含参不等式恒成立问题中-求参数取值范围一般方法

含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。

一、 分离参数

在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。

例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫

=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定

a 的取值范围。

解：根据题意得：21a

x x

+

->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，

设()2

3f x x x =-+，则()2

3924f x x ⎛

⎫=--+ ⎪⎝

⎭

当2x =时，()max 2f x = 所以2a >

在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若()()f a g x ≥恒成立，只须求出()max g x ，则

()()max f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；若()()f a g x ≤恒成立，只须求出()min g x ，则()()min f a g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。

例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞Q (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221

t a a t

+-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21

t f t t

+=

在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()2

2

211111124

t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 11,2t ⎡⎫

∈+∞⎪⎢⎣⎭Q

()()min 324f t f ∴==

234a a ∴-< 13

22

a ∴-<<

二、分类讨论

在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。

例3、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a -

<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 7

3a ∴≤又4a >所以a 不存在；

（2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫

=-=--≥ ⎪⎝⎭

62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤

（3） 当22

a

-> 即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又

4a <-74a ∴-≤<- 综上所得：72a -≤≤ 三、 确定主元

在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

例4、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：设()()()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立，

()()()()()()2221210202021210

x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪

∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩

解得：1122x -+<<

四、利用集合与集合间的关系

在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。

例5、当1,33x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。

解：1log 1a x -<

（1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫

⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3

113

a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩ 3a ∴≥

（2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13

13

a a

⎧≤

⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤

综上所得：1

03

a <≤

或3a ≥ 五、 数形结合

数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。

例6、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数a 的取值范围。

解：由题意知：23log a x x <在10,3x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

内恒成立，

在同一坐标系内，分别作出函数

23y x =和log a y x =

观察两函数图象，当10,3x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

时，

若1a >函数log a y x =的图象显然在函数23y x =图象的下方，所以不成立；

当01a <<时，由图可知，log a y x =的图象必须过点11,33⎛⎫

⎪⎝⎭

或在这个点的上方，

则，11log 33a

≥ 127a ∴≥

1

127

a ∴>≥ 综上得：1

127

a >≥

上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。