2014届高考数学一轮复习教学案用样本估计总体(含解析)

用样本估计总体

[知识能否忆起]

一、作频率分布直方图的步骤

1．求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．

2．确定组距与组数．

3．将数据分组．

4．列频率分布表．

5．画频率分布直方图．

二、频率分布折线图和总体密度曲线

1．频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．

2．总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．

三、样本的数字特征

四、茎叶图

茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，方便记录与表示．

[小题能否全取]

1.(教材习题改编)( ) A ．23与26 B ．31与26 C ．24与30

D ．26与30

解析：选B 观察茎叶图可知，这组数据的众数是31，中位数是26.

2．(教材习题改编)把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是( )

A ．0.05

B ．0.25

C ．0.5

D ．0.7

解析：选D 由题知，在区间[10,50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为

14

20＝0.7.

3．(2012·长春模拟)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为( )

A ．20

B ．25

C ．30

D ．35

解析：选C 由题意知a ×10＋0.35＋0.2＋0.1＋0.05＝1， 则a ＝0.03，故学生人数为0.3×100＝30.

4．(教材习题改编)甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5、6、9、10、5，那么这两人中成绩较稳定的是________．

解析：x ＝7，s 2乙＝4.4，

则s 2甲＞s 2乙，故乙的成绩较稳定．

答案：乙

5．(2012·山西大同)将容量为n 的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n ＝________.

解析：依题意得，前三组的频率总和为2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1＝920，因此有27n ＝9

20，即n ＝

60.

答案：60

1.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高的矩形的中点的横坐标．

2．注意区分直方图与条形图，条形图中的纵坐标刻度为频数或频率，直方图中的纵坐标刻度为频率/组距．

3．方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．

典题导入

[例1] (2012·广东高考)某校100名学生期中考试语文

成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(1)求图中a 的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数

学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.

[自主解答] (1)由频率分布直方图知(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a ＝0.005. (2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．

(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.

由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×4

3＝

40,20×5

4

＝25.

故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.

在本例条件下估计样本数据的众数．

解：众数应为最高矩形的中点对应的横坐标，故约为65.

由题悟法

解决频率分布直方图问题时要抓住 (1)直方图中各小长方形的面积之和为1.

(2)直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率

组距，即矩形的面积．

(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数．

以题试法

1．(2012·深圳调研)

某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图(如图)，其中成绩的范围是[50,100]，样本数据分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在[60,90)内的学生人数为________．

解析：依题意得，样本中成绩小于70分的频率是(0.010＋0.020)×10＝0.3；样本中成绩在[60,90)内的频率是(0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.75，因此样本中成绩在[60,90)内的学生人数为36×0.75

0.3

＝90.

答案：90

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