4-2正态随机变量的线性组合

} 0.005
} 0.005
} 0.9百度文库5 {2.576}
3 2
2.576 0.2241
例4(P103-例3) 设X 1 , X 2 , ..., X 9相互独立且都服从N (2, 4). Y1 , Y2 , Y3 , Y4相互独立且都服从N (1,1).又设X , Y 相互独立.求 P{ X Y }
1 n ( i 1, 2, ..., n), X X i 是X 1 , X 2 , ..., X n的算术平均, 则 n i 1 X
/ n
N (0, 1) 或 X N ( ,
2
n
)
例1 随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试求 Z=2X-Y+3的概率密度. 解: X~N(1,2), Y~N(0,1)，且X与Y独立
f X Y (t )


fY ( y ) f X (t y )dy
1 2

+
-
1 2
e
y2 2 2
e

( t y )2 2
dy
2
1

+ -
e
1
1[ 2
y2 (t 2
y )2 ]
dy
（略中间过程，P100）
f X Y ( t )
2 1
故X和Y的任意线性组合是正态分布.
即 Z~N(E(Z), D(Z)) E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5
D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9
Z~N(5, 32)
1 3 2 e
( z 5)2 18
Z的概率密度为 :
fZ (z)
,
(Z R)
例2(类似P101-例1) 活塞的直径(以cm计)X N (22.4, 0.032 ), 气缸的直径Y N (22.5, 0.042 ), 设X , Y 相互独立.任取一活塞,任 取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率.
X 1
2

Y 2
2
)+1 2
X N(, 2 ) Y aX b N (a b,(a)2 )
X 1
2
1 12 N (0, 2 ) 2 2 2
X Y 2
Y 2
2
N (0,1)
X 1
2

2
2
e

t2 2(1 2 )
即 X Y N (0, 2 1)
TH 1.
2 设X N ( 1 , 12 ), Y N ( 2 , 2 ), 且X , Y 相互独立, 2 则 X Y N ( 1 2 , 12 2 )
证: X Y 2 (
X Y 1 25 / 36

0 1 25 / 36
}
1 {
1 25 / 36
} 1 (1.2) 0.8849
本节重点总结
相互独立正态随机变量线性组合的分布
n维正态分布简介
1、n维正态分布的定义
X ( X 1 , X 2 , ..., X n )为n维随机变量, 如果其概率密度为 1 f ( x1 , x2 , ..., xn ) exp{ ( X )C 1 ( X )} (2 )n 2 | C |1 2 2 其中C为( X 1 , X 2 , ..., X n )的协方差矩阵, C 为C的行列式, C 1 为C的逆矩阵, X 和为n维列向量, X 为X的转置矩阵.则称 n维随机变量( X 1 , X 2 , ..., X n )服从n元正态分布.
12 N (0, 1 2 ) 2
12 2 2 2 X Y N [ 2 * 0 1 2 , 2 (1 2 )] N ( 1 2 , 1 2 ) 2
TH 2. 设X 1 , X 2 , ..., X n相互独立, 且X i N ( i , i2 )( i 1, 2, ..., n), 对于任意不全为0的常数C1 , C 2 , ..., C n , 有
解: {活塞能装入气缸}={X<Y}={X-Y<0} X i N ( i , i2 ), 定理2 , 则 Ci X i N ( Ci i , Ci2 i2 )
i i i
令Z X Y , 则Z N ( E( Z ), D( Z ))
E ( Z ) E ( X ) E (Y ) 0.1
即 Z N (0.1,0.052 )
D( Z ) D( X ) D(Y ) 0.052
Z ( 0.1) 0 ( 0.1) P{ X Y } P{ Z 0} P{ } 0.05 0.05 0 ( 0.1) { } (2) 0.9772 0.05
D(Y1 Y2 Y3 ) D(Y1 ) D(Y2 ) D(Y3 ) 3*0.32 0.27
故 Y1 Y2 Y3 N (18,0.27)
P{Y1 Y2 Y3 19} P{
Y1 Y2 Y3 18 0.27

19 18 0.27
}
0.27 (2) Yi N (6, 2 ), 已知 P{Y1 Y2 Y3 19} 0.005
n=2时对应二元正态分布的概率密度
1
2、n维正态分布的主要性质
(1) (X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布 Xi, 服从正态分布.
(2) X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布 对不全为0实数 a1,a2,…,an，a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn服从正态分布.
(3) 若 X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布， Y1,Y2, …，Yk是 Xj（j=1,2,…,n）的线性函数，则(Y1,Y2, …，Yk)也服从 多元正态分布(正态变量的线性变换不变性) (4) 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 X1,X2, …,Xn相互独立 X1,X2, …,Xn两两不相关。
1 {
1
} 1 (1.92) 1 0.9726 0.0274
Y1 Y2 Y3 N (18, 3 )
2
P{Y1 Y2 Y3 19} P{
即 1 { 1 3 1
2
Y1 Y2 Y3 18 3 2
{ 1 3
2

19 18 3 2
例3(P102-例2) 一电路由3只独立工作的电阻器串联而成, 各只额定电阻值均为6欧. (1)已知电阻器的电阻(以欧计) Y N (6, 0.32 ), 求电路的总电阻W 超过19的概率; (2)设电阻器 的电阻Y N (6, 2 ), 若要求电路的总电阻W 超过19的概率小于 0.005, 问要控制 至多是多少 ?
2 2 U C1 X 1 ... C n X n N (C1 1 ... C n n , C12 12 ... C n n )
X N(, 2 ) Y aX b N (a b,(a)2 )
1 取 C1 C 2 ... C n n 推论. 设X 1 , X 2 , ..., X n相互独立, 且服从同一分布N ( , 2 )
解: 记3只电阻器的电阻分别为Y1 , Y2 , Y3 , 且Y1 , Y2 , Y3相互独立
(1) Yi N (6, 0.32 ), 所求概率P{Y1 Y2 Y3 19}
E (Y1 Y2 Y3 ) E (Y1 ) E (Y2 ) E (Y3 ) 3*6 18
1 9 4 解: 由TH2推论知, X X i N (2, ) 9 i 1 9 4 1 25 1 4 1 ) Y Yi N (1, ) X Y N (2 1, ) N (1, 9 4 36 4 i 1 4
P{ X Y } P{ X Y 0} P{
第二节
正态随机变量的线性组合
主要内容（0.5学时）
相互独立的正态随机变量线性组合
引理.
设Y N (0, 2 ), X N (0,1), 且X , Y 相互独立, 则 X Y N (0, 2 1)
证:设X ,Y , X Y的概率密度分别为f X ( x ), fY ( y), f X Y (t )