锐角三角函数和圆的综合应用

锐角三角函数与圆的综合题

1.如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F

在AC 的延长线上，且1

2

CBF CAB ∠=∠.

⑴ 求证：直线BF 是O 的切线；

⑵ 若5AB =，5

sin 5

CBF ∠=，求BC 和BF 的长.

2．如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．

（1）求证：BD 是⊙O 的切线；

（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， △BEF 的面积为8，且cos ∠BFA ＝3

2

，求△ACF 的面积．

3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且

AED =45． (1) 试判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2) 若⊙O 的半径为3，sin ADE =6

5

，求AE 的值．

O

E

F

C

D

B D

E

O

E O

A B

C D 4. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点E 在斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与BC 边

相切于点D ，联结AD.

（1）求证：AD 是∠BAC 的平分线； （2）若AC = 3，tan B =

3

4

，求⊙O 的半径.

5．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，

BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE =∠DBC ．

（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；

（2）若3

3

sin =∠ABE ，2=CD ，求⊙O 的半径．

6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ． （1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）如果⊙O 的直径为9，cos B ＝1

3 ，求DE 的长

O

F E

D

C B A

7：如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .

（1）求证：AD 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.

8：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点D 是BC 的中点，DP AC ,垂足为点P .

（1）求证：PD 是⊙O 的切线.

（2）若AC =6, cosA=3

5

，求PD 的长.

9.如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC 的延

长线于点E .连接BC ．

（1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD =6，tan ∠BCD=2

1

，求⊙O 的直径的长．

B

A

10.如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，CD AC =.

（1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长.

11.如图，点P 在半O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O 于点C ，连结

BC .

（1）求P ∠的正弦值；

（2）若半O 的半径为2，求BC 的长度.

12.如图，△DEC 接于⊙O ，AC 经过圆心O 交O 于点B ，且AC ⊥DE ，垂足为F ，连

结AD 、BE ，若1sin 2

A =，∠BED =30°．

（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）DCE △是否是等边三角形？请说明理由；

（3）若O 的半径2R =，试求CE 的长．

B C

D E

O F

例 1：（1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.

∴ ∠EAB +∠E =90°. ……………………1分 ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ，

∴ ∠EAB +∠BAD =90°.

∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分 （2）解：由（1）可知∠ABE =90°.

∵ AE =2AO =6, AB =4,

∴ . …………………………………………………3分 ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ ……………4分 ∴ ∴ . ……………………5分

例2：（1）证明：如图：连接 OD ，AD .

∵D 为弧BC 的中点，∴弧CD = 弧BD.∴.

∵，∴.

∴PA ∥DO . ………………………………1分 ∵DP ⊥AP ，∴∠P =90°.∴∠ODP =∠P =90°. 即 OD ⊥PD .

∵点D 在⊙O 上，∴PD 是⊙O 的切线. ………………………………2分

（2）连结CB 交OD 于点E .

∵AB 为⊙O 直径 ，∴∠ACB =∠ECP =90°. ∵∠ODP =∠P =90°，∴四边形PCED 为矩形.

∴PD = CE ，∠CED = 90°.…………………………………………………3分 ∴OD ⊥CB.∴EB = CE. ……………………………4分 在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，∴cos A = .

∵AC = 6 , cos A = ，∴AB = 10 . ∴BC = 8 .∴CE =PD = BC = 4. ……………5分 例3.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，M 是CD 的中点，

∴CD ⊥AB . ……………………………………… 1分 ∴∠AMC ＝90°.

∵BE ∥CD ，∴∠AMC ＝∠ABE .∴∠ABE ＝90°，即AB ⊥BE .

又∵B 是⊙O 上的点，

∴BE 是⊙O 的切线. ………………………………………… 2分

（2）∵M 是CD 的中点，CD =6，∴CM =CD =3.

在Rt △BCM 中，∵tan ∠BCD ==,∴=,∴BM=. …………… 3分

又∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°.

∵CM ⊥AB 于M ，∴Rt △AMC ∽Rt △CMB .∴,∴. ∴.∴AM =6. …………………………… 4分

∴AB =AM +BM =6+=. …………………… 5分，即：⊙O 的直径的长为.

4.（1）连结OC ∵OA =OC ，∠A =30°∴∠A =∠ACO =30°∴∠COD =60° 又∵AC =CD ，∴∠A =∠D =30°.

∴∠OCD =180°－60°－30°=90° ∴CD 是半⊙O 的切线（2）连结BC ∵AB 是直径，∴∠ACB =90° 在Rt △

ABC 中，∵cos A = AC=ABcosA=4×∴AC=

5：（1）证明：如图，连接．∵切半于点， ．…………………1分 ∵，． 在中，．·································· 2分 （2）过点作于点，则． ··························· 3分

12

P

A

C O B

D

E