第五讲02-非完整体系的拉格朗日方程

非完整体系的拉格朗日方程
理想约束、完整体系的拉格朗日方程：第二类拉格朗日方程
理想约束、非完整体系（非完整约束—微分约束）的拉格朗日方程：第一类拉格朗日方程
对于线性微分：设体系受到k外还受到m个微分约束，约束方程为：
Or
对于完整体系的拉格朗日方程是从达朗贝尔方程中消去非独立坐标，将k个完整约束条件带入达朗贝尔方程后得到：
如果系统没有其他不可积分的微分约束，则上式中的3S
n k =-个q α是相互独立的，若使上式
成立，则q αδ前面的系数为零，从而得到完整体系的拉格朗日方程。

若此时系统还受到m 个（不可积分的）微分约束，则上式中的S 个q α不是相互独立的，独立的广义坐标数目应为S
m -。

上式是对于完整体系下的虚位移，对于非完整体系： 体系作虚位移时：
用时间t的任意函数()
l
t
λ
乘以上式：
合并完整体系和非完整体系的两个表达式：
对于包含非完整体系的约束，由于S个qα中只有S m
-个是独
立的，因此不能令
q
α
δ
前面的系数为零，但是对于只要我们
适当选取m个条件，就可以使qα
δ
前面的系数为零，因此有:
例：
对于约束：C v 沿杆AB 方向，则x 和
y 在垂直于AB 方向上的投影为零。

此时：
00x y a dx a dy a d a dt θθ+++=
因为没有项，所以
将拉格朗日函数和上面的结果带入
由上式第3个方程：
其中：
;
αβ是积分常数。

由前两个方程得到：
→两边对 求导：
得到：
;γδ是积分常数。

其中：
ε为积分常数。