第二章多自由度机械系统的动力学建模
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s ,t s ,t r
) 注意到广义坐标为qs (s 1, 2 是独立无关的，得系 Q M q D q q 统运动方程： 表为矩阵形式： [Q] [M ][q] +[D][qt qr ] 或： [T ] [F ] [T ] [m][T ] [q]+[T ] [m][T '][q q ]
L T V d T s dt q T V q q Qs s s
T——动能 V——势能 L——拉氏函数（动势）
拉格朗日方程用高度统一规律描述了力学系 统动力学的运动规律，反映在： ①拉氏方程的形式不随广义坐标的选择而发 生变化； ②对惯性系统和非惯性系，拉氏方程的形式 都一样； ③拉氏方程中的广义坐标、广义速度、广义 动量、广义动能都比牛顿力学中的坐标、 速度、力、动量、动能具有更普遍的意义。 拉氏方程概括了质点、质点组、刚体各种 运动的动力学规律。
Qs qs
s
1 M st 1 d M q q M ( q q q q ) q q qr st s t s t s t st s t 2 dt s ,t qr r 2 s ,t 2ui ui ui 2ui 1 ( M st qt qs ) qr qs qt mi ( ) 2 q q q q q q s ,t s ,t r i s r t s t r ui 2ui M st qt qs mi qs qt qr qs qt qr s ,t s ,t r i M st qt qs Dstr qs qt qr
∑FNi · ri = 0
式中：FNi 表示第i个质点的约束反力；δ r i 表示第i个质点的虚位移。 常见理想约束包括:
光滑支承面 不可伸长的绳索 刚体的固定支点 连接两刚体的光滑铰链
连接两个质点的无重刚杆
2 虚位移原理
质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。
W = F· r W = M·
ri——虚位移
Fi Fxi i Fyi j Fzi k
∑Fi · ri = 0
ri xi i yi j zi k
ri xi i yi j zi k
( Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0
上式称为虚位移原理的解析表达式
应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：
i
s
s
记为
Qs qs
s
ui 1 d ui m q q s t i 2 dt s ,t i qs qt
i s s t
s
i
t
t
1d M q q st s t 2 dt s ,t
将此式进一步展开：
M motor mg R ai
[ J1 J 2
1 R 2 m （ ）] 2 i12 ia
小车变幅机构的平面运动的动力学模型
建立如图所示的坐标系 吊重的坐标为 rm x l sin( ), l cos( ) 小车的坐标为 rM x, 0
取广义坐标 为x(t)和φ(t)
第二章 多自由度机械系统的动力学建模方法
当广义坐标不止一个时，记广义坐标为 qs (s 1, 2 ) ，不失一般性，把系统外力F和力 ) 矩 统一记为 Fi (i 1, 2 ，把质量 m和转动惯量J ) 统一记为 mi (i 1, 2,对应的位移和转角统一记 为 u i ,速度为 vi (i 1, 2 ) 2．1 多自由度系统建模方法之一 （基于动能定理和广义可能位移原理）
如图所示起升机构，已知马达转矩Mmotor,减速器传 动比i,马达转角 ，卷筒半径R，滑轮组倍率a, 求动力学方程
起升机构
拉氏方程
d L i dt q
L q Qi i
设广义坐标 则:
q 1
2 2 J112 J 22 1 2 J112 J 22 1 T mv mx 2 2 2 2 2 2 2
u ui i qs s qs
m
u ui i qt t qt
i i i
ui 2ui ui ( qt qt qr ) q q q t r t t r
由 (F M u ) u 0 u u u u F q ( m q 得： q q q q q 故运动方程：
（1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；
（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分， 从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。
（一）虚功原理与达朗贝尔原理 虚功原理是关于力学系统平衡的一个普通原理， 解题方法一般归纳为： 1、判别约束是否为理想约束； 2、找出主动力及作用点； 3、确定自由度，并选择广义坐标； 4、由广义坐标和变换式把虚位移用广义坐标的变 分来表示； 5、由虚功原理写出平衡方程，由于广义坐标的变 分相互独立，所以可以较方便的求解。 达朗贝尔原理是力学体系动力学的一个普通方 程， 它考虑的是运动而不是静力学问题。
y
A M
rA rB
F
B
O
（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移； （2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许； （3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；
x
（4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
理想约束
质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的元功等于零，我们把这种 约束系统称为理想约束。
2．1．2基于广义可能位移原理的动力学普遍 方程： ( F M u ) u 0
i 1 m i i i i
ui 2ui Dstr mi [T ]T [m][T '] [ D] qs qt qr i
虚位移
1. 虚位移
质点系在给定瞬时，为 约束所允许的无限小位移— 虚位移
2．1．1 基于动能定理：
Fi vi
i
引入广义坐标 qs 得： F u q 1 d u q m u q q 2 dt q q
i i i s
1 d ( vi mi vi ) 2 dt i
i
由“运动”学
mi r i Fi Ri
（ Fi 主动力； R约束反力） i 变为平衡类型
Fi Ri m r i 0
这样把动力学的问题转变为静力学问题处 理，这就是著名的“动静法”。由于变为平 衡方程，所以完全可按虚功原理方法解决 有关问题。虚功原理与达朗贝尔原理一起 成为分析力学的最普遍原理的理论基础。
1. 2.
源自文库
首先正确判断力学体系的自由度，并选择 适当的广义坐标；。 判断是否是保守力场，从而决定选用方程 类别；是保守力场时采用： d L L
0 q dt q
不是保守力场，或力场性质不明及不易判 断情况下要采用一般形式的拉格朗日方程：
d T dt q T q Q 1,2 S
n
将坐标变换式代入上式，计算后求得。
②
按虚功求：
虚功原理用广义力与广义位移表示为： s W 故 W Q q 1,2 S Q
1
q
1 仅给广义坐标中之一 q的变化，其余 S 个 独立坐标不变，这样可求得所有主动力在 q 相应 上所做元功之和。 令 q1 0, 而q2 qa qs 则 0 W1 Q1 q1 同理，可求出 Q2 , Qa Q，或在约束条件 s q1 , q2 qs , 许可下， q 彼此独立。当 都不 为零时， 前的系数即为各广义力。 q
(t ) q x(t )
非保守广义力用 Q 描述
F D 0 D Q F q F q x
其中 D 则:
④拉氏方程是从能的角度去研究问题。当系 统的主动力为保守力系时，拉氏函数成为 力学体系的特征函数； ⑤拉氏方程的个数与力学体系的约束条件有 关。约束越多，方程数就越少，所以与牛 顿力学比较，对多约束的力学体系，拉氏 方程就愈能显示出它的优越性。但是拉氏 方程的物理图象不如牛顿力学直观，这是 它的不足之处。在应用拉格朗日方程解题 时一般方法是：
i 1 i
2 i i i i i s i t i s s i s t s t r t
qt qr ) qs
r
Qs M st qt Dstr qt qr
t t r
式中各项与前面的推导完全一致。 2．2 复杂机构系统的动力学建模方法之二 （拉格朗日方程法）
L T V d T s dt q T V q q Qs s s
3.
4.
求出的速度一定要采用绝对速度。这是动 能表达式中所需要的。 按广义坐标建立 S 个方程后，马上检查是 否存在循环坐标（拉氏函数中不显含某一 广义坐标 q i，此为循环坐标），马上就可 以写出它的第一积分 ； L 常数 q
若采用一般形式的拉格朗日方程，就要求 广义力。广义力的求法是：
①
5.
按定义求：
ri Q Fi ( 1,2 S ) q i 1
n
其中 Fi是作用在力学体系的第 i 个质点上 的主动力， ri 是第 i 个质点的位矢。在完 Q 整系中，广义力 与广义坐标相对应，它 们的个数都等于自由度数。广义力还可以 写成：
xi yi z i 1,2 S Q Fix Fiy Fiz q q q i 1
s st t str t r t t ,r
T
T
T
t r
式中 Qs——广义力 M st——二阶广义惯量 D ——三阶广义惯量
str
Qs Fi
i
ui [T ]T [ F ] [Q] qs
M st
i
ui u mi i [T ]T [m][T ] [M ] qs qt
T——动能 V——势能 L——拉氏函数（动势）
(二)拉格朗日方程
作为力学系统的运动规律，利用广义坐标从动力 学普遍方程推导出来的拉格朗日方程，对整个力 学体系的运动提供了一个统一而普遍的解法。拉 氏方程是完整理想的力学体系的最普遍的动力学 方程，它给解决动力学问题提供了一个高度统一 而又概括的方法。这种表述及其方法，不仅在力 学范畴有重要意义和实用价值，而且为研究近代 物理提供了必须的物理思想和数学技巧。
虚位移原理
Fi + FNi = 0
m1
Fi · ri + FNi · ri = 0
Fi mi m2
FNi
∑Fi · ri + ∑FNi · ri = 0
∑FNi · ri = 0 ∑Fi · ri = 0
ri
Fi ——主动力 对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用 于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和 等于零——虚位移原理 FNi——约束反力
V mg
R 1 ia
L T V
L x 1 J 1 1 ( 2 ) m( J 1 )x 1 1 1
1 i12 ， 2
L 1
v
1
R ia
L R m g 1 ai
广义力
得到运动方程:
) 注意到广义坐标为qs (s 1, 2 是独立无关的，得系 Q M q D q q 统运动方程： 表为矩阵形式： [Q] [M ][q] +[D][qt qr ] 或： [T ] [F ] [T ] [m][T ] [q]+[T ] [m][T '][q q ]
L T V d T s dt q T V q q Qs s s
T——动能 V——势能 L——拉氏函数（动势）
拉格朗日方程用高度统一规律描述了力学系 统动力学的运动规律，反映在： ①拉氏方程的形式不随广义坐标的选择而发 生变化； ②对惯性系统和非惯性系，拉氏方程的形式 都一样； ③拉氏方程中的广义坐标、广义速度、广义 动量、广义动能都比牛顿力学中的坐标、 速度、力、动量、动能具有更普遍的意义。 拉氏方程概括了质点、质点组、刚体各种 运动的动力学规律。
Qs qs
s
1 M st 1 d M q q M ( q q q q ) q q qr st s t s t s t st s t 2 dt s ,t qr r 2 s ,t 2ui ui ui 2ui 1 ( M st qt qs ) qr qs qt mi ( ) 2 q q q q q q s ,t s ,t r i s r t s t r ui 2ui M st qt qs mi qs qt qr qs qt qr s ,t s ,t r i M st qt qs Dstr qs qt qr
∑FNi · ri = 0
式中：FNi 表示第i个质点的约束反力；δ r i 表示第i个质点的虚位移。 常见理想约束包括:
光滑支承面 不可伸长的绳索 刚体的固定支点 连接两刚体的光滑铰链
连接两个质点的无重刚杆
2 虚位移原理
质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。
W = F· r W = M·
ri——虚位移
Fi Fxi i Fyi j Fzi k
∑Fi · ri = 0
ri xi i yi j zi k
ri xi i yi j zi k
( Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0
上式称为虚位移原理的解析表达式
应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：
i
s
s
记为
Qs qs
s
ui 1 d ui m q q s t i 2 dt s ,t i qs qt
i s s t
s
i
t
t
1d M q q st s t 2 dt s ,t
将此式进一步展开：
M motor mg R ai
[ J1 J 2
1 R 2 m （ ）] 2 i12 ia
小车变幅机构的平面运动的动力学模型
建立如图所示的坐标系 吊重的坐标为 rm x l sin( ), l cos( ) 小车的坐标为 rM x, 0
取广义坐标 为x(t)和φ(t)
第二章 多自由度机械系统的动力学建模方法
当广义坐标不止一个时，记广义坐标为 qs (s 1, 2 ) ，不失一般性，把系统外力F和力 ) 矩 统一记为 Fi (i 1, 2 ，把质量 m和转动惯量J ) 统一记为 mi (i 1, 2,对应的位移和转角统一记 为 u i ,速度为 vi (i 1, 2 ) 2．1 多自由度系统建模方法之一 （基于动能定理和广义可能位移原理）
如图所示起升机构，已知马达转矩Mmotor,减速器传 动比i,马达转角 ，卷筒半径R，滑轮组倍率a, 求动力学方程
起升机构
拉氏方程
d L i dt q
L q Qi i
设广义坐标 则:
q 1
2 2 J112 J 22 1 2 J112 J 22 1 T mv mx 2 2 2 2 2 2 2
u ui i qs s qs
m
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i i i
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由 (F M u ) u 0 u u u u F q ( m q 得： q q q q q 故运动方程：
（1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；
（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分， 从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。
（一）虚功原理与达朗贝尔原理 虚功原理是关于力学系统平衡的一个普通原理， 解题方法一般归纳为： 1、判别约束是否为理想约束； 2、找出主动力及作用点； 3、确定自由度，并选择广义坐标； 4、由广义坐标和变换式把虚位移用广义坐标的变 分来表示； 5、由虚功原理写出平衡方程，由于广义坐标的变 分相互独立，所以可以较方便的求解。 达朗贝尔原理是力学体系动力学的一个普通方 程， 它考虑的是运动而不是静力学问题。
y
A M
rA rB
F
B
O
（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移； （2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许； （3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；
x
（4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
理想约束
质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的元功等于零，我们把这种 约束系统称为理想约束。
2．1．2基于广义可能位移原理的动力学普遍 方程： ( F M u ) u 0
i 1 m i i i i
ui 2ui Dstr mi [T ]T [m][T '] [ D] qs qt qr i
虚位移
1. 虚位移
质点系在给定瞬时，为 约束所允许的无限小位移— 虚位移
2．1．1 基于动能定理：
Fi vi
i
引入广义坐标 qs 得： F u q 1 d u q m u q q 2 dt q q
i i i s
1 d ( vi mi vi ) 2 dt i
i
由“运动”学
mi r i Fi Ri
（ Fi 主动力； R约束反力） i 变为平衡类型
Fi Ri m r i 0
这样把动力学的问题转变为静力学问题处 理，这就是著名的“动静法”。由于变为平 衡方程，所以完全可按虚功原理方法解决 有关问题。虚功原理与达朗贝尔原理一起 成为分析力学的最普遍原理的理论基础。
1. 2.
源自文库
首先正确判断力学体系的自由度，并选择 适当的广义坐标；。 判断是否是保守力场，从而决定选用方程 类别；是保守力场时采用： d L L
0 q dt q
不是保守力场，或力场性质不明及不易判 断情况下要采用一般形式的拉格朗日方程：
d T dt q T q Q 1,2 S
n
将坐标变换式代入上式，计算后求得。
②
按虚功求：
虚功原理用广义力与广义位移表示为： s W 故 W Q q 1,2 S Q
1
q
1 仅给广义坐标中之一 q的变化，其余 S 个 独立坐标不变，这样可求得所有主动力在 q 相应 上所做元功之和。 令 q1 0, 而q2 qa qs 则 0 W1 Q1 q1 同理，可求出 Q2 , Qa Q，或在约束条件 s q1 , q2 qs , 许可下， q 彼此独立。当 都不 为零时， 前的系数即为各广义力。 q
(t ) q x(t )
非保守广义力用 Q 描述
F D 0 D Q F q F q x
其中 D 则:
④拉氏方程是从能的角度去研究问题。当系 统的主动力为保守力系时，拉氏函数成为 力学体系的特征函数； ⑤拉氏方程的个数与力学体系的约束条件有 关。约束越多，方程数就越少，所以与牛 顿力学比较，对多约束的力学体系，拉氏 方程就愈能显示出它的优越性。但是拉氏 方程的物理图象不如牛顿力学直观，这是 它的不足之处。在应用拉格朗日方程解题 时一般方法是：
i 1 i
2 i i i i i s i t i s s i s t s t r t
qt qr ) qs
r
Qs M st qt Dstr qt qr
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式中各项与前面的推导完全一致。 2．2 复杂机构系统的动力学建模方法之二 （拉格朗日方程法）
L T V d T s dt q T V q q Qs s s
3.
4.
求出的速度一定要采用绝对速度。这是动 能表达式中所需要的。 按广义坐标建立 S 个方程后，马上检查是 否存在循环坐标（拉氏函数中不显含某一 广义坐标 q i，此为循环坐标），马上就可 以写出它的第一积分 ； L 常数 q
若采用一般形式的拉格朗日方程，就要求 广义力。广义力的求法是：
①
5.
按定义求：
ri Q Fi ( 1,2 S ) q i 1
n
其中 Fi是作用在力学体系的第 i 个质点上 的主动力， ri 是第 i 个质点的位矢。在完 Q 整系中，广义力 与广义坐标相对应，它 们的个数都等于自由度数。广义力还可以 写成：
xi yi z i 1,2 S Q Fix Fiy Fiz q q q i 1
s st t str t r t t ,r
T
T
T
t r
式中 Qs——广义力 M st——二阶广义惯量 D ——三阶广义惯量
str
Qs Fi
i
ui [T ]T [ F ] [Q] qs
M st
i
ui u mi i [T ]T [m][T ] [M ] qs qt
T——动能 V——势能 L——拉氏函数（动势）
(二)拉格朗日方程
作为力学系统的运动规律，利用广义坐标从动力 学普遍方程推导出来的拉格朗日方程，对整个力 学体系的运动提供了一个统一而普遍的解法。拉 氏方程是完整理想的力学体系的最普遍的动力学 方程，它给解决动力学问题提供了一个高度统一 而又概括的方法。这种表述及其方法，不仅在力 学范畴有重要意义和实用价值，而且为研究近代 物理提供了必须的物理思想和数学技巧。
虚位移原理
Fi + FNi = 0
m1
Fi · ri + FNi · ri = 0
Fi mi m2
FNi
∑Fi · ri + ∑FNi · ri = 0
∑FNi · ri = 0 ∑Fi · ri = 0
ri
Fi ——主动力 对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用 于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和 等于零——虚位移原理 FNi——约束反力
V mg
R 1 ia
L T V
L x 1 J 1 1 ( 2 ) m( J 1 )x 1 1 1
1 i12 ， 2
L 1
v
1
R ia
L R m g 1 ai
广义力
得到运动方程: