圆的解题套路(word修订版)

圆

的

解

题

套

路门派___________姓名___________编号_____________

模型一：伴随型相似（听说它比较容易？）

第一天

例题1：如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C 为的中点，过点C作直线CD⊥AE

于D，连接AC、BC．

（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AD=2，AC=，求AB的长．

变式1:如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O切BC于点D，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若⊙O的半径为5，sin∠DAC=，求BD的长．

识别模型：AB为圆O直径，AC为∠BAD角平分线。CD⊥AD。则可以证△ADC与△ACB 相似。

AD AC CD

AC AB CB

==

例题2：如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．

变式1：如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．

变式2：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线垂直，垂足为D，连AC．（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）如图2，延长AB，交直线DC于E，若=，求tan∠E．

变式3：如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．

（1）求证：DC=BC；

（2）若AB=10，AC=8，求tan∠DCE的值．

变式4：如图，已知以Rt△ABC的斜边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠ABC的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．

（1）求证：EF是⊙O切线；

（2）若EF=8，tan∠AEF=，求CD的长．

模型二：子母型and 切割线（这是一个很深的坑）

第四天（先让我们来体会一个几何的连锁反应）

分析：这里有射影定理模型和切割线模型（能找到吗？），两个模型的线段之比可以不断转

化：可以证明△DHB ∽△AHD,∴HB DH BD HD AH AD ==，即：1

2

HB BD HD AD ==，

△CBD ∽△CDA,1

2

BD CB CD AD CD CA ===.

(这里就有一个连锁反应：HB BD CB CD

DH DA CD CA

===

,将射影定理和切割线结合到了一起！) 解答：

模型识别：如左图：PB 为圆O 切线，PA 为圆O 割线。可证：△PCB ∽△PBA 。 从而：PB PC CB PA PB BA ==

（这个比例式经常将CB BA 进行转化。） 如图：AB 为圆O 的直径，过点D 的切线交AB 的延长线于点C ，DH ⊥AB 于H 。若AB=10，12HB DH =,

求CB 的值。

例1：如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，．求BE的长．

变式1：如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求的值．

变式2：如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED 的延长线于点G．

（1）求证：GE是⊙O的切线；

（2）若OF：OB=1：3，求AG的长．

例题2：如图，在△ABC中，AB=AC．以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．过E点作⊙O的切线，交AB于点F．

（1）求证：EF⊥AB；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

变式1：如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC．

（1）求证：BA=BC；

（2）若AG=2，cosB=，求DE的长．

变式：如图，在△ABC中，CA=CB，以BC为直径的圆⊙O交AC于点G，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交CB的延长线于点E，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC．

（2）如果⊙O的半径为5，AB=12，求cos∠E．

第八天（真正的子母型）

例题4：已知：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，以直角边AB为直径作圆O交AD于C，取线段BD的中点E，连接CE交AB的延长线于P．

（1）求证：CP是⊙O的切线；

（2）点M是弧的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．

变式：如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为的中点，连结CE

交AB于点F，且BF=BC．

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为2，sinB=，求CE的长．

第九天

变式：如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若BC=6，tan∠CDA=，求CD的长．

变式：如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．

（1）求证：FD是⊙O的切线；

（2）若AF=8，tan∠BDF=，求EF的长．