函数的微分法

dy dx

dy du

du dx

1 u

cos
x

cos sin
x x
cot x
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20
例8 求 函 数 y ( x2 1)10 的 导 数. 解 dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
dx 10( x 2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
(ln x) 1 , (cos x) sin x. x
dy cos x 1 dx ln x ( sin x)dx x
(cos x ln x sin x)dx. x
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26
例13
设
y

1 1

x2 x2
,
求dy.
解
dy

(1

x2 )d (1
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19
推论 设 y f (u), u (v), v ( x),
则 复 合 函 数y f {[ ( x)]}的 导 数 为
dy dy du dv . dx du dv dx
例7 求函数 y lnsin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
且 (log a
y)
1 y ln a
0,
在 I x (, )内 有
(a x ) 1 y lna a x ln a.
(log a y)
取a=e，有 (e x ) e x
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12
基本初等函数的导数公式：
(C ) 0
( x ) x 1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(secx) secx tan x (csc x) csc x cot x
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13
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
且
f ( x)
1 或 dy
( y) dx

1 dx
或yx

1 xy
dy
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
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9
证 f ( x)连续, y 0 (x 0),
又知( y) 0

f
( x)

lim
x0
y x

lim
y 0
1 x

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22
例10
求函数 y ln x2 1 ( x 2) 的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3

y

1 2

x
1 2
1

2
x

3(
1 x
2)
x
1

x2
1
3( x

2)
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23
例11
证 明 ：( x ) x 1 ( R, x 0).
x

sec2
x
即 (tan x) sec2 x
同理可得 (cot x) csc2 x
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7
例4 求 y secx 的导数.
解 y (sec x) ( 1 ) cos x

(cos cos2
x) x

sin x cos2 x
secxtanx 即 (secx) secx tan x
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
u( x h) u( x)
lim v( x h) v( x)
h0
h
lim u( x h)v( x) u( x)v( x h)
h0
v( x h)v( x)h
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3
lim [u( x h) u( x)]v( x) u( x)[v( x h) v( x)]
ki
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5
例1 求 y 2x2 sin x 3的导数.
解 y 4x cos x
例2 求 y sin2x ln x 的导数.
解 y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x 2sin x cos x 1 x
1 lim x
1
y y0 y
( y)
即 f ( x) 1 .
( y)
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10
例5 求函数 y arcsin x 的导数.
解

x

sin
y在 I y

(

2
, )内单调、可导,
2
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内 有
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可
微函数x (t), 则 dy f ( x)(t)dt (t)dt dx, dy f ( x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量, 函数
y f ( x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分形式的不变性
d (sin x) cos xdx d (cos x) sin xdx d (tan x) sec2 xdx d (cot x) csc2 xdx
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15
d (sec x) sec x tan xdx d (csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
(loga
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1
(arccos x) 1
1 x2
1 x2
(arctan x)

1
1 x2
(arc
cot
x )


1
1 x2
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14
基本初等函数的微分公式：
d(C ) 0
d ( x ) x 1dx
同理可得 (csc x) csc x cot x
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8
二、反函数的导数
定理2 设 x ( y)与y f ( x)互为反函数，函数
y f ( x)在 x 处连续，x ( y) 在与相对应的y 处 可导，且xy 0即( y) 0 , 则y f ( x)在x处可导 ,
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21
例9
求 函 数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的 导 数.
2
2
a
(a 0)
解 y ( x
a2

x2
)

a2 (
arcsin
x )
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2
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d(e x ) e xdx
1
d (loga
x)
dx x ln a
d(ln x) 1 dx x
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16
1
d(arcsinx)
dx
1 x2
1
d(arccos x)
dx
1 x2
1 d(arctan x) 1 x2 dx
d (arc
cot
x)


1 1 x2
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中
间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.
(链式法则)
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18
证 由于u ( x)在点x可导 , lim u 0 x0 于是 lim y lim y u x0 x x0 u x lim y lim u lim y lim u x0 u x0 x u0 u x0 x 即 yx f (u) ( x)
推论
(1) [Cf ( x)] Cf ( x)
(2)

1
f
(
x)

[
f ( x) f ( x) ]2
n
n
(3) [ fi ( x)] fi( x)
i 1
i 1
n
nn
[ fi (x)]
fi( x) fk ( x)
i 1
i1 k1
h0
v( x h)v( x)h
u( x h) u( x)
v( x h) v( x)
v( x) u( x)
lim
h
h
h0
v( x h)v( x)
u( x)v( x) u( x)v( x)

[v( x)]2
f ( x)在x处可导.
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4
(arcsin x) 1
(sin y)
1 cos y
wk.baidu.com
1 1 sin2 y
同理可得
1 1 x2
(arccos x)
1 1 x2
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11
例6 求 函 数 y a x 的 导 数.
解 x log a y在 I y (0, )内 单 调 、 可 导,
解
dy alnsin x ln a d (ln sin x) alnsin x ln a 1 d(sin x) sin x alnsin x ln a cot xdx
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30
例16 设 y eax sinbx, 求dy.
解
dy eax cos bxd(bx) sin bx eaxd(ax)
eax cos bx bdx sin bx eax (a)dx eax (b cos bx a sinbx)dx

x2 ) (1 (1 x2 )2
x2
)d(1
x2)


2x(1
x2 )dx 2x(1 (1 x2 )2
x2 )dx
4x (1 x2 )2 dx
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27
2. 复合函数的微分
设函数y f ( x)有导数 f ( x), (1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
第2节 函数的微分法
一、导数的四则运算
二、反函数的导数
三、复合函数的导数
四、函数的微分运算
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1
一、导数的四则运算
定理1 设函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它
们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也
可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
dx
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17
三、复合函数的导数
定理3 如果函数u ( x)在点 x 可导 , 而
y f (u)在点u ( x)可导 , 则复合函数
y f [( x)]在点 x可导, 且其导数为
yx

yu ux或yx

f (u)( x)或 dy
dx

dy du du dx
2cos 2x ln x 1 sin2x x
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6
例3 求 y tan x 的导数.
解 y (tan x) (sin x ) cos x

(sin
x)
cos x cos2
sin x
x(cos
x
)

cos2 x sin2 cos2 x
x

1 cos2
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28
例14 设 y sin(2x 1), 求dy.
解
y sin u, u 2x 1.
dy cos udu
cos(2x 1)d(2x 1)
cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx
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29
例15 设 y alnsin x (a 0), 求dy.
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[ u( x)] v( x)
u( x)v( x) u( x)v( x) v2(x)
(v( x) 0).
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2
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0), v( x)
u vdu udv
d( ) v
v2
(v 0)
推论 (1) d(Cu) Cdu
1 dv
(2)
d( ) v
v2 (v 0)
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25
例12 设 y ln x cos x, 求dy.
解
dy cos x d(ln x) ln x d(cos x)
证
( x ) [(eln x ) ] (e ln x )
e ln x (ln x) e ln x 1 x 1
x
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24
四、函数的微分运算
1. 微分的四则运算
定理4 设函数u、v可微，则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv