第三章 时域分析法

与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s (2)
1/ Kh 100 / s ( s ) 1 K h 100 / s 1 s / 100K h
1 0.1 , 得 K h 0.3 100K h 3
•
• 要求ts=0.1s，即3T=0.1s, 即
• 解题关键：化闭环传递函数为标准形式。
h(t)=1－e-t/T
0
t
⑴讨论：当t=0
t=T
h(0)=0
t→∞ h(∞)=1
h(T)=0.632
t=3T h(3T)=0.95
⑵一阶系统的响应曲线斜率： t=0时 h’(t) t=0=(1－e－t/T)’ t=0=－e－t/T(－1/T) t=0=1/T 当t=T时 h’(t) t=T=0.368/T 当t=∞时 h’(t) t=∞=0 一阶系统的响应曲线斜率初始值为1/T，并随时间下 降，当t＝∞时，动态过程结束，但工程上习惯取t=(35)T，认为过渡过程结束。
3.1.3时间响应的性能指标
在假定系统的初始条件为零，系统在阶跃函数作用下的动态性 能指标有：
(1)上升时间tr有二个定义： a.响应曲线从终值10%到90%所需时间（阶跃响应曲线不超 过稳态值时）； b.响应曲线第一次上升到终值所需时间。 tr越小，说明系统响应速度越快。 (2)峰值时间tp：响应曲线达到第一个峰值所需时间。
3.3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的典型形式 控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。
d 2 c( t ) dc( t ) T 2 T c( t ) r ( t ) 2 dt 1 2dt 2 s C ( s) sC ( s ) C ( s ) R( s ) 2 n n
（3）过渡过程时间(调节时间)ts：响应曲线衰减到与稳态值之差 不超过5%或2%内所需要的时间。 （4）超调量δ%：最大偏离量h(tp)与终值h(∞)之差的百分比。 （5）振荡次数N：在调节时间范围内，阶跃响应曲线穿越其稳态
值次数的一半称为振荡次数。 在上述时域指标中：
上升时间tr、峰值时间tp评价系统的响应速度；
n2 s( s 2 n )
C(s)
•其中： ωn—自然频率；ζ—阻尼比。
标准形式
3.3.2二阶系统的阶跃响应
单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。 其输出的拉氏变换为 2 2
C ( s ) ( s ) R( s )
n n 1 2 s s( s s1 )( s s 2 ) s 2 2 n s n
研究一个系统，主要是针对某一输入作用，研究其输入－－输出之间的关系。
作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他形式的函数作用下，也能满足要求。 所以，通常在系统分析中以单位阶跃函数作为典型输入作用，则可以在一个统一 的基础上对各种控制系统的特性进行比较。
3.1.2单位冲激响应
传递函数的反拉氏变换单位冲激响应
B B 峰值时间 峰值时间 tt pp
上升 升 上 时间 时间 tt rr 调节时间 ts 调节时间 ts
tt
动态性能指标定义2
h(t)
调节时间 ts 上升时间tr
t
3、动态性能与稳定性能
系统的稳态性能用稳态误差来描述，稳
态误差是对系统精度的一种衡量，它表达 了系统实际输出值与希望输出值的最终偏
教学内容
4、二阶系统的性能改善，通过增加系统中的控制环节，改善系统 的性能，改善性能的实质是改变了阻尼系数和振荡频率。 5、稳定性分析，重点介绍劳思稳定判据，霍尔维茨稳定判据留作 自学。 6、稳态误差分析及计算，重点介绍静态误差系数。 自学内容： 1、二阶系统的斜坡响应 2、高阶系统的时域分析 3、动态误差系数
教学内容
1、时域指标的定义及物理意义
2、通过对简单的一阶系统分析入手，进一步掌握时域指标的概念 及其计算方法。
3、二阶系统的时域分析，这是时域分析法中最重要的一节内容。
二阶系统有完整准确的数学模型以及数学分析； 二阶系统在实际应用中的普遍性；
不少二阶系统在一定的条件下可以用二阶系统来近似分析；
二阶系统的阶跃响应，ξ、ωn与极点关系，与系统性能的关系， 以及时域指标的计算； 二阶系统的斜坡响应，可一般简介。
1 t T
t=0时，e(0)=0；t→∞时，e(∞)=t－T
讨论： 1.斜坡响应有二部分 稳态分量：t－T响应曲线比输入曲线延迟T 瞬态分量： 2.输出误差

Te
t T
随时间的增加而减小。
t t e(t ) r (t ) c (t ) t t T Te T T Te T
宽h和有限幅度的脉冲函数来近似代替，一般要求h<0.1T。
3.2.3一阶系统的单位斜坡响应
当输入为单位斜坡函数r(t)=t，
R( s )＝ 则：C ( s ) 1 s2 1 1 R( s) 2 TS 1 S (TS 1)
r(t)=t
c(t)
t
1 T T2 2 S TS 1 S 所以：c(t ) L C ( s ) t T Te t 0
R ( s ) L[ (t )] 1 C ( s) G ( s) R( s) G ( s) g (t ) L1[C ( s )] L1[G ( s )]
3.1.2系统的时间响应
c(t ) L1[C ( s)]
有理分式 C ( s ) 的每一个极点都对应 c(t ) 中的一个时间响应项，即运动模态。 把传递函数极点所对应的运动模态称为该系统的自由运动模态。 系统的时间响应中，与传递函数极点对应的时间响应分量称为瞬态分量，与输入 信号极点对应的时间响应分量称为稳态分量。
差。
3－2
一阶系统的时域分析
i(t)
1、一阶系统的数学模型，如RC电路
C(t)为输出，r(t)为输入，C(0)=0
列方程：Ri(t ) c(t ) r (t ) ① dc(t ) c(0) 0 . ② dt dc(t ) RC c(t ) r (t ) dt i (t ) C
r(t)
R
C
c(t)
令：T＝RC 并取Laplace变换：
TSC ( s ) C ( s ) R ( s ) 所以，一阶系统的数学模型为： C (s) 1 (s) R ( s ) TS 1 画方框图 : 由①式：I ( s ) R(s) C (s) R
R(s) I(s) C(s)
2
2 n C ( s) ( s ) 2 2 R( s ) s 2 n s n
•取拉氏变换，有 •整理得传递函数 •又因为 •故得结构图
标准形式
R(s)
(- )
2 n 2 n s( s 2 n ) 2 2 n s( s 2 n ) n 1 s( s 2 n )
二阶系统特征方程
2 s 2 2 n s n 0 •其根决定了系统的响应形式。 •进一步的描述如下图：
2 3 5 3 1 4 5
j
1.6 1.4
c(t)
2 1 3
1.2

0
1 2
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
5 4 t
0 2 4 6 8 10 1214 16 18
(a) 闭环极点分布
性系统”。
3.2.2一阶系统单位脉冲响应
当输入为单位脉冲函r(t)=δ(t)，
求其脉冲响应。 因为R(s)=1，由脉冲响应的意
g(t)
义，
C ( s) 1 1 R( s) ( s) TS 1 TS 1 t 1 1 T g (t ) L1 ( S ) L1 e (t 0) TS 1 T
当t=0时，e(0)=0；t→∞时，e(∞)=T
误差与时间常数T有关，惯性越小，系统的速度跟踪误差
越小，精度越高。
一阶系统暂态响应小结
1.对于单位阶跃响应，当t→∞时，系统的稳态误差 e(t) →0, 说明一阶系统能跟踪单位阶跃输入。 2.对于单位斜坡响应，当t→∞时，系统的稳态误差 e(t) ＝T，说明一阶系统在单位斜坡信号作用下， 存在一个跟踪误差，而且T越小，误差越小。 3.一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪， t→∞时，e(t) → ∞。 4.一阶系统的快速性和稳态误差都与T的大小有关 系。 5.几种典型信号响应关系，请看教材P76和表3－2。
例3.1 某一阶系统如图,（1）求调节时间ts,（2）若要求 ts=0.1s,求反馈系数 Kh .
R(s)
E(s)
100/s
C(s)
(- )
Kh 0.1

解: (s )
(1)
G(s ) 100 / s 100 10 1 G(s )H (s ) 1 (100 / s ) 0.1 s 10 1 s / 10
第三章：线性系统的时域分析法
教学目的
时域分析是控制系统分析的一个十分重要的分析方法，通过本 章学习，要使学生掌握时域分析方法和系统几个重要时域指标的物
理意义、计算方法。如何应用时域分析方法分析控制系统的稳定性、 稳态误差和过渡过程指标，以及这些指标的计算方法。
教学重点
本章是经典控制理论中很重要的一章，需要掌握的重点内容 比较多。 1、时域指标及物理意义 2、二阶系统的时域分析，重点分析欠阻尼状态。 3、劳思稳定判据 4、稳态误差的概念及其计算
超调量δ%评价系统的阻尼程度；
调节时间ts综合反映响应速度和阻尼程度。
%
h(t p ) h( ) h ( ) 100 % 若h(t p ) h( ) ，则响应无超调
动态性能指标定义1
h(t) h(t)
A A 超调量 σ%= = 超调量 σ% A A 100% 100% B B
t
一阶系统的脉冲响应为一单调下降指数曲线，其衰减到初
始值5%所需时间仍为ts=3T。 由于系统的单位脉冲响应
( s) 1 TS 1
C ( s) 1 TS 1
与系统传递函数
包含了相同的动态信息，工程上常用测量系统
的单位脉冲响应，来求出被测系统的传递函数。
工程上无法得到理想单位脉冲函数，一般用具有一定脉
的。
3.1.1典型输入信号
但在绝大多数情况下，输入信号以无法预测的方式变化，为了便于分析、设计， 便于对各种系统的性能进行比较，常假定一些基本输入函数形式作为典型输入信 号。 常用的典型信号有：单位阶跃函数、单位斜波函数、单位加速度函数、正弦 函数。 典型输入信号是理想化的函数，代替实际输入。 对于某一具体系统，不同形式的输入信号，所对应的输出响应是不同的，但 系统性能是由自身结构参数决定的，而与输入信号无关。 一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态，如果系统在阶跃函数
时域分析法是经典控制理论中的一种常用的系 统分析方法。
系统的性能指标，主要有动态性能指标和稳态 性能指标。
3－1引言
时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，具有
直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。
时域分析法的局限性是，除了简单的一、二阶系统
外，要精确求解系统的动态指标的解析表达式是很困难
(b) 单位阶跃响应曲线
(1). 欠阻尼二阶系统 (即0<ζ<1时) •系统有一对共轭复根： • 阶跃响应为
c( t ) 1
s1 ωn
j jd 0
s1, 2 n j n 1 2= jd =cos
1 由②式：I ( s ) CSC( s ) 或C ( s ) CS
3.2.1一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
于是
C (s) 1 1 1 s(Ts 1) s s 1/ T
r (t ) 1(t ), R( s)
1 s
Байду номын сангаас
1
c(t)
单位阶跃响应h(t)为 ：
0.632
a.求上升时间tr 由上升时间的定义，分别求出h(t1)=0.1；h(t2)=0.9 得：t1=0.1T；t2=2.3T 所以：tr=t2－t1=2.2T b.同理可求出ts=3T c.一阶系统没有超调，所以不需要求tp和δ%。
讨论：动态指标与时间常数T有关，T越小，其响
应过程越快，即惯性越小，一阶系统又称为“惯