恒成立问题与有解问题的区别(1)

x2 4 mx 有解，求 m 的取值范围。
解：(1)由x2 4 mx，变形得x2 +mx+4<0
设函数f(x)=x2 +mx+4,由题意,有
f(x)max 0, x [1, 2]

f f
(1) (2)

0 0
解得:m≤-5
注意:要把含变量x的所有的项要移到一
边,另一边只能是常数,才能把不等式的
（1）不等式 f(x)<k 在 xI 时恒成立? f(x)max k•,•xI. 或 f(x)的上界小于或等于 k；
（2）不等式 f(x)<k 在 xI 时有解? f(x)min k•,•xI. 或 f(x)的下界小于 k；
（3）不等式 f(x)>k 在 xI 时恒成立? f(x)min k•,•xI. 或 f(x)的下界大于或等于 k；
2 =f(2)<0
练习：对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 .............. (*) (1)当| x | ≤2,(*)式恒成立,求实数m的取值范围 ； (2)当| m | ≤2,(*)式恒成立,求实数x的取值范围 .
解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
(2)解 1：（分离参数法）当 x (1,2) 时,由 x2 mx 4 0
得 m x2 4 .令 f (x) x2 4 x 4 ,则易知 f (x)
x
x
x
在 (1,2) 上是减函数,所以 f (x)min f (2) 4,∴ m 4
解法2、分离参数法：即把不等式首
（4）不等式 f(x)>k 在 xI 时有解? f(x)max k•,•xI. 或 f(x)的上界大于 k；
例5、已知|p|≤2,(1)对所有实数p,求使不等式x2+ px+1>p+2x都成立的x的取值范围. (2)存在实数p,求 使不等式x2+px+1>p+2x成立的x的取值范围。
(1)解1:不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)=(x-1)p
∴ìïïíïïî
x-1<0 f(p)min =f(2)≤0
或
ìïïíïïî
x-1＞0 f(p)min =f(-2)≤0
或 ìïïíïïî
x-1＝0 f(p)=0≤0
即
x<1 -1≤x≤1
或
x>1 1≤x≤3
或x=1解得：-1≤x≤3
所以正面即原题实数x的取值范围为：x<-1,或x>3.
综上:使不等式x2+px+1>p+2x恒成立的x的取值范围 为(-∞,-1)∪(3,+ ∞)。
取值范围为 [2,+∞)。
(4)对x[-100,2]不等式x≤a对都成立,则实数a的取
值范围为 [2,+∞) 。
例2、(1)关于x的不等式x≥a在（2,+∞)上恒成立,则
实数a的取值范围为 (-∞,2] 。
(2)关于x的不等式x>a在[2,+∞)上恒成立,则实数a
的取值范围为 (-∞,2) 。
(3)关于x的不等式x>a在(2,+∞)上恒成立,则实数a
f(p)max >0(x∈[-2,2])
\
ìïïíïïî
x-1<0 f(p)max
=f(-2)>0
或
ìïïíïïî
x-1＞0 f(p)max =f(2)>0
或
ìïïíïïî
x-1＝0 f(p)=0>0
即 xx
1
3或x

1
或
x x
1
1或x

或 1
解得：x＜1或x＞1
综上：使不等式x2+px+1>p+2x有解的x的取
值范围为(-∞,1)∪(1,+ ∞)。
(2)解2:(补集思想:转化为不等式恒成立问题)
可先求它的反面:即任意p[-2,2]不等式即(x-
1)p+x2-2x+1≤0都成立,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则有：
f(p)max £ 0(x∈[-2,2])
∴
ìïïíïïî
ff((-22)≤ )≤00即ìïïíïïî
x2 x2
-
4x + 3 ? 1? 0
0
即
1≤x≤3 -1≤x
1
解得：x=1
所以正面即原题实数x的取值范围为：x≠1.
综上:使不等式x2+px+1>p+2x恒成立的x的取值范围
为(-∞, 1)∪(1,+ ∞)。
四、一次形（相对于变量为一次的）恒成立
（1）ax+b>0对x在[α,β]上恒成立
f()>0 f()>0
（2）ax+b <0对x在[α,β]上恒成立
f()<0
f()<0
（3）ax+b >0对x在[m,+∞)上恒成立
a b

0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
或
a 0 f(m)
0
首先令：f(x)=ax+b
y
α
o
βx
例 6.若关于 x 的不等式 ax2 2x 2 0 在 R 上恒成立,求实数
值范围为 (2,+∞) 。
(5) 存在x [2,+∞)使不等式x<a成立,则实数a的取
值范围为 (2,+∞) 。
(6)存在x (2 ,+∞]不等式x<a成立,则实数a的取值
范围为 (2,+∞)。
三、含参数的不等式的恒成立与有解的区别，但可以互相转化 恒成立和有解是有明显区别的，但可以互相转化。 以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团。
范围为 [2,+∞)。
例4、(1)关于x的不等式x≥a在(-∞,2)上有解,则实数
a的取值范围为 (-∞,2) 。
(2)关于x的不等式x>a在(-∞,2]上有解,则实数a的取
值范围为 (-∞,2) 。
(3)关于x的不等式x>a在(-∞,2)上有解,则实数a的取
值范围为 (-∞,2) 。
(4) 存在x(2,+∞)使不等式x≤a成立,则实数a的取
当1-m≠0时,二次函数y=(1-m)x2+(m-1)x+3的对称轴为:x=1/2.
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： f(1/2)>0 ， 解得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为：f(-2) >0
0

1
综上：使不等式x2+px+1>p+2x恒成立的x的
取值范围为(-∞,-1)∪(3,+ ∞)。
(1)解3:(补集思想:转化为不等式有解问题)
可先求它的反面:即存在p[-2,2]不等式即(x-
1)p+x2-2x+1≤0成立,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则有：
f(p)min £ 0(x∈[-2,2])
先变形为一边只含有变量，而另一边只 含有参数。分离参数后，变量和参数各 在不等式一边，进而转化为求一个函数 的最值问题，要注意端点能否取一定要 慎重，要结合不等号和定义域来取舍。
例 7、(1)当 x (1, 2) 时，不等式 x2 mx 4 0 恒成立，
求 m 的取值范围。(2)当 x (1, 2) 时，关于 x 的不等式
g(-2)=3x2-3x+3>0 则 g(m)>0恒成立
g(2)=-x2+x+3>0
x R
即
1 13 2
恒成立问题转化为求函数最值问题。
所以，m的取值范围是（-∞，-5]。
解 2：（分离参数法）当 x (1, 2) 时,由 x2 mx 4 0
得 m x2 4 .令 f (x) x2 4 x 4 ,则易知 f (x)
x
x
x
在 (1, 2) 上是减函数,所以 f (x)max f (1) 5,∴ m 5
+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：
f(p)min >0(x∈[-2,2])
\
即
ìïïíïïî xxfx(-p1)<11m0i或n =xf(2)>10或或xxìïïíïïî
x-1＞0 f(p)min =f(-2)>0
或
ìïïíïïî
x-1＝0 f(p)=0>0
a 的取值范围
解：当 a 0 时,不等式 2x 2 0 解集不为 R ,故 a 0 不满足
题意;
当 a 0 时,要使原不等式解集为 R ,只需 a 0
解得 a 1
22 4 2a 0
2
综上,所求实数 a 的取值范围为 (1 , )
2
五、二次形（相对于变量为二次的）
例5、已知|p|≤2,(1)对所有实数p,求使不等式x2+ px+1>p+2x都成立的x的取值范围. (2)存在实数p,求 使不等式x2+px+1>p+2x成立的x的取值范围。
(2) 解 1 ： 不 等 式 即 (x-1)p+x2-2x+1>0, 设 f(p)= (x-
1)p+x2-2x+1,则f(p)>0在[-2,2]上有解，故有：
的取值范围为 (-∞,2] 。
(4) 不等式x≤a对x (-∞,2)上恒成立,则实数a的取值
范围为 [2,+∞。)
(5) 不等式x<a对x (-∞,2]上恒成立,则实数a的取
值范围为 (2,+∞) 。
(6) 不等式x<a对x (-∞, 2)上恒成立,则实数a的取
值范围为 [2,+∞)。
二、含参数的不等式的有解问题
解得:
1<m<
3 2
综上可知: 适合条件的m的范围是:
-11<m
<
3 2
。
练习：对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 .............. (*) (1)当| x | ≤2,(*)式恒成立,求实数m的取值范围 ； (2)当| m | ≤2,(*)式恒成立,求实数x的取值范围 .
解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m [-2,2]）
(1)解2:不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)=(x-1)p
+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：
f(p)min >0(x∈[-2,2])
即\ xxìïïíïïî
f(- 2) > 0 f(2) > 0 3或x 1或x
1即1 解xx得22 ：14xx033或x
含参数的不等式的恒成立问题 与
含参数的不等式有解问题
的区别
一、含参数的不等式的恒成立问题
例1、(1)关于x的不等式x≥a在[2,+∞)上恒成立,则实
数a的取值范围为
(-∞,2。]
(2)关于x的不等式x≥a在[2, 100] 上恒成立,则实数a
的取值范围为 (-∞,2] 。
参数
变量 变量的范围
(3)对任意x(-∞,2]，不等式x≤a都成立,则实数a的
例3、(1)关于x的不等式x≥a在(-∞,2]上有解,则实数
a的取值范围为 (-∞,2] 。
(2)关于x的不等式x≥a在[-100, 2] 上有解,则实数a的
取值范围为 (-∞,2] 。
(3) 存在x[2,+∞)使不等式x≤a成立,则实数a的取值
范围为 [2,+∞)。
(4)存在x [2,100]不等式x≤a成立,则实数a的取值
(1)、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 __C_>_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
(2) ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a<0 ____C_<_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<。0
x2 mx 4 0 有解，求 m 的取值范围。
(2)解2：设函数f(x)=x2 +mx+4,由题意,有
∴ìïïïíïïïïî
- m ≤1 2
f(x)min =f(1)<0
或∴
ìïïïïïíïïïïïî
1<- m <2 2
f(x)min =f(-
m 2
)<0
或
\
ìïïïíïïïïî
m - 2> f(x)min
1
或 解得：x＜-1或x＞3
3或x 1
综上：使不等式x2+px+1>p+2x恒成立的x的
取值范围为(-∞,-1)∪(3,+ ∞)。
四、不等式的恒成立和有解的解法：
解法1、分离变量法：即
把不等式变形为只有一边含有变量，另 一边不能有变量，就可以转化为求函数 的最值问题。
例5、已知|p|≤2,(1)对所有实数p,求使不等式x2+ px+1>p+2x都成立的x的取值范围. (2)存在实数p,求 使不等式x2+px+1>p+2x成立的x的取值范围。
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利 用韦达定理以及根与系数的分布知识求解；或者转化为研 究二次函数的图象问题；或者转化为研究二次函数在指定 区间上的最值问题。
例 7、(1)当 x (1, 2) 时，不等式 x2 4 mx 恒成立，
求 m 的取值范围。(2)当 x (1, 2) 时，关于 x 的不等式