弹性力学总结与复习优秀PPT
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Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
（5） 半平面问题
y
rf ( )
P
O
r
x
q
y
( )
O
x
r
y
r 2 f ( )
q aa
M O
r
x
q(x)
O
x
r
y r3 f ( )
O
r
y
x
利用叠加法求解
（3）边界条件：
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
（2-18）
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下
（1） 先由方程（2-27）求出应力函数： (x, y)
4 2 4 4 0
x4 x2y2 y4
4 0
(2-27)
（2） 然后将 (x, y) 代入式（2-26）求出应力分量： x , y , xy
极坐标下 （1） 轴对称问题
应力函数 A ln r Br 2 ln r Cr 2 D
（4－11）
应力分量 位移分量
r
rA2rA2BB(1(3
2
ln r) 2ln r)
2C 2C
r r 0
（4－12）
ur
1 E
(1 )
A r
2(1 )Br(lnr
1) (1 3)Br
2(1 )Cr I cos K sin （4-13）
练习：
（1） 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，
在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 x , y
与剪应力 xy 间的关系。设杆的横截面形状为狭 长矩形，板厚为一个单位。
（2） z 方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界
受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的 基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位 移分量。
x
2
y 2
Xx
y
2
x2
Yy
xy
2
xy
(2-26)
（3） 再让 x , y , xy 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
（2-18）
us u （2-17） vs v
极坐标下
（1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数 (r, )
（3） 有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为 t，两
端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发
现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的
最大应力如何？最大应力发生在何处？
q
q
q
q
q
45°
q
q
q
（4） 已知圆环在 r = a 的内边界上被固定，在 r = b
的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。 试确定圆环内的应力与位移。
x y
（2-2）
yx y Y 0
x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（1）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。
（2）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
2 y 2
2 x 2
( x
y)
(1
)
X x
Y y
（平面应力情形） （2-23）
u
4Br
E
Hr
I sin
K cos
式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。
（2） 圆孔的孔边应力集中问题 原问题的转换：
问题1
轴对称问题
a
问题2
非轴对称问题 a
b
r
q 2
b
r
q sin 2
2
r
q 2
cos 2
f (r) cos 2
Ar
4
Br
2
C
D
1 r2
cos
2
（3） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式
(r, ) A
四、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量
（1）形变势能U、比能U 1； （2）形变余能U *、比余能U *1；
（3）总势能； （4）总余能 *；
各量的计算。
2. 变分方程与变分原理
（1）
位移变分方程； 虚功方程；
最小势能原理；
伽辽金变分方程；
j,i )
学 基本方程 问 题
物理方程（6个）：
ij
1 E
(1 ) ij
kk ij
边界条件 （6个）
应力边界条件（3个）： ijn j X i
位移边界条件（3个） ： ui ui
求解方法
—— 数学上构成偏微分方程的定解问题
求解方法
函数解 精确解； 近似解；（如：基于能量原理的解）
数值解（如：有限差分法、有限单元法等）
（1） 楔顶受集中力偶
y
( )
MO
2
2
（2） 楔顶受集中力
y
P
rf ( )
O
2
2
x
x
（3） 楔形体一侧受分布力
r 2 f ( )
r3 f ( )
（4） 曲梁问题
M ( ) f1(r) q( ) f2 (r) r Q( ) f3 (r)
其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，
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4
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量： r , , r
（4－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
1 r r
（4－5）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
ur , u 为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
4. 平面问题Airy应力函数 的选取：
直角坐标下
y 0
O
b
xl
y
y 0
y f ( y)
O
y xf ( y)
x
g
x
(x, y)
gy
ax3 bx2 y cxy2 dy3
g
y 习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
实验方法
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分：
按位移求解； 按应力求解；
（2）按采用的坐标系分： 直角坐标解答； 极坐标解答；
初等函数解； （3）按采用的函数类型分： 级数解；
复变函数解；
逆解法； 半逆解法；
2. 平面问题求解的基本方程
说明：
（1）平衡方程
x xy X 0
《弹性力学》课程总结与复习
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量
5个基本假设；
15个基本量：ui , ij, ij
基本原理 平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体）
弹
平衡微分方程（3个）： ij, j X i 0
性 力
控制微分方程 （15个）
几何方程（6个）：
ij
1 2
(ui, j
u
结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
（5） 半平面问题
y
rf ( )
P
O
r
x
q
y
( )
O
x
r
y
r 2 f ( )
q aa
M O
r
x
q(x)
O
x
r
y r3 f ( )
O
r
y
x
利用叠加法求解
（3）边界条件：
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
（2-18）
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下
（1） 先由方程（2-27）求出应力函数： (x, y)
4 2 4 4 0
x4 x2y2 y4
4 0
(2-27)
（2） 然后将 (x, y) 代入式（2-26）求出应力分量： x , y , xy
极坐标下 （1） 轴对称问题
应力函数 A ln r Br 2 ln r Cr 2 D
（4－11）
应力分量 位移分量
r
rA2rA2BB(1(3
2
ln r) 2ln r)
2C 2C
r r 0
（4－12）
ur
1 E
(1 )
A r
2(1 )Br(lnr
1) (1 3)Br
2(1 )Cr I cos K sin （4-13）
练习：
（1） 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，
在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 x , y
与剪应力 xy 间的关系。设杆的横截面形状为狭 长矩形，板厚为一个单位。
（2） z 方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界
受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的 基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位 移分量。
x
2
y 2
Xx
y
2
x2
Yy
xy
2
xy
(2-26)
（3） 再让 x , y , xy 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
（2-18）
us u （2-17） vs v
极坐标下
（1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数 (r, )
（3） 有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为 t，两
端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发
现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的
最大应力如何？最大应力发生在何处？
q
q
q
q
q
45°
q
q
q
（4） 已知圆环在 r = a 的内边界上被固定，在 r = b
的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。 试确定圆环内的应力与位移。
x y
（2-2）
yx y Y 0
x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（1）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。
（2）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
2 y 2
2 x 2
( x
y)
(1
)
X x
Y y
（平面应力情形） （2-23）
u
4Br
E
Hr
I sin
K cos
式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。
（2） 圆孔的孔边应力集中问题 原问题的转换：
问题1
轴对称问题
a
问题2
非轴对称问题 a
b
r
q 2
b
r
q sin 2
2
r
q 2
cos 2
f (r) cos 2
Ar
4
Br
2
C
D
1 r2
cos
2
（3） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式
(r, ) A
四、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量
（1）形变势能U、比能U 1； （2）形变余能U *、比余能U *1；
（3）总势能； （4）总余能 *；
各量的计算。
2. 变分方程与变分原理
（1）
位移变分方程； 虚功方程；
最小势能原理；
伽辽金变分方程；
j,i )
学 基本方程 问 题
物理方程（6个）：
ij
1 E
(1 ) ij
kk ij
边界条件 （6个）
应力边界条件（3个）： ijn j X i
位移边界条件（3个） ： ui ui
求解方法
—— 数学上构成偏微分方程的定解问题
求解方法
函数解 精确解； 近似解；（如：基于能量原理的解）
数值解（如：有限差分法、有限单元法等）
（1） 楔顶受集中力偶
y
( )
MO
2
2
（2） 楔顶受集中力
y
P
rf ( )
O
2
2
x
x
（3） 楔形体一侧受分布力
r 2 f ( )
r3 f ( )
（4） 曲梁问题
M ( ) f1(r) q( ) f2 (r) r Q( ) f3 (r)
其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，
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4
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量： r , , r
（4－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
1 r r
（4－5）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
ur , u 为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
4. 平面问题Airy应力函数 的选取：
直角坐标下
y 0
O
b
xl
y
y 0
y f ( y)
O
y xf ( y)
x
g
x
(x, y)
gy
ax3 bx2 y cxy2 dy3
g
y 习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
实验方法
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分：
按位移求解； 按应力求解；
（2）按采用的坐标系分： 直角坐标解答； 极坐标解答；
初等函数解； （3）按采用的函数类型分： 级数解；
复变函数解；
逆解法； 半逆解法；
2. 平面问题求解的基本方程
说明：
（1）平衡方程
x xy X 0
《弹性力学》课程总结与复习
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量
5个基本假设；
15个基本量：ui , ij, ij
基本原理 平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体）
弹
平衡微分方程（3个）： ij, j X i 0
性 力
控制微分方程 （15个）
几何方程（6个）：
ij
1 2
(ui, j
u