力矩转动定律转动惯量

M 21
O
r1
d
r2
2
1
F12
刚体内所用力与反 作用力互相抵消， 即刚体内合内力矩 为零
F21
（3）由(1)(2) 合力矩=合外力矩
M12
M Me
3
物理学
第五版
二
转动定律
4-2 力矩
转动定律
转动惯量
Ft
（1）刚体上的一个质点m 绕 定轴转动
z
M
O
M rF sin θ F sin θ Ft mat mr
F Fi 0, M i 0 i i
1
F
物理学
第五版
4-2 力矩
转动定律
转动惯量
讨论 （1）合外力矩等于各外力分力矩的矢量和
M M1 M 2 M 3 M r1 F1 r2 F2 r3 F3 M F1r1 sin 1 F2 2
第五版
细棒
L L
4-2 力矩
转动定律
转动惯量
m
1 2 J mL 3 1 J mL2 12
圆筒
细棒 薄圆环 圆柱体
m
R R
m m
J mR
1 J mR 2 2
2
球体
R m
2 2 J mR 5
1 2 J m( R12 R2 ) 2
11
7
物理学
第五版
4-2 力矩 四 平行轴定理
2
r
F
m Fn
M rFt mr
O
质量元受外力 Fej ，内力 Fij
（2）刚体
z
M ej M ij m j r j2
外力矩 内力矩
r j m j
Fej
Fij
4
物理学
第五版
4-2 力矩
转动定律
转动惯量
M ej M ij
外力矩
2 m j r j
对于绕定轴转动的刚体，J为恒量
5
物理学
第五版
4-2 力矩
2 M ( m j r j )α
转动定律
转动惯量
z
O
定义转动惯量
j
r j m j
Fej
J m r J r 2 d m
2 j j j
Fij
定轴转动定律
转动定律
M J
解决质点运动问题的基本定律：牛顿第二定律 F ma 解决刚体定轴转动问题的基本定律：转动定律 M J
m,l
θ
O FN mg
2l
d 3 g sin dt 2l

d 3g d sin θdθ dt 2l
3g (1 cos θ ) 积分得 ω l
18
0 d 0
3g sin θdθ 2l
r2 r1
r3 O
F2 r2 sin 2
Hale Waihona Puke BaiduF1
3 F3
1
F3r3 sin 3
2
物理学
第五版
4-2 力矩
转动定律
转动惯量
（2）刚体的合内力矩
质点间内力作用力和反作用力 Fij F ji
M M 21 M12 F21r2 sin 2 F12 r1 sin 1 F21d F12 d 0
mB PB y
15
RFT2 RFT1 J
a R
解得：
O
mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
物理学
第五版
4-2 力矩
如令 mC 0，可得
转动定律
转动惯量
mA mB g FT1 FT2 mA mB
转动定律
转动惯量
质量为m的刚体，如果对其 质心轴的转动惯量为JC，则对任 一与该轴平行，相距为d的转轴 的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md2
圆盘对P 轴的转动惯量
1 J P mR 2 mR 2 2
R
P
O
m
12
物理学
第五版
4-2 力矩
转动定律
O1
转动惯量
O1’
JO J C md2
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正 比，与刚体的转动惯量成反比.
6
物理学
第五版
4-2 力矩
讨论
转动定律
转动定律
j
转动惯量
2 J m j r j
M J


2 r dm
（1） M 一定，J 惯性大小的量度；
转动惯量J是转动
（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正； （3）J 和质量分布有关； （4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。
θ
O mg
17
物理学
第五版
4-2 力矩
转动定律
转动惯量
解 细杆受重力和铰链对细杆 的约束力 FN 作用，由转动定律 得 M r F
mgl sin J 3g 2 1 2 sin 式中 J ml 得
3 由角加速度的定义
l M m g sin( ) 1 2
物理学
第五版
4-2 力矩 一 力矩
用来描述力对刚体的转动作用．
转动定律
转动惯量
M Fd Fr sin
F 对转轴 z 的力矩 M r F
矢量叉乘 参见 P339
d: 力臂
z
O
M
F
r
d
*

P
F F Fi 0, M i 0 i i
第五版
4-2 力矩
转动定律
转动惯量
例3 一长为 l 、质量为 m 匀质细 杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动．由于此竖 直放置的细杆处于非 稳定平衡状态，当 其受到微小扰动时，细杆将在重力 作用下由静止开始绕铰链O 转 动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度
m,l
mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
2 vt2 v0 2a( y y0 )
2mB gy v 2ay mA mB mC / 2
16
物理学
7
物理学
第五版
4-2 力矩 三 转动惯量
J
转动定律
转动惯量
理论计算
2 m r i i （分立）
2 r （连续） dm
单位： kg m2
J 的计算方法 质量离散分布
J mj rj2 m1r12 m2r22 mj rj2
质量连续分布
J m j rj2 r 2dm
13
物理学
第五版
4-2 力矩
转动定律
转动惯量
例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面上，和一质量 不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆 柱形滑轮C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖直悬 挂．滑轮与绳索间无滑动， A a C mC 且滑轮与轴承间的摩擦力可 mA 略去不计．(1)两物体的线 at=a 加速度为多少?水平和竖直 FN 两段绳索的张力各为多少? mA FT1 B m (2) 物体 B 从静止落下距离 B O x y 时，其速率是多少? P
A
a
14
物理学
第五版
解 (1) 用隔离法分 别对各物体作受力 分析，取如图所示 坐标系．
4-2 力矩
转动定律
转动惯量
FT1 mA a mB g FT2 mBa
FN mA FT1 O x PA
mB g a mA mB mC 2
FT1
PC
FC
FT2 FT2
z
O
内力矩
r j m j
Fej
M M ej M ij m j r j2
M ij 0
j
2
Fij
j
j
M ( m j r j2 )α
j
j
其中 mi ri 只与刚体的形状、质量分布及转轴位置有关， 即只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关，叫 做转动惯量，J表示。
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J 1 J c mL2 12
L 2 1 2 J J c m( ) mL 2 3 转动定律应用 M J
说明
d=L/2
O2
O2’
(1) M J , 与M方向相同． (2) 为瞬时关系． (3) 转动中 M J 与平动中 F ma 地位相同．
j
r 2dV
V
dm ：质量元 d V ：体积元
8
物理学
第五版
4-2 力矩
说明
转动定律
转动惯量
刚体的转动惯量与以下三个因素有关： （1）与刚体的体密度
有关．
（2）与刚体的几何形状有关．
（3）与转轴的位置有关．
9
物理学
第五版
4-2 力矩
转动定律
转动惯量
例 求一质量为 m，长为l 的均匀细棒的转动惯量。 （1）轴通过棒的一端并与棒垂直。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
z
o x dm dx x
M dm dx 解: L M 2 2 x dx dJ x dm L
L 2
M 1 J x dx ML2 0 L 3 1 L 2 2 M J 1 x dx 2L L
1 ML2 12
A
L/2
C
L/2
B
x
10
物理学