因式分解

三、十字相乘法①
前面出现了一个公式：
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
暂且称为p、q型因式分解
我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式） 例1：因式分解x2+4x+3 可以看出常数项 3 = 1×3 而一次项系数 4 = 1 + 3 ∴原式=(x+1)(x+3)
这个公式简单的说， 就是把常数项拆成两个数的乘积， 而这两个数的和刚好等于一次项系数
常用公式
1、(a+b)(a–b)=a2–b2 （平方差公式） 2、(a±b)2=a2±2ab+b2 （完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2) 及 a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2) （立方和、差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成 两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外 两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式 分解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2 1
∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
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3
4 +3=7 ∴3x2+11x+10
2
3 x2 + 11 x + 10
1
3
5 2
要发现式中隐含的条件，通过交换项 的位置，添、去括号等一些变换达到因式 分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。 解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd) 还有别 的解法 吗？ = a (b – c ) + d (b – c ) = (a + d ) (b – c )
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。 解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd) = b (a + d ) – c (a + d ) = ( a + d ) (b – c )
例2：因式分解x2–7x+10
可以看出常数项10 = (–2)×(–5) 而一次项系数 –7 = (–2) + (–5) ∴原式=(x–2)(x–5)
三、十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。 既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
2 5
=(x+2)(3x+5)
2 +6 5 15==11 17
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
简记口诀：
5 x2 – 6 xy – 8 y2
1 –2
首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。
5
4 – 10 = –6
4
∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
四、分组分解法
知识结构
提公因式法 公式法
十字相乘法
因式分解 常用方法
分组分解法
拆项添项法
配方法 待定系数法 求根法 ……
一、提公因式法
只需找到多项式中的公因式， 然后用原多项式除以公因式，把所 得的商与公因式相乘即可。往往与 其他方法结合起来用。
二、公式法
只需发现多项式的特点，再将符合其形 式的公式套进去即可完成因式分解，有时需 和别的方法结合或多种公式结合。 接下来是一些常用的乘法公式，可以逆 用进行因式分解。