截面惯性矩材料力学

A
x S yC A xC SxC A yC
Sy AxC Ai xCi xdA
A
2.形心公式
Sx AyC Ai yCi ydA
A
xC
Ai xi A
yC
Ai yi A
ydA
yC A A
3.结论
xdA
xC A A
当坐标轴过形心时，图形对自身形心轴的面积矩等于 零；反之，若图形对某轴的面矩为零时，此轴必过图形 的形心。
y
yC
dz
hz
dy
a
y
0b
解： dA hdz
zC
Sy
b 0
zhdz
hb2 2
A b 2
z
Sz
ah
ybdy
a
b[(a
h)2 2
a2]
11））同同一 一截截面面对对不不同同轴轴的的静静 bh[ h a] A[ h a]
矩矩不同同；；
2
2
2）静矩可为正，负值或零； 3）静矩的单位为m33;
Sz
Ai yCi i1
Ai
Ai
n
ZC
Sy
Ai ZCi i1
Ai
Ai
例1：求图示T形截面的形心及对z轴的静矩 y
1.求形心
100
知A=A1+A2 yC１＝60 yC２＝0
20
n Ai yCi
选坐标轴z1作为参考轴
yC i1 Ai
yC
20100 60 100 20 2
30 mm
100
２、求静矩
3.组合图形的形心和面积矩 1）组合图形
由简单图形（如三角形，圆形，矩形等）组合而成的 图形。
2）组合图形面积矩及形心的计算公式
等于各简单图形对同一轴的面积矩的代数和。即
SZ SZ1 SZ 2 ... SZn ydA ydA ... ydA Ai yCi
A1
A2
An
n
yC
4.1截面的几何特征
§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径 §Ⅰ-3 惯性积 §Ⅰ-4的平行移轴公式
§Ⅰ-1 静矩和形心 1、静面矩（也叫面积矩简称静矩） y
(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。
定义 S y =∫A z dA Sz=∫A y dA
z dA y
z
例：矩形截面，面积为A。求： S y 、 Sz、 SzC
z
2）惯性积可正，可负，可为零。
b
b
3）惯性积的单位：m4
4.结论：
当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时，图形 对此轴的惯性积为零，反之，若图形对坐标系的惯性 积为零时，此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴。
§Ⅰ- 4平行移轴公式
1.平行移轴定理：
以形心为原点，建立与原坐标轴
y
yC
x
dA
a
Cy b
zy11
y cosa z cosa
z y
sin a sin a
z1
I z1 y12dA ( y cosa z sin a )2 dA
A
A
I y cos2 a I z sin 2 a I yz sin 2a
例求圆形截面对形心轴的惯性矩。 y
解： D
IP
A
2dA
2 0
2 2d
D4
32
o
z
IP Iy0 Iz0
I y0
Iz0
IP 2
D4
64
§ I-3 惯性积
1.定义：图形对两个坐标轴的两个坐标之积的积分。
§ I-3 惯性积
2.表达式：
y
I yz yzdA
A
3.说明： h
1）同一图形对不同轴的惯性积不同； A1 A2
a1 20 10 30mm
20
a2 30mm
A1 A2 20100 2000mm2 100
2)求出A1和A2分别对自身形心 轴的惯性矩
A1 •••
Ⅱ
•
A2
100
Ⅰ
z1
a1 zc
30
a2
z2
z
I z1
b1h13 12
100 203
12
66.67 103
Iz2
b2h23 12
20
20
100
20 100 50＝32 10４mm3
§I-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
1、惯性矩：(惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭 转的能力 ）
它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为
Ix y2dA
A
I y x2dA
A
注意：
1）同一截面对不同的轴惯性 矩不同；
2）惯性矩永远为正值；
3
12
16.67 105
3）求对整个截面形心ZC轴的惯性矩 IzC (Iz1 a12 A1) (Iz2 a22 A2 ) 66.67103 302 200016.67105 302 2000 53.34105 mm4
返回
§I-5转轴公式及主惯性矩(简介)
1.转轴公式:
当坐标轴绕原点转一个角度后,得到一个新的坐标轴时,转轴 公式给出在新旧坐标轴下的惯矩及惯积的关系.
平行的坐标轴如图
xaxC yb yC
I x
y 2dA
A
xC
(
A百度文库
yC
b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
x
I xC 2bSxC b2 A
SxC AyC 0 I x I xC b2 A 返
§Ⅰ- 4平行移轴公式 y
yC
2.结论： I y I yC a2 A
•
•Ⅰ
•
ⅡyC1
zC
z1
B•
方法1） Sz yC
A i
z
20
Sz ＝(50+30) 2( 100 20 )＝32 10４mm3
方法2）不求形心
方法3）负面积法
Sz = AiyCi＝20 100 110＋
Sz =(120 100 60)-2 ( 100 40 50 )= 32 10４mm3
y
x dA
y
x
3）惯性矩的单位为m4;
2、惯性半径(单位为m)
表达式为
y
ix
Ix A
iy
Iy A
3、极惯性矩：
x dA
y
它是图形面积对极点的二次矩。
x
IP 2dA
A
2 x2 y2 IP (x2 y2 )dA I y I x
A
IP Ix I y 图形对正交坐标轴的惯性矩之和等于它 对此二轴交点的极惯性矩
2、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
1）形心公式：
dm tdA
xdm
质心：
xC
m
m
等厚
ydm 均质
y
yC
m
m
xtdA
A
xdA
A
Sy
tA
A
A 等于形心坐标
ytdA
A
A ydA Sx
tA
AA
x dA
xC y yC
xC
yC
xCi Ai
A (正负面积法公式 ) yCi Ai
I
x
I xC
b2A
I xy I xCyC abA
x
dA
a bC y
xC
x
A)在所有的平行轴中,图形对自身形心轴的惯性 矩为最小。
B)当图形至少有一条轴是图形的对称轴时,则有
I xy abA I xCyC 0
解例：组1）合写截出A面1，惯A性2及矩其的形计心算坐,标求a截1；面a2对ZC轴的y 惯性矩。