八上因式分解的方法汇总(课堂PPT)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
五、常用到的式子：
a b a 1 (a 1 )b ( 1 )
a 4 4 (a 2 2 a 2 )a ( 2 2 a 2 )
a 2 b 2 c 2 2 a 2 a b 2 b c ( a c b c ) 2
a 3 b 3 c 3 3 a ( a b b c ) a 2 ( b 2 c 2 a b b a ) c
19
对应练习
分解因式：
（1）x9x6x33
（2）(m21)(n21)4mn
20
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全 平方式或几个完全平方式的和的形式， 这种方法叫配方法。配方法的关键是通 过拆项或添项，将原多项式配上某些需 要的项，以便得到完全平方式 ，然后在
10
（1）解：设 ：x25xa 则原式= (a 2)(a 3) 12
a2 5a 6 (a 6)(a 1)
（2）解：原式 (x27x=6)(x25x6)x2
(x26x6x)(x26x6x)x2 (x26x6)2
11
（3）设x+y=a,xy=b,则原式
=a(a+2b)+(b+1)(b-1)
18
x 9x8 例题：分解因式3：
解法一：将常数项8拆成-1+9 原式=
x3 9x 1 9
(x3 1) 9(x 1)
(x 1)(x2 x 1) 9(x 1)
(x 1)(x2 x 8)
解法二：将一次项-9x拆成-x-8x
解法三：将三x 3次项 9x拆3 成8x3
解法四：添加两项x2 x2
因式分解后的结果是 解：将原式重新整理成关于x的二次三
项式，则
原式=
(yz)x2(y2z22yz)x(zy2z2y) (yz)[x2(yz)xyz] (yz)(xy)(xz)
16
例题2（重庆市竞赛
题）分解因4x式2 ：4xy24y3
解：原式=(4x2 4x1)(y2 4y4) (2x1)2 (y2)2 (2x y3)(2x y1)
（1）按字母分组：把相同的字母的代数式写在一起； （2）按次数分组：把多项式写成某一个字母的降幂
排列，再分组； （3）按系数分组：把系数相同的项写在一起进行分
组。 在分组分解法时有时要用到拆项、添项的技巧。
15
例题1（上海市竞赛题）多项式
x2y y2 z z2 x x2 z y2 x z2y 2 xyz
=
a2 2abb2 1
(ab1)(ab1)
(4)原式=
199x92 199x92 x1999 199x9(x199)9(x199)9 (199x91)(x199)9
12
（5）原(x式y=)22(xy)2xy(xy)4xy(xy)22xy1
(xyxy)22(xyxy)1 (xyxy1)2 (x1)2(y1)2
17
方法六、拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算。在多 项式乘法运算时，整理、化简将几个同 类项合并为一项，或将两个仅符号相反 的同类项相互抵消为零。在对某些多项 式分解因式时，需要恢复那些被合并或 相互抵消的项，即把多项式中的某一项 拆成两项或多项，或者在多项式中添上 两个仅符号相反的项，前者称为拆项， 后者称为添项。
5
方法三：十字相乘法
对二次三项式的系数进 行分解，借助直字交 叉图分解，即：
x 2 (p q )x p q (x p )x ( q )
6
例题：用十字交叉法分解下
列多项式： （1）
x2 x6
（2） x27x10 （3） x27x10
（4） x22x3
7
方法四、换元法
对结构比较复杂的多项式，若把其中某 些部分看成一个整体，用新字母代替 （即换元），则能使复杂问题简单化、 明朗化，在减少多项式项数，降低多项 式结构复杂程度等方面有独到作用。
x2 y2 2x 1
( x 2 2 x 1) y 2
( x 1)2 y 2
( x y 1)( x y 1)
把多项式适当的分组，分组后能够有公因式或能 运用公式，这样的因式分解的方法叫分组分解法。
14Baidu Nhomakorabea
分组除具有尝试性外，还具有目的性，或者分组后能 出现公因式，或者能运用分式。分组分解法是因式分 解的基本方法，体现了化整体为局部，又有全局的思 想。如何分组是解题的关键。常见的分组方法有：
一、平方差a 公2式：b2(ab)a (b) 二、完全平方公式a ：22a bb2(ab)2
三、立方和（差）公 式：
a 3 b 3 (a b )a (2 a b b 2)
a 3 b 3 (a b )a (2 a b b 2 )
3
四、完全立方和（差） 分式：
a 3 3 a 2 b 3 a2 b b 3 (a b )3
8
例题：（分解因式） （第12届“五羊杯” 竞赛题）
(x4x24)x(4x23)10
解：设x4x2 a
原(a式 4=)(a 3) 10
a2 a 2 (a 2)(a 1)
9
同步练习：分解因式
（(x2 1 ）5x2)x (25x3)12
（2）(x 1 )x ( 2 )x ( 3 )x ( 6 ) x2
( （x 3 ）y )x (y 2 x ) y ( x 1 ) y x ( 1 ) y
（149 ）x929(192919 )x1999
(（x 5）y 2 x)x y ( y 2 ) (x 1 y )2
( （2 x 6 ）3 y )3 (3 x 2 y )3 1(2 x y 5 )3
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
1
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本 的方法。在分解因式时一定要首先认真 观察等分解的代数式，尽可能地找出它 们的分因数（式）
2
方法二：公式法
(6)原式=(2x3y)3(3x2y)3[5(xy)3]
(2x3y)3(3x2y)3[2(x3y)(3x2y)3] 1(5xy)2(x3y)3(x2y)
13
方法五、分组分解法
（1）形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
(2)形如：
五、常用到的式子：
a b a 1 (a 1 )b ( 1 )
a 4 4 (a 2 2 a 2 )a ( 2 2 a 2 )
a 2 b 2 c 2 2 a 2 a b 2 b c ( a c b c ) 2
a 3 b 3 c 3 3 a ( a b b c ) a 2 ( b 2 c 2 a b b a ) c
19
对应练习
分解因式：
（1）x9x6x33
（2）(m21)(n21)4mn
20
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全 平方式或几个完全平方式的和的形式， 这种方法叫配方法。配方法的关键是通 过拆项或添项，将原多项式配上某些需 要的项，以便得到完全平方式 ，然后在
10
（1）解：设 ：x25xa 则原式= (a 2)(a 3) 12
a2 5a 6 (a 6)(a 1)
（2）解：原式 (x27x=6)(x25x6)x2
(x26x6x)(x26x6x)x2 (x26x6)2
11
（3）设x+y=a,xy=b,则原式
=a(a+2b)+(b+1)(b-1)
18
x 9x8 例题：分解因式3：
解法一：将常数项8拆成-1+9 原式=
x3 9x 1 9
(x3 1) 9(x 1)
(x 1)(x2 x 1) 9(x 1)
(x 1)(x2 x 8)
解法二：将一次项-9x拆成-x-8x
解法三：将三x 3次项 9x拆3 成8x3
解法四：添加两项x2 x2
因式分解后的结果是 解：将原式重新整理成关于x的二次三
项式，则
原式=
(yz)x2(y2z22yz)x(zy2z2y) (yz)[x2(yz)xyz] (yz)(xy)(xz)
16
例题2（重庆市竞赛
题）分解因4x式2 ：4xy24y3
解：原式=(4x2 4x1)(y2 4y4) (2x1)2 (y2)2 (2x y3)(2x y1)
（1）按字母分组：把相同的字母的代数式写在一起； （2）按次数分组：把多项式写成某一个字母的降幂
排列，再分组； （3）按系数分组：把系数相同的项写在一起进行分
组。 在分组分解法时有时要用到拆项、添项的技巧。
15
例题1（上海市竞赛题）多项式
x2y y2 z z2 x x2 z y2 x z2y 2 xyz
=
a2 2abb2 1
(ab1)(ab1)
(4)原式=
199x92 199x92 x1999 199x9(x199)9(x199)9 (199x91)(x199)9
12
（5）原(x式y=)22(xy)2xy(xy)4xy(xy)22xy1
(xyxy)22(xyxy)1 (xyxy1)2 (x1)2(y1)2
17
方法六、拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算。在多 项式乘法运算时，整理、化简将几个同 类项合并为一项，或将两个仅符号相反 的同类项相互抵消为零。在对某些多项 式分解因式时，需要恢复那些被合并或 相互抵消的项，即把多项式中的某一项 拆成两项或多项，或者在多项式中添上 两个仅符号相反的项，前者称为拆项， 后者称为添项。
5
方法三：十字相乘法
对二次三项式的系数进 行分解，借助直字交 叉图分解，即：
x 2 (p q )x p q (x p )x ( q )
6
例题：用十字交叉法分解下
列多项式： （1）
x2 x6
（2） x27x10 （3） x27x10
（4） x22x3
7
方法四、换元法
对结构比较复杂的多项式，若把其中某 些部分看成一个整体，用新字母代替 （即换元），则能使复杂问题简单化、 明朗化，在减少多项式项数，降低多项 式结构复杂程度等方面有独到作用。
x2 y2 2x 1
( x 2 2 x 1) y 2
( x 1)2 y 2
( x y 1)( x y 1)
把多项式适当的分组，分组后能够有公因式或能 运用公式，这样的因式分解的方法叫分组分解法。
14Baidu Nhomakorabea
分组除具有尝试性外，还具有目的性，或者分组后能 出现公因式，或者能运用分式。分组分解法是因式分 解的基本方法，体现了化整体为局部，又有全局的思 想。如何分组是解题的关键。常见的分组方法有：
一、平方差a 公2式：b2(ab)a (b) 二、完全平方公式a ：22a bb2(ab)2
三、立方和（差）公 式：
a 3 b 3 (a b )a (2 a b b 2)
a 3 b 3 (a b )a (2 a b b 2 )
3
四、完全立方和（差） 分式：
a 3 3 a 2 b 3 a2 b b 3 (a b )3
8
例题：（分解因式） （第12届“五羊杯” 竞赛题）
(x4x24)x(4x23)10
解：设x4x2 a
原(a式 4=)(a 3) 10
a2 a 2 (a 2)(a 1)
9
同步练习：分解因式
（(x2 1 ）5x2)x (25x3)12
（2）(x 1 )x ( 2 )x ( 3 )x ( 6 ) x2
( （x 3 ）y )x (y 2 x ) y ( x 1 ) y x ( 1 ) y
（149 ）x929(192919 )x1999
(（x 5）y 2 x)x y ( y 2 ) (x 1 y )2
( （2 x 6 ）3 y )3 (3 x 2 y )3 1(2 x y 5 )3
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
1
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本 的方法。在分解因式时一定要首先认真 观察等分解的代数式，尽可能地找出它 们的分因数（式）
2
方法二：公式法
(6)原式=(2x3y)3(3x2y)3[5(xy)3]
(2x3y)3(3x2y)3[2(x3y)(3x2y)3] 1(5xy)2(x3y)3(x2y)
13
方法五、分组分解法
（1）形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
(2)形如：