2.3 圆形波导解析

E z E0 J m ( K c r ) cos m sin m e j z
极 化 简 并
(2-123) (2-132)
同理
H z H 0 J m ( Kcr )
cos m sin m
e j z
• Ez和Hz沿径向是贝塞尔函数变化规律 • 沿圆周是三角函数变化规律 当m=0时，自变量是常数，不存在极化简并现象。
§2.3 圆形波导
2.3.3 圆形波导中的波型特征 (1) m表示场沿波导圆周分布的整驻波数；n表示场沿半径r分
布的最大值个数.
o o TM (2) 圆形波导中可存在无穷多个 mn和 TE mn波，但是不存在
o o TE TM m m 0 波。 0和
(3) 主模是TE11波，最低次TM波是TM 01波； 2.61R<λ <3.41R时;波导中只传输TE11波; λ <2.61R时，波导中可以传输TE11和TM01波 ; 如果要传播TE01波，则必须λ <1.64R，但此波导中还将同 时存在TM11和TM01、TE21、TE11四个波型。
Z TM
j
1 H t 2 j z ˆ t E z Kc
1 ˆ ˆ t r r r
式中
§2.3 圆形波导
于是，得到横向场分量的解: cos m jz ' Er j E0 J m ( K c r ) e sin m Kc
cos m jz e sin m
H j
m
2 Kc r
H 0 J m ( Kc r )
sin m cos m
e jz
§2.3 圆形波导
2.TE波的传输条件
R为波导半径，由边界条件，当r=R时，Eφ=0
则必须
' Jm ( Kc R) 0
(2-134)
部分TE 波型的 μmn及λc 值如书 中表23所示
2H z r 2
1 Ez 1 2 Ez 2 2 K c Ez 0 (2-112) 2 r r r
1 H z 1 2 H z 2 2 K Hz 0 c 2 r r r
形式一样， 只解其一
分离变量法
Ez R(r ) ( )
为什么没有 Z(z)因子？
则截止波长为 部分TM波型的ν
2 2R c K c vmn
mn及λc值如书中表2-2所示
(2-128)
最低次的波型为TM01波型。 截止频率：
c 2.61R
(2-130)
(fc)TM =v/λc=vνmn/2πR
§2.3 圆形波导
2.3.2 圆波导中的TE波型
1.TE波场分量表示式
掌握三个波型：
TE11 TE01 圆波导的主模 次高次模
§2.3 圆形波导
2.3.1 圆波导的TM波型 1.TM波型的场表达式
E z E0 J m ( K c r ) cos m sin m e j z
(2-123)
横向场
Et 2 t E z Kc
1 ˆ Et Ht z Z TM
或 者
j Et 2 t Ez Kc
§2.3 圆形波导
简并问题 (a) 极化简并. 对于同一个m、n值，在同一类波型(TMmn或 TEmn)中有着极化面相互垂直的两种场分布型式.
E z E0 J m ( K c r ) cos m sin m e
j z
H z H 0 J m ( Kcr )
cos m sin m
截止波长
Er j
(c )TE o 3.41R
11
(2-140)
H 0 R 2
1.841 sin jz J r e 1 2 (1.841) r R cos
' 1.841 cos jz J1 r e
将m=1、 n=1 代 入TE 波型的 场方程
§2.3 圆形波导
圆形波导管：横截面为圆形的空心金属波导管
作用：可作为传输系统用于多路通信中，也常用来 构成圆柱形谐振腔、旋转关节，等元件。
y
本节内容：1.传输特性 2.主要波型
o
r
x
R
z
§2.3 圆形波导
波导中的E、H矢量所满足的波动方程为
2 2 t E(r, ) Kc E(r, ) 0
H 0 R 2
1.841 cos jz H z H 0 J1 r e R sin
Ez 0
§2.3 圆形波导

TE11模横截面场结构 其场结构与矩形波导主 模TE10波的场结构相似
TE11模纵截面场结构 因而它们之间的波型转换 是很方便的,图2-25
t2 1 1 2 2 2 2 r r r r 2
横向算子为
§2.3 圆形波导
纵向场满足
2 2 t Ez ( r , ) Kc Ez ( r , ) 0
2 2 t H z ( r , ) Kc H z (r , ) 0
柱坐标下为
2 Ez r 2
B sin( m 2 )
考虑φ在波导圆周横截面的不确定性，取φ1= φ2= 0 cos m 则 B (2-122) sin m 意义
§2.3 圆形波导
在m≠0时，在圆形波导中存在两种波 型，它们的截止波长和传输特性相同， 叫做 但是φ 方向（即横截面）的极化不同
电场强度的通解为
dR 2 K c r m 2 R 0 (2-117) d K c r


这是一个以Kc为参变量，以r为自变量的贝塞尔方程,解为
Rr A1J m K c r A2 N m K c r
第一类m阶Bessel函数 图2-21
第二类m阶Bessel函数 /Neuman函数 图2-22
§2.3 圆形波导
2.TM波型的传输条件 设R为波导半径，由边界条件，当r=R时，Ez=0，Eφ=0
则必须 J m ( K c R) 0 (2-125) 由贝塞尔函数性质，使上式成立的只能是某些特定的 (KcR)的值
Kc R vmn
ν
(m 0,1,2; n 1,2,3,)
mn，
(2-110) (2-131)
2 2 t H (r, ) Kc H (r, ) 0
一般意义上，柱坐标下，电场和磁场为 ˆE (r, ) z ˆEr (r, ) E (r , ) r ˆEz (r, )
ˆH (r, ) z ˆHr (r, ) H (r , ) r ˆH z (r, )
§2.3 圆形波导
由图2-22知，当r趋于0时，圆波导中心处场强为 无穷大，但在实际中是不可能的，故A2应等于零。
则
Rr A1J m K c r
(2-120)
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方程(2-116)的通解为
C1 cos m C2 sin m (2-121)
B cos( m 1 ) 或
mn有无穷多个值，不同的m、n，有不同的ν
参考图2-21, 曲线与横坐标 有一些交点， 这些交点也就 是Bessel函数 的根 ,记为
对应不同的TM波，并用TMmn或者Emn表示。 γmn 为第m阶贝塞尔函数的第n个根的值。
ν
mn
§2.3 圆形波导
圆形波导中TM波的截止波数
Kc
vmn R
(2-127)
e j z
与矩形波 导类似
特例:TM0n和TE0n波型无极化简并
' J0 ( x) J1 ( x)
(b)模式简并. 存在于不同波型之间的，只要截止频率相同.
(c )TE o (c )TM o
0n
1n
o TM 1on 和TE0 n
简并
实质 原因?
§2.3 圆形波导
2.3.4 TE11波型
立体图：Page73 图2-24
§2.3 圆形波导
2.3.5 TM01 波型
——Er
---------Hφ
TM01波型的场量表达式为
2.405 jz Er j E0 J1( r )e 2.405 R
R
z
Ez E0 J 0 (
2.405 jz r )e R
×× ××
2.405 H j E0 J 1 ( r ) e j z 2.405 R
E j
H 0 R
1.841
R
sin
Hr j
H 0 R
' 1.841 cos jz J1 r e 1.841 R sin
(2-141)
1.841 sin jz H j J1 r e 2 cos R (1.841) r
E j
m
rK c
E J ( Kc r ) 2 0 m
sin m cos m
e jz
(2-124)
Hr j
m
2 rK c
E0 J m ( Kc r )
sin m cos m
e jz
H j

Kc
cos m jz ' E0 J m ( Kc r ) e sin m
Eφ Hr
§2.3 圆形波导
TE01波的特点 : (1) 电磁场沿角向均无变化，具有轴对称性，不存
在极化简并，但它与 TM11模是简并的。
(2) 电场只有角向，电力线都是横截面内的同心圆。 (3) 在r=R的波导壁附近，Hr很小（因为J1(3.832)很小）, 磁场只有Hz分量，故只有φ方向的管壁电流，而无纵 向电流。
(2-113)
§2.3 圆形波导
R(r ) 仅是r的函数 ( ) 仅是φ的函数
二者互不相关
故柱坐标下的波动方程可以写成
2 R 1 R R 2 2 2 2 2 Kc R 0 r r r r
r 2 2 R r R 1 2 2 2 Kc r 2 R r R r 2
H z H 0 J m ( Kcr ) cos m sin m e j z
(2-131)
横向场与纵向场的关系
Ht K
ˆ Ht Et ZTE z
2 c
t H z
或 者
j H t 2 t H z Kc
Z TE
j

1 Et 2 jz ˆ t H z Kc
R
E H r H z 0
z
§2.3 圆形波导
场结构的特点及其应用
(1) 电磁场沿角向不变化，即场分布具有轴对称性。 (2) 电场虽然有r、z两个方向，但它在轴线方向（z向） 较强。因此它可以有效地和轴向运动的电子流交换能 量。某些微波管和直线型电子加速器所用的谐振腔和
慢波系统就是由这种波型演变而来的。
设μmn为m阶Bessel函数的导数的第n个根
则
K c R mn
(m 0,1,2; n 1,2,3,)
圆形波导中TE波的截止波数 截止波长为
(c )TE
Kc
mn
R
(2-137)
2 2R K c mn
截止频率：(fc)TE =v/λc=vμmn/2πR (2-139) TE11为基摸
(3) 磁场仅有Hφ分量。因而管壁电流只有纵向分量。利用 TM01波的这种旋转对称性，可以制作雷达天线和馈电 波导间的旋转接头（图(2-26)。
§2.3 圆形波导
2.3.6 TE01波 截止波长 :
(c ) TE o 1.64 R
01
(2-144)
将m=０、n=1 代入TE波型的场方程,得到 TE01波的场方程, （2-145）式
§2.3 圆形波导
四个横向场分量为
Er j
m
2 Kc r
H 0 J m ( Kc r )
sin m cos m
e jz
E
cos m jz ' j 2 H 0 J m ( Kc r ) e sin m rK c


(2-133)
Hr j
Kc
' H0 Jm ( Kc r )
两边同乘以 r2/Rφ
等式两端等于一个常数，设为m2
§2.3 圆形波导
r
2
得两 个常 微分 方程
d 2R dr
2
r
dR Kc r 2 m2 R 0 dr


(2-115) (2-116)
d 2 d
2
m2 0
K c r
2
d K c r
d 2R
2
Kc r