （ 算术平均值 ） 的中误差为 M= m [vv] =± n(n − 1) n
例4. 对某段距离用同等精度丈量了6次，结果列于下表，求这 段距离的最或是值，观测值的中误差及最或是值的中误差。
不同精度观测的最或是值
设对某角进行了两组观测，第一组测n1个测回，其平 均值为L1,第二组测n2个测回，其平均值为L2 L ′ +L ′ +⋯+L ′ +L ′′+L ′′ +⋯+L ′′ n1 1 2 n2 最或是值L = 1 2 n1 + n 2 ∵ L ′ + L ′ + ⋯ + L ′ = n1L 1； L ′′ + L ′′ + ⋯ + L ′′ = n2L 2 1 2 n1 1 2 n
2 x2
2 xn
或m Z = ±
∂f ∂x m 1
∂f + ∂x m 2
2
∂f + ... + m ∂x n
2
2 xn
求任意函数中误差的步骤
列函数关系式 全微分 求出中误差关系式
例题一：设在三角形 直接观测∠ 和 例题一：设在三角形ABC中,直接观测∠A和∠B，其 中 直接观测 ， 中误差分别为m ± 和 中误差分别为 A=±3”和mB=±4”，试求由∠A和∠B ± ，试求由∠ 和 计算∠ 的中误差 的中误差m 计算∠C的中误差 C 。 解：函数关系式为： ∠C= 1800-∠A-∠B 函数关系式为： ∠ ∠
当λ = 4′′2时，p 1 =
2
λ λ λ 当λ = 36′′ 时，p 1 = 2 = 36, p 2 = 2 = 9, p3 = 2 = 4 m1 m2 m3
单位权和单位权中误差
单位权：权为1时的权 单位权中误差：与单位权对应的观测值 的中误差。常用 µ 来表示
λ 2 2 由p = 2 得，当p = 1时,λ = m =μ m 即单位权中误差也是可以任意选定的。
次序 1 2 3 4 5 6 观测值(m) 346.535 346.548 346.520 346.546 346.550 346.537 v(mm) -4 +9 -19 +7 +11 -2 [v]=2 vv(mm2) 16 81 361 49 121 4 [vv]=632
L = 346.539
[vv] 632 =± n−1 6−1 m ± 11.2 M= = = ± 4.6mm n 6 m=± ∴ L = 346.539 ± 0.005m
将N个关系式平方后再总和得
∂f ∂f ∂f [ΔZ ] = [Δx ] + [Δx ] + [Δx ] + ... + ∂x ∂x ∂x 1 2 n ∂f ∂f ∂f ∂f 2 ∂x [Δx ⋅Δx ] + 2 ∂x [Δx ⋅Δx ] + ∂x ∂x 1 1
n
0.130 0.117 0.074 0.068 0.049 0.037 0.018 0.012 0 0.505
0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1.0 1.0~1.2 1.2~1.4 1.4~1.6 1.6以上 1.6以上
21 19 15 9 9 5 1 1 0 80
偶然误差的特性
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值，即超过一定限值的误差，其出现的概率为零 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； 绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；
偶然误差的数学期望为零，即
E (∆) = 0 [∆] lim =0 n →∞ n
评定精度的标准
2
2
2 2
∂f ] + ... + ∂ x [Δx n
2
2
2 n
]
两边除以N得 当N → ∞ 时 m
2 Z
∂f = ∂x m 1
2 x1
∂f + ∂x m 2
2 2 x1
2 x2
∂f + ... + m ∂x n
2
= [l ] − n ⋅ L = 0
= [vv] + n ⋅ δ
∵δ = L − X = ∴δ 2 =
(l − X) + (l 2 − X) + ... + (l n − X) [Δ] [l ] −X = 1 = n n n
1 2 2 (Δ 1 + Δ2 + ... + Δn + 2Δ 1Δ2 + 2Δ 1Δ3 + ... + 2Δ n − 1Δn ) 2 n2 [ΔΔ] 2(Δ 1Δ2 + 2Δ 1Δ3 + ... + 2Δ n − 1Δn ) = + n2 n2
∂f = −1 ∂A
2 C 2
∂f = −1 ∂B ∂B
2 A 2 2 B
′′ 2 +4′′ 2 = 5′′ 2 m = ( −1) m + ( −1) m =3
mC = ±5′′
常用函数的中误差公式
1.倍数函数Z = kx ⇒ mZ = kmx
2 x1 2 x2
2.和差函数Z = x1 ± x 2 ⇒ mZ = ± m + m 3.线性函数Z = k 1x1 ± k 2x 2... ± k nxn ⇒ mZ = ± k m + k2 m + ... + kn m
权和中误差
λ m2 λ λ λ ∴ p1 : p 2 : ⋯ : p n = 2 : 2 : ⋯ 2 m1 m 2 mn 权的定义：p =
2 或p1m12 = p 2m2 = ⋯ = p nmn =λ 2
例7：已知观测值L 1, L 2 , L 3 ,其中误差分别为 m1 = ±1′′ , m2 = ±2′′, m1 = ±3′′,则它们的权为 当λ = 1′′2时，p 1 = λ λ 1 λ 1 = 1, p2 = 2 = , p3 = 2 = 2 m1 m2 4 m3 9 λ λ λ 4 = 4, p 2 = 2 = 1, p3 = 2 = 2 m1 m2 m3 9
2 2 2 2 2 1 n 1 2 1 3 2 3
2
2
2
∂f ∂f ... + 2 ∂x ∂x n−1
[Δx n−1 ⋅Δxn ] n
当N → ∞ 时 [ΔZ
2
∂f ]= ∂ x [Δx 1
2
2
2 1
∂f ]+ ∂ x [Δx 2
λ λ λ 相应的权为：p i = 2 = 2 = 2 ni m mi m ni λ ,则p i = c ⋅ ni 2 m 若取c = 1,则p i = ni 令c =
例6:用同样观测方法，经由长度为L1,L2,L3的三条不同路
线，测量两点间的高差，分别得出高差为h1,h2,h3。已 知每公里的高差中误差为mkm,求三个高差的权。
偶然误差的特性
真误差的定义：
误差的区间
∆ =l− X l : 观测值， X : 真值
为负值 频率 v i wk.baidu.com正值
∆
个数
∆
个数 vi 21 19 12 11 8 6 3 2 0 82
vi
频率 v i
n
0.130 0.117 0.093 0.056 0.056 0.031 0.006 0.006 0 0.495
例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、 例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、水准 仪视准轴误差、 经纬仪视准轴误差。 仪视准轴误差、 经纬仪视准轴误差。
偶然误差
偶然误差：在相同观测条件下，对某一未知量
进行一系列的观测，从单个误差看 其大小和符号的出现，没有明显的 规律，但从一系列误差总体看，则 有一定的统计规律。
方差的定义： 中误差的定义： 中误差的估值：
σ = D( ∆ ) = E ( ∆2) = lim n→∞
[ ∆∆ ] n
ˆ m =σ = ±
[ ∆∆ ] n
例题： 个三角形的内角进行了两组观测， 例题：对10个三角形的内角进行了两组观测，观测结果 个三角形的内角进行了两组观测 如表，试比较两组观测的精度高低。 如表，试比较两组观测的精度高低。
例2. 水准测量从A进行到B, 得高差h AB = +15.476m,中误差m hAB = ±0.012m, 从B到C得高差
h
BC
= +5.747m,中误差
m
hBC
= ±0.009m,求A, C两点间的高
差及其中误差。
解： AC = hAB + hBC = +15.476 + 5.747 = +21.223m h
第6章 测量误差的基本知识
误差的概念及来源
仪器误差 观测误差 外界环境 误差=观测值-真值
误差的分类
粗差 系统误差 偶然误差
观测条件
系统误差
系统误差：在相同观测条件下，对某一未知量
进行一系列的观测， 若误差的大小 和符号保持不变或按照一定的规 律变化。
系统误差特点： 系统误差特点： 特点
具有积累性，对测量结果的影响大， 具有积累性，对测量结果的影响大， 但可通过一般的改正或用一定的观测方 但可通过一般的改正或用一定的观测方 法加以消除。 法加以消除。