《概率论》第5章§2中心极限定理

500
~
故至少应配备28条外线才能满足要求. k =1 第五章 大数定律与中心极限定理
§2
中心极限定理
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设 {Xn} 是独立r.v列,它们具有数学期望和方差： 是独立r.v列 它们具有数学期望和方差： E( Xk ) = µk , D( Xk ) = σk2 > 0 (k = 1,2, ⋅⋅⋅) n 2 ∆ 2 Bn = ∑σk (n =1,2,⋅⋅⋅) k =1 李雅普诺夫条件 若存在δ > 0,使得当 n → ∞时,有
Zn= k =1
k =1
D(∑ Xk )
k =1
n
=
k =1
k =1
∑σk2 k =1
n
(n = 1 ⋅⋅⋅) ,2,
E(Zn ) = 0, D(Zn ) = 1 (n = 1 ⋅⋅⋅) ,2, 部分和标准化r.v 部分和标准化r.v 若 Zn 的分布函数 Fn(x) 对任意 x 满足 n {Zn}的极限分布是否为nN(0,1) ∑ k ∑ k =1X − k =1µk 一般地，答案是否定的！ 一般地，答案是否定的！ lim Fn(x) = lim P ≤ x n n→∞ n→∞ σ ∑ 2 Xn = 0 (n = 2,3,⋅⋅⋅), 则 =1 k 取 k 2 x X1 − µ− t 1 1 Z= = σ e 2 dt = Φ(x) ) (n = 1 ⋅⋅⋅ ,2, n ∫−∞ 2π 1 除非 {X服从正态分布，否则结论就不真. n }服从中心极限定理第五章 大数定律与中心极限定理 则称 X1 服从正态分布，否则结论就不真.
1 2 Bn+δ
n
∑ E{| Xk − µk |2+δ } →0 k =1
n n n
n
则 {Xn }服从中心极限定理,即 服从中心极限定理,
Zn =
∑ ∑ ∑ Xk − E(k=1 Xk ) k=1 Xk − k=1 µk ∑ k =1
D(∑ Xk )
k =1 n
=
近似
Bn
~ N(0,1)
人物介绍 李雅普诺夫
第五章 大数定律与中心极限定理
∑ Xi − np ηn − np i =1 lim P ≤ x = lim P ≤ x n→∞ n→∞ np(1− p) np(1− p)
n
= ∫−∞
x
第五章 大数定律与中心极限定理
1 e−t2 dt = Φ(x) 2π
2
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中心极限定理
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对于一列二项分布r.v 对于一列二项分布r.v ηn ~ b(n, p) (n = 1,2,⋅⋅⋅) 有 ，
第五章 大数定律与中心极限定理
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中心极限定理
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为什么叫“中心极限定理” 为什么叫“中心极限定理” 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理是棣莫弗于1730年给 棣莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理 是 棣莫弗 于 1730年给 出的概率论历史上第一个中心极限定理 在此后的大约200 中心极限定理. 出的概率论历史上第一个中心极限定理.在此后的大约200 年中， 年中，有关对独立随机变量和的极限分布的讨论一直是概 率论研究的中心，故称为“中心极限定理” 率论研究的中心，故称为“中心极限定理”. 1 、3 、4 、5 、7 、8 至少做四题) (至少做四题) ΕΝ∆
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中心极限定理
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在现实中为什么很多数量指标都服从 或近似服从正态分布
Z
近似
~N( ⋅ ,
⋅ )
研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素 综合影响而成, 综合影响而成,即
Z = X1 + X2 +⋅⋅⋅+ Xn 当 n →∞时,在什么情况下
n i =1
Zn = ∑ Xi的极限分布是 N( ⋅, ⋅ )
因二项分布产生于 n重伯努利试验,故 ηn可分解为 重伯努利试验, ηn = X1 + X2 +⋅⋅⋅+中心极限定理, Xn 该定理是概率论历史上第一个中心极限定理 该定理是概率论历史上第一个 中心极限定理 , 由 棣莫 Xk (k = 1,2,⋅⋅⋅ =1/ 2时的证明,几十年后经拉普拉斯推广 其中1730年给出 ) 为独立同分布的(0-1)分布r.v,且 分布r.v, 时的证明, 弗于1730年给出 p 为独立同分布的(0-1)分布r.v,且 的一般情形. 到 0 < p <1的一般情形., D( Xk ) = p(1− p) (k =1,2,⋅⋅⋅) E( Xk ) = p 由独立同分布的中心极限定理, 由独立同分布的中心极限定理,有
∑ Xi − ∑E(Xi ) i =1 i =1
D(∑ Xi )
n i =1
n
n
的极限分布是 N(0,1)
第五章 大数定律与中心极限定理
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中心极限定理
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设 { Xn}是独立r.v列,均值和方差都存在 是独立r.v r.v列 2 E( Xn ) = µn , D( Xn ) = σn (n = 1,2, ⋅⋅⋅) n n n n 令 ∑ Xk − E(∑ Xk ) ∑Xk − ∑µk
记 则
, 1 小球碰第 Xk = −1 小球碰第 ,
k =1
(k=15 ⋅⋅⋅,15) n = 1,2, k层钉后向左落下 µ = 0,σ 2 =1 近似 15 nσ 2 =15 2) Xk N( nµ , nσ N( 0 ,15 ) ∑
k层钉后向右落下
~
第五章 大数定律与中心极限定理
§2 中心极限定理 某单位电话交换机接有500部电话, 某单位电话交换机接有500部电话,在所有通话中 500部电话 96%次通话是在各分机内进行的. 有96%次通话是在各分机内进行的.假定每部分机是否需要 打外线是相互独立的,问要配备多少条外线才能以95 95% 打外线是相互独立的,问要配备多少条外线才能以95%的概 率保证每个分机要用外线时不必等候？ 率保证每个分机要用外线时不必等候？ 在任一时刻， 在任一时刻，记 1 第 k台分机要用外线 , (k = 1,2, ⋅⋅⋅,500) Xk = 0, 否则 独立同分布， 则 X1 , X2 ,⋅⋅⋅, X500 独立同分布，且 500
第五章 大数定律与中心极限定理
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中心极限定理
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对于均值为 µ,方差 σ 2 > 0 的独立同分布的 r.v 列 有 即或
X1 , X2 ,⋅⋅⋅, Xk ,⋅⋅⋅
近似
k =1
∑ Xk − nµ
nσ
n
~ N(0, 1)
2
X1 + X2 +⋅⋅⋅+Xn
近似
~ N(nµ , nσ )
在实际问题中, 在实际问题中,如果某数量指标满足 该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成 这些随机因素都是微小的、 这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到 突出的作用 则这个数量指标近似地服从正态分布
7 8 9 10 11
近似
拉普拉斯
O
1 2 3 4 5 6
k
第五章 大数定律与中心极限定理
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中心极限定理
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高尔顿( 高尔顿( Francis Galton,1822Galton,1822-1911) 英国人类学家和气 象学家
共15层小钉
x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
ηn − np
近似
np(1− p)
~ N(0,1)
于是当 n充分大时，可以认为 充分大时， 近似 ηn N(np , np(1− p)) η20 ~ b(20,0.2) 的图形为
~
P{ 20 = k} η
人物介绍
棣莫弗
人物介绍
η20 ~ N(4 , 3.2) P{P{ = 3} =} = 0.218 ηnηn = 4 0.205 P{ n = 2} P{ .n = 5} = 0.175 η = 0 137 η P η= 01= 0.012 P{ = k = 0.109 P{ { n =}} = 0.058 ηnn= 6}} < 0.001 (k ≥ 11) ηn P{ η P{ n = 7} = 0.055 η
Zn = k =1
k =1
D(∑ Xk )
k =1
n
= k =1
nσ
(n = 1 ⋅⋅⋅) ,2,
的分布函数 Fn (x) 对任意 x 满足 n ∑ k =1 Xk − nµ
n→∞
lim Fn (x) = lim P n→∞
x
nσ
≤ x
= ∫−∞ 1 e 2π
−t 2
2
dt = Φ(x)
第五章 大数定律与中心极限定理
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中心极限定理
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η 为服从 设{ n}为服从 参数为 n, p (0 < p <1Fra Baidu bibliotek 的 二项分布r.v列, 则对任意 x 有 二项分布r.v r.v列
2 x ηn − np 1 e−t2 dt = Φ(x) lim P ≤ x = ∫−∞ n→∞ 2π np(1− p)
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P{Xk = 0}∑0.96,20{Xk =1 =p = 0.04− 20 } = Xk − P N − 20 ≈ Φ( N k =1 ) ≥ 0.95 P{∑Xk ≤ N } = P ≤ 又 由独立同分布中心极限定理有 19. 0 19.2 k =1 n = 520 19.2 500 近似 p = 0.04 查正态分布表得 Φ(1.65) = 0.95,故有 ) N(20, 19.2 ∑Xk k =1 np = 20 N − 20 ≥ 1.65 N ， np 条外线才能满足要求，则应有 设共需要 N 条外线才能满足要求≥ 27.23 (1− p) =19.2 19.2 500 P{∑ Xk ≤ N } ≥ 0.95 故至少应配备28条外线才能满足要求. 故至少应配备28条外线才能满足要求. 28条外线才能满足要求
则
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中心极限定理
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{Xn} 服从中心极限定理的条件是什么
X1 , X2 ,⋅⋅⋅, Xn ,⋅⋅⋅ 相互独立
E( Xk ), D( Xk ) 都存在 (k = 1,2, ⋅⋅⋅)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
第五章 大数定律与中心极限定理
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中心极限定理
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设 {Xn }为独立 同分布的 r.v 列，其数学期望和方差分别为 E( Xk ) = µ, D( Xk ) = σ 2 > 0 (k = 1,2, ⋅⋅⋅) 即标准化r.v 则 {Xn }服从中心极限定理 ,即标准化r.v n n n ∑ Xk − E(∑ Xk ) ∑ Xk − nµ