解一元二次方程》(因式分解法)ppt课件
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21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)
2×2 2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
一元二次方程的解法(四)因式分解法(课件)数学九年级上册(人教版)
(x+2)(x-4)=0
9.已知关于x的方程(x+a)(x-3)=0和x2-kx-3=0的根相同,则k=____，
2
a=_____.
1
【分析】由(x+a)(x-3)=0易得方程的一个根为x=3,
把x=3代入x2-kx-3=0得32-3k-3=0,
∴k=2得到方程x2-2x-3=0,
解得x1=-1，x2=3
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x-1)=0时，可转化
为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x-3)(x+5)=0的解吗？
(x-3)(x+5)=0
解：x-3=0或x+5=0
所以x1=3，x2=-5.
上述解法中，由①到②
的过程，不是用开平方
①
降次，而是先因式分解，
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边
的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
用适当的方法解方程：
1 3x 1
2
4 0
解： 3x 1 =4
2
A.3，-5
B.3,5
C.-3，5
D.-3，-5
2.小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1,则被漏掉的
一个根是( A )
A.x=0
B.x=2
C.x=3
D.x=4
3.方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( D )
A.2
B.3
C.-1，2
9.已知关于x的方程(x+a)(x-3)=0和x2-kx-3=0的根相同,则k=____，
2
a=_____.
1
【分析】由(x+a)(x-3)=0易得方程的一个根为x=3,
把x=3代入x2-kx-3=0得32-3k-3=0,
∴k=2得到方程x2-2x-3=0,
解得x1=-1，x2=3
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x-1)=0时，可转化
为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x-3)(x+5)=0的解吗？
(x-3)(x+5)=0
解：x-3=0或x+5=0
所以x1=3，x2=-5.
上述解法中，由①到②
的过程，不是用开平方
①
降次，而是先因式分解，
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边
的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
用适当的方法解方程：
1 3x 1
2
4 0
解： 3x 1 =4
2
A.3，-5
B.3,5
C.-3，5
D.-3，-5
2.小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1,则被漏掉的
一个根是( A )
A.x=0
B.x=2
C.x=3
D.x=4
3.方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( D )
A.2
B.3
C.-1，2
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优质课课件(共19张PPT)
用因式分解法求解一元二次方程
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
一元二次方程因式分解法.ppt
解： （[ a + b)x - (a - b)][(a - b)x - (a + b)] = 0
x1 =
a- b， a+ b
x2 =
a+ b a- b
解下列于x的方程：
1. x2 - (2a + 1)x + a2 + a = 0
2. (a2 - b2 )x2 - 2(a2 + b2 )x + a2 - b2 = 0(a2 - b2 ? 0)
而右边等于零;即一元二次方程可以转化为 A·B=0的形式
2.因式分解法解一元二次方程的本质就是降次
转化为解两个一元一次方程
3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
思考：
注：运用因式分解法的前提是方程右边为零。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
练一练练一练解：源自x 0或x 8原方程的根为x1 0，x2 8
例2：(x 3) x(x 3) 0
解： (x 3)(1 x) 0
得：x 3 0或1 x 0
x 3或x 1
原方程的根为x1 3，x2 1
例3：x2 4 0
解：(x 2)(x 2) 0
x20 或 x20
平方差公式
x 2 或 x 2
原方程的根为x1 2，x2 2
例4：(x 2)2 2 0
解：(x 2 2)(x 2 2) 0
x 2 2 0或 x 2 2 0
x 2 2 或 x 2 2
x 3 或 x -2
原方程的根为x1 3, x2 2
例7： 0.1x2 1.2 0.4x
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
因式分解法解一元二次方程课件
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 解 (x ： 1)x (7)0
1 1
x 10 或 x70
1 7
x11,x27
1.解下列方程
(1)x2 x0
解:x(x1)0.
x10,x21.
(3)3x26x3
解: x2 2x10 (x1)2 0.
x1x21.
书P40, 练习:1、2.
(2)x22 3x0
2x 10 ,或 2x 10.
x12,x21.
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x1
12;x2
1. 2
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
7. 5
2.x132;x2 1.
3.2 (x3)24(2x3);
4.2(x3)2x29;
3.x1
23;x2
1. 2
4.x13 ;x29.
先胜
解下列方程
为快
5.5(x2x)3(x2x); 6 .x (2 )22x 3 2;
5.x10 ;x24.
6.x1
5;x2
1. 3
7 .x ( 2 )x 3 1;2 8.x252x80.
x12;x24.
2 .4 x 2 1 x 3 2 1 x 0 ,
2 x 1 4- x 3 0 ,
2 x 1 0 ,或 4 x 3 0 .
x1
12,x2
3. 4
先胜
解下列方程
为快
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
1 1
x 10 或 x70
1 7
x11,x27
1.解下列方程
(1)x2 x0
解:x(x1)0.
x10,x21.
(3)3x26x3
解: x2 2x10 (x1)2 0.
x1x21.
书P40, 练习:1、2.
(2)x22 3x0
2x 10 ,或 2x 10.
x12,x21.
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x1
12;x2
1. 2
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
7. 5
2.x132;x2 1.
3.2 (x3)24(2x3);
4.2(x3)2x29;
3.x1
23;x2
1. 2
4.x13 ;x29.
先胜
解下列方程
为快
5.5(x2x)3(x2x); 6 .x (2 )22x 3 2;
5.x10 ;x24.
6.x1
5;x2
1. 3
7 .x ( 2 )x 3 1;2 8.x252x80.
x12;x24.
2 .4 x 2 1 x 3 2 1 x 0 ,
2 x 1 4- x 3 0 ,
2 x 1 0 ,或 4 x 3 0 .
x1
12,x2
3. 4
先胜
解下列方程
为快
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
人教版九年级数学上册教学课件：用因式分解法解一元二次方程
解:原式 x2 -3x 2x 2(-3)
x2 (-3 2)x 6
x2 x6
(3). (x-2)(x-3); 解 : 原式 x2 - 3x - 2x (-2) (-3)
x2 (-3 2)x 6 x2 5x 6
(4)(x+a)(x+b);
解:原式 x2 bx ax a b
x 5 0, x 6 0 x1 5, x2 6
十字相乘法分解因式: a1a2x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2x c2 )
3x 2 7x 2 0
三.十字相乘法分解因式－解方程（2）
例 解下列方程
(1)2 y2 3y 2 0 (2)3x2 10 x 8 0
x 5 0, x 4 0 x1 5, x2 4
4x 4x 2 0
x 4 0, x 2 0 x1 4, x2 2
解方程1x 2 6x 8 0; 2x 2 5x 6 0; 3x 2 x 20 0; 4x 2 2x 8 0 5y 2 3x 2 0; 6x 2 11x 30 0
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2. （3）十字相乘法:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
一.因式乘法
1:计算: (1). (x+2)(x+3); 解:原式 x2 2x 3x 23
x2 (2 3)x 6
x2 5x6
(2). (x+2)(x-3);
(3).横向写出两因式; (x+6)和(x-3)
x
6
x
-3
例 把 x2 2x 15分解因式;
x2 (-3 2)x 6
x2 x6
(3). (x-2)(x-3); 解 : 原式 x2 - 3x - 2x (-2) (-3)
x2 (-3 2)x 6 x2 5x 6
(4)(x+a)(x+b);
解:原式 x2 bx ax a b
x 5 0, x 6 0 x1 5, x2 6
十字相乘法分解因式: a1a2x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2x c2 )
3x 2 7x 2 0
三.十字相乘法分解因式－解方程（2）
例 解下列方程
(1)2 y2 3y 2 0 (2)3x2 10 x 8 0
x 5 0, x 4 0 x1 5, x2 4
4x 4x 2 0
x 4 0, x 2 0 x1 4, x2 2
解方程1x 2 6x 8 0; 2x 2 5x 6 0; 3x 2 x 20 0; 4x 2 2x 8 0 5y 2 3x 2 0; 6x 2 11x 30 0
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2. （3）十字相乘法:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
一.因式乘法
1:计算: (1). (x+2)(x+3); 解:原式 x2 2x 3x 23
x2 (2 3)x 6
x2 5x6
(2). (x+2)(x-3);
(3).横向写出两因式; (x+6)和(x-3)
x
6
x
-3
例 把 x2 2x 15分解因式;
21.2.3用因式分解法解一元二次方程_课件_1
(
)
1、如何用因式分解法解一元二次方程？ 2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤？ 3、解一元二次方程有几种方法，他们之间的联 系与区别是什么？
作业：书P14练习
1.解下列方程： . 2
(1) x x 0,
提公因式：x( x 1) 0， 所以有x 0或x 1 0 即x1 0，x2 1.
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
我思
我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
2
(a1x c1 )(a2 x c2 )
a2
c1 c2
(4)3x 7 x 2 0
2
例2 解下列方程
(1)2 y 3 y 2 0 (2)3x 10x 8 0
2
2
(3)4x 31x 45 0
2
(4) 3x 22x 24 0
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢 ? 4 x 2 12 x 9 ? . 3x 2 7 x 4 ?. 观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 2 7 x 6 0得x1 1, x2 6; 而x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6);
九年级数学上册解一元二次方程因式分解法课件新人教版
(3)3x 2 ? 6 x ? ? 3 移项，得： 3 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 提公因式得： 3( x 2 ? 2 x ? 1) ? 0 所以 3( x ? 1) 2 ? 0 有 ( x ? 1) 2 ? 0 所以 x1 ? x2 ? 1 .
另一解法 :
(4)4x2 ?121? 0
移项：4x2 ? 121
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a 2+2ab+b 2=(a+b)2.
” （3）“x2+(a+b)x+ab 型:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
思考 ?
根据物理学规律,如果把一个物体从地 面以10m/s秒的速度竖直上抛，那么经过x 秒物体离地高度（单位：米）为10x-4.9x2 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落 回地面吗？（精确到0.01S）
刻物体的高度是0m．
以上解方程 x ?10 ? 4 . 9 x ? ? 0 的方法
是如何使二次方程降为一次的？
x ?10 ? 4 . 9 x ? ? 0 ①
x ? 0 或 10 ? 4.9x ? 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解法．
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：x(x?2)??x?2?? 0,
解 : 移项,合并同类项,得：
?x?2?x??1?? 0.
《用因式分解法求解一元二次方程》PPT课件
解：令 x2－x＝y，则原方程可化为 y2－4y－12＝0， 即(y＋2)(y－6)＝0. 所以 y＋2＝0 或 y－6＝0，解得 y1＝－2，y2＝6. 当 y＝－2 时，x2－x＝－2，即 x2－x＋2＝0，此方程无实数解； 当 y＝6 时，x2－x＝6，即(x＋2)(x－3)＝0， 解得 x1＝－2，x2＝3. 所以原方程的解为 x1＝－2，x2＝3.
②(x－2)2＋x2＝5；
③(x－2)(x－4)＝4； ④x2－3x－1＝0；
⑤x2－ 2x＋14＝0； ⑥x2＋3x＝0. (1)直接开平方法：___①_____；(2)配方法：__②___③___；
(3)公式法：__④__⑤____；
(4)因式分解法：___⑥_______．
11．解方程 2(x－1)2＝3x－3，最适当的方法是( D )
x＋2＝1，x－2＝5，得方程的根为 x1＝－1，x2＝7；乙同学 说：应把方程右边化为 0，得 x2－9＝0，再分解因式，即
(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为 x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙
两名同学的说法，下列判断正确的是A( )
A．甲错误，乙正确
B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都正确
D．甲、乙都错误
15．(2018·玉林)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x－k－2＝0 有 两个不相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围； 解：根据题意得 Δ＝(－2)2－4(－k－2)＞0，解得 k＞－3.
15．(2018·玉林)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x－k－2＝0 有 两个不相等的实数根．
(2)配方法(3)公式法 15 见习题
(4)因式分解法
16 见习题
10 (1)① (2)②③
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1、配方法； 2、公式法；
适用任何一元二次方程
3、因式分解法. 适用部分一元二次方程
.
.
例题讲解
解方程：
5x22x1x22x3
4
4
分析：等号右边不为0，需要先移项整
理。使方程右边为0，再对方程左边因式分
解。
.
(1 )5x22x1x22x3
4
4
解：移项，合并得：
4x210 因式分解，得：
(2 x 1 )2 (x 1 )0
2 x 1 0 或 2 x 1 0 则 x１－ １ 2， . x２１ 2
.
复习回顾
一元二次方程的解法有： 1、配方法；(直接开平方法） 2、公式法；
.
复习回顾
1、当b2-4ac>0时，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实数根：
xb b2 4ac 2a
x1 b
b2 4ac, 2a
b x2
.
b2 4ac 2a
2、当b2-4ac=0时，一元二次方程
解：移项，得
3 x (x 2 ) 5 (x 2 ) 0
提公因 (x+2)(3x－5)=0
式. x+2=0或3x－5=0
∴ x1=-2 , x2=
.
5 3
(2)(3x+1)2－5= 0
解：原方程可变形为
平方差 公式.
(3 x 1 5 )3 ( x 1 5 ) 0
3x1 50
3x1 50
则 x11 3 5,x21 3 5
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根：
x1
x2
b 2a
3、当b2-4ac<0时，一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根：
.
一个数的平方与它本身互为相反数
，问：这个数是多少？
解：设这个数为x，则有：
x2+x=0
你可以有哪些方法 解这个方程？
.
观察
x2+x=0 除了配方法、公式法外，还有没有更简 便的方法解这个方程呢？ 方程右边为0。左边因式分解，得：
.
1、 什么样的一元二次方程可以 用因式分解法来解？
2、用因式分解法解一元二方程， 必须要先化成一般形式吗？
3、用因式分解法解一元二次方程， 其关键是什么？
.
例题讲解
解下列方程：
( 1 ) 3 x ( x 2 ) 5 ( x 2 ) (2)3 (x1)250
.
( 1 ) 3 x ( x 2 ) 5 ( x 2 )
这个方程需要先转化为一般形式再求解.
.
(2)解方程： y2 4y
解： y2 4y ×
y 4
根据等式性质，等式两边都除以一个不 为0的数时，等式仍然成立。应该怎样解呢？
.
y2 4y
解：移项，得
y2 4y0
因式分解，得
y(y4)0
y0 或 y4 0 则y 1 4 ,y20
.
梳理
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1、方程右边化为 零 。 2、将方程左边分解成两个一次因式 的乘积 。 3、至少 有一个因式为零，得到两个一元 一次方程。 4、两个一元一次方就程是的原解方程的解。
.
练习
1.不计算，请你说出下列方程的根.
(1)x(x2)0x10,x22
(2 )y ( 2 )y ( 3 ) 0y12,y23
((3 4) )x3 ( 2x 2 x)2 ( xx 1 1 0) , x20 x11 32, x2
1 2
.
2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误 在哪？ (1)解方程： (x2)x ( 1 )3
解： (x 2 )x ( 1 ) 3 1
x 2 3 , x 1 1×
则 x 1 1 , x 22
x(x+1)=0
.
x2+x=0 解：因式分解,得:
x(x+1)=0 ∴x=0 或 (x+1)=0 则x1=0 ，x2=-1 可以发现，利用因式分解可以很快捷地 解出方程。
.
梳理
上述解法中，通过因式分解使一元二次 方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再 使这两个一次式分别等于0，从而实现降次， 求出方程的根，这种解法叫做因式分解法。
练习
解下列方程：
(1)(2a－3)2=(a－2)(3a－4) (2)(4x－3)2=(x+3)2
.
小结
因式分解法的基本步骤： （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元 二次方程转化为解两个一元一次方程.
.
小结
一元二次方程的解法：