第6章图论

又如果已知不同役龄机器年末的处理价格 如下表所示，那末在这计划期内机器的最优更 新计划又会怎样？
年度 机器处理价（万元） 第1年末 2.0 第2年末 1.6 第3年末 1.3 第4年末 1.1
关于第二问，类似于第一问，可转化为求下 图中从 v1 到 v5 的最短路问题。
按照最短路算法可得最短路 {v1, v2, v3, v5}，即计划 期内机器更新最优计划为第 1 年、第 3 年初各购进 一台新机器，4 年总的支付费用为 6.8万元。
Hamilton至今尚无有效方法來解決！
问题四:校园网络
问题五:游戏
一直往前走 碰壁就回头換条路找 沿途要记录下走过的路线
程序调用的图论模型
v4
e5 e9 e7
v3 e8
e4
v5 e3
e6
e1 e2
v1
v2
设备更新问题。
某工厂的某台机器可连续工作4年，决策者每年年初都 要决定机器是否需要更新。若购置新的，就要支付一定 的购置费用；若继续使用，则要支付一定的维修与运行 费用，而且随着机器使用年限的增加费用逐年增多。计 划期（4 年）中每年年初的购置价格及各个年限内维修 与运行费用由下表给出，试制订今后4年的机器更新计 划，使总的支付费用最少。
第i年初 购置费（万元） 1 2.5 2 2.6 3 2.8 4 3.1
使用年限
每年的维修与运行费（万元）
1
1
2
1.5
3
2
4
4
解：把该问题看成一个最短路问题。设 v1 和 v5 分别 表示计划期的始点和终点（ x5 可理解为第 4年年末）。 图中各边 (vi , vj) 表示在第 i 年初购进的机器使用到第 j 年初（即第 j 1 年底），边旁的数字由表中的数据得 到。
v3
e3
e2 v2
e1 e4
v1
一个环算2度?
e5
Def 设G = (V, E)是有向图, v V, 称以v为起点 的边的数目为节点的出度(out-degree),记为 deg+(v),以v为终点的边的数目为节点的入度(indegree),记为deg-(v), 称deg+(v) + deg-(v)为节点v 的度数,记为deg (v).
2m deg( v)
vV deg(v ) 偶数
deg( v) deg( v).
deg(v ) 奇数
由定理及其推论很容易知道,在任何一次聚会上, 所有人握手次数之和必为偶数并且握了奇数次 手的人数必为偶数.(环的解释?) Theorem 6-2 在任意有向图中,所有节点的出度 之和等于入度之和. 在任意图中, 度数为0的节点称为孤立点。度数 为1的节点称为悬挂点。
将n阶完全无向图Kn的边任意加一个方向所得到的 有向图称为n阶竞赛图. 设G = (V, E)是n阶简单有向图, 若G中任意节点都与 其余n - 1个节点邻接, 则称G为n阶完全有向图。
(3)补图 Def 设G = (V, E)是n阶简单无向图,由G的所有 节点以及由能使G成为Kn需要添加的边构成的 图称为G的补图,记为 G. (u和v在G中不邻接 u和v在 G 中邻接)
问题二：四色问题
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上 是按照肯普的想法在进行。后来美国数学家富兰克林于 1939 年证明了 22 国以下的地图都可以用四色着色。 1950 年，有人从 22 国推进到 35 国。 1960年，有人又证明了 39 国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了 50国。 1976年6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在两台不 同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断， 终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。 然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！数学 家仍为此努力，并由此产生了多个不同的图论分支。
例
e
A B
v1
A
子图
A
B
e
B
A B
子图
v2
v3
v1
v2
v3
(1)
v1 v2 ( 4) v1 v2 v1
v3 (5)
( 2)
G
G
6.2 节点的度数
“七桥”中从一个地方出发的桥的数目就是对 应节点的度数.
边与节点的关联次数?
Def 设G = (V, E)是无向图, v V,称与节点v 关联的所有边的关联次数之和为节点v的度数 (degree),记为deg(v).
deg( v1 ) 2, deg( v2 ) 5, deg( v3 ) 3.
若 V 但E = 的图称为零图, n阶零图可记为 N n.
N5
仅一个节点的零图称为平凡图.
N1
2.邻接 定义：设G = (V, E)是图, 对于任意u, v V,若从 节点u到节点v有边, 则称u邻接到v或称u和v是邻 接的. e u v 无向图? 有向图?
u
e
v
u
e v
(无向图的两条边邻接是指它们有公共端点.)
1.子图
可以通过一个图的子图去考察原图的有关性 质以及原图的局部结构. Def 设G = (V, E)和H = (W, F)是图, 若W V 且F E, 则称H = (W, F)是G = (V, E)的子图. 若H = (W, F)是G = (V, E)的子图且W = V, 则 称H = (W, F)是G = (V, E)的生成子图.
v4
v3
v1
一个环算2度?
v2
图论第一定理,常称为“握手(?)定理”. Theorem 6-1 在任何(n, m)图G = (V, E)中, 其所 有节点度数之和等于边数m的2倍,即
deg( v) 2m.
vV
Corollary 在任意图G = (V, E)中, 度数为奇数的 节点个数必为偶数. Proof
(G) min deg (v), (G) min deg (v). vV
vV
对于无向图G = (V, E), V = {v1, v2, …, vn},称 deg(v1), deg(v2), …, deg(vn)为的度数序列. 对于 有向图, 还可以定义其出度序列和入度序列. 例6-3 是否存在一个无向图G, 其度数序列分别为 (1)7, 5, 4, 2, 2, 1. (2)4, 4, 3, 3, 2, 2.
例6-1 证明: 对于任意n(n 2)个人的组里,必有 两个人有相同个数的朋友. Proof 将组里的每个人看作节点,两个人是朋 友当且仅当对应的节点邻接,于是得到一个n 阶简单无向图G,进而G中每节点的度数可能 为0, 1, 2, …, n - 1中一个.
当G中无孤立点时,于是每节点的度数可能为1, 2, …, n - 1. 由于共有n个节点,于是必有两节点 度数相同.
(1)由于序列7, 5, 4, 2, 2, 1中, 奇数个数为奇数, 根据握 手定理的推论知, 不可能存在一个图其度数序列为7, 5, 4, 2, 2, 1. (2)因为序列4, 4, 3, 3, 2, 2中, 奇数个数为偶数, 可以得到 一个无向图,其度数序列为4, 4, 3, 3, 2, 2.
6.3 子图、图的运算和图同构
当G中有孤立点时,这时每节点的度数只可能 为0, 1, 2, …, n - 2. 同样由于共n有个节点,因此 必有两节点度数相同.
若一个Simple无向图G的每节点度数均为k, 则 称G为k-正则图(k-regular graph).
例6-2 设无向图G是一个3-正则(n, m)图, 且 2n – 3 = m, 求n和m各是多少? Hint 根据握手定理有: 3n 2m.
4.简单图
(1)简单图 定义： 设G = (V, E)是图, 若G中既无吊环又无 多重边,则称G是简单图.
彼得森(Petersen, 1831~1910)图, 是一种妖怪图.
妖怪图? Petersen图称为单星妖怪.下面的图称为双星 妖怪.
(2)完全无向图 Def 设G = (V, E)是n阶简单无向图, 若G中任 意节点都与其余n - 1个节点邻接, 则称G为n阶 完全无向图，记为Kn. K5: n(n 1) | E ( K n ) | . 2
1.图的定义
图G(graph)主要由2部分组成: (1)节点集合V, 其中的元素称为节点. (2)边集合E, 其中的元素称为边. 通常将图G记为G = (V, E).
v4
e5 e9 e7
C
v3
e4
v5
e6 e3
v1
e1 e2
e8
v2
b1 b5 b 4 b3 A b7 b6 b2
B
D
几点说明:
(a)节点又可以称为点、顶点或结点,常用一个实心点或 空心点表示,但在实际应用中还可以用诸如方形、圆形、 菱形等符号. (b)边及其的表示. – 无向边? b3 = AB = BA ={A, B}(可重). 所有边都是无向边的图称为无向图； – 有向边(弧)? 所有边都是有向边的图称为有向图 e8 (v2 , v3 ) v2 , v3 . .
v4
e5 e9 e7 v3
C
e4
v5
e6 e3
v1
e1 e2
e8
v2
b5
A b7
b4
b6Hale Waihona Puke Baidu
b1
b3
B
b2
D
几点说明:
(c)图的拓扑不变性质. 需要注意的是,我们讨论 的图不但与节点位置无关,而且与边的形状和 长短也无关. 有n个节点的图称为n阶图,有n个节点m条边的图 称为(n, m)图. 在图G = (V, E)中, 称V = 的图为空图, 记为.
第六章
图 论
问题一:哥尼斯堡七桥问題
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
转化
Euler 1736年
图论中讨论的图
问题：是否能从四块陆地 中的任一块开始，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
1707年出生在瑞士的巴塞尔城，13岁就进巴塞尔 大学读书，师从著名的数学家约翰.伯努利。他 从19岁开始发表论文，直到76岁。几乎每一个数 学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧 拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉 变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉 函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数， 变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等。 据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和 论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占 18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道 学、航海学、建筑学等占3%。 1733年，年仅26 岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。1741年 到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年， 重回彼得堡，没有多久，完全失明．欧拉在数学 Leonhard Euler 上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解 (公元1707-1783年) 答开创了图论的研究。
2n 3 m.
n 6, m 9
Def 最大度、最小度；最小出度、最小入度 任意图G = (V, E):
(G) max deg( v),
vV
(G) min deg( v).
vV
有向图G = (V, E):
( G ) max deg (v), (G) max deg (v), vV vV
问题二：四色问题
四色问题是世界近代三大数学 难题之一。 四色问题的内容是：任何一 张地图只用四种颜色就能使具有 共同边界的国家着上不同的颜色。 它的提出来自英国。 1852 年， 毕业于伦敦大学的弗南西斯 · 格思 里发现了一种有趣的现象：“看 来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都 被着上不同的颜色。”这个现象 能不能从数学上加以严格证明呢？
问题三：Hamilton问题
Hamilton问题源于1856年，英国数学家Hamilton设计了一个名为 周游世界的游戏：他用一个正十二面体的二十个端点表示世界上的二 十座大城市（见图），提出的问题是要求游戏者找一条沿着十二面体 的棱通过每个端点恰好一次的行走路线。反映到图论上就是判断一个 给定的图是否存在一条含所有顶点的回路。
e1 e2
(平面图的面相邻?)
e3 e4 e5
4
1
2
3
3.关联
定义： 设G = (V, E)是图, e E, e的两个端点分 别为u和v, 则称边e与节点u以及边e与节点v是关 联的.
图的任意一条边都关联两个节点. 关联相同两个 节点的边称为吊环,可简称环.关联的起点相同与 终点也相同的边称为多重边或平行边,其边数称 为边的重数.