趋势面分析

SS
(K ) (K ) MSR SS R /q
(K ) SS E
MS SS
(K ) E (K ) E

MS
(K ) R
/ MS
(K ) E
/( n q 1 )
(I ) SSR ( K1) K SSR SSR
p–q
MS SS
(I ) R (I ) R
/( p q )
(I ) ( K 1) MSR / MSE
4
2. 趋势面模型
zi(xi ,yi )(i 1,2,,n) 设某地理要素的实际观测数据为， ˆi(xi ,yi ) ，则有 趋势面拟合值为 z
ˆ i ( xi , y i ) i z i ( xi , y i ) z
式中：εi即为剩余值（残差值）。 当（xi，yi）在空间上变动时，上面公式就刻画了地 理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互 动关系。 拟合趋势面的数学方程式有多项式函数和傅立叶级 数，其中最常用的是多项式函数形式。
趋势面拟合适度的R2 趋势面拟合适度的显著性F检验 趋势面适度的逐次检验
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4.1 拟合度系数R2

趋势面与实际面的拟合度系数R2是测定回归 模型拟合优度的重要指标。 在变量z的总离差平方和中，一般用回归平 方和所占的比重表示回归模型的拟合优度。 总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和 之和。即:
① 将多项式回归（非线性模型）模型转化为多元线性回归 模型。令：
则有：
x1 x, x2 y, x3 x 2 , x4 xy, x5 y 2 ,
ˆ a 0 a1 x1 a 2 x 2 a p x p z
8
②其残差平方和为：
ˆi ] [ z i (a 0 a1 x1i a 2 x 2i a p x pi )] 2 Q [ zi z
② 结果判断：
若所得的F值是显著的，则较高次多项式对回归作出了 新贡献，若F值不显著，则较高次多项式对于回归并无 新贡献。相应的方差分析表见下表。 16
多项式趋势面由K次增高至（K+1）次 的回归显著性检验
离差来源 （K+1） 次回归 （K+1） 次剩余 K次回归 K次剩余 由K次增 高至 （K+1） 次的回归 总离差 平方和
表示自变量对因变量的离差的总影响。
SSR 越大（或 SS E 越小）就表示因变量与自变量的
关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。 记 R
2
越大，趋势面的拟合度就越高。
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SSR SSE R 1 SS SS T T
2
4.2 显著性检验

趋势面适度的F检验，是对趋势面回归模型整体的 显著性检验。 方法：是利用变量z的总离差平方和中剩余平方和 与回归平方和的比值，确定变量z与自变量x、y之 间的回归关系是否显著。即(p为自变量个数): SS R / p F SS E /(n p 1) 结果分析：在显著性水平α下，查F分布表得Fα， 若计算的F值大于临界值Fα，则认为趋势面方程显 著；反之则不显著。
62.740 y 2 4.133x 3 6.138 x 2 y 2.566 xy 2 9.785 y 3
R 0.965, F 6.054
2
22
某流域降水量的三次多项式趋势面
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5.2 趋势面模型的检验
5.2.1 趋势面拟合适度的R2

根据R2检验方法计算，结果表明，二次趋势面的 判定系数为R22=0.839，三次趋势面的判定系数为 R32=0.965 可见二次趋势面回归模型和三次趋势面回归模型 的拟合度都较高，而且三次趋势面较二次趋势面 具有更高的拟合程度。
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4.3 趋势面适度的逐次检验
① 概念、方法：
求较高次多项式方程的回归平方和与较低次多项式方 程的回归平方和之差; 将此差除以回归平方和的自由度之差，得出由于多项 式次数增高所产生的回归均方差; 将此均方差除以较高次多项式的剩余均方差，得出相 继两个阶次趋势面模型的适度性比较检验值F（分子 自由度p-q，分母自由度n-p-1）。
SST
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需要注意的是，在实际应用中，往往用次数低的 趋势面逼近起伏变化比较小的地理要素数据；用 次数高的趋势面逼近起伏变化比较复杂的地理要 素数据。

次数低的趋势面使用起来比较方便，但具体到某 点拟合较差；次数较高的趋势面只在观测点附近 效果较好，而在外推和内插时则效果较差。
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5. 趋势面分析应用实例

某流域1月份降水量 与各观测点的坐标位 置数据如下表所示。 以降水量为因变量 z，地理位置的横坐 标和纵坐标分别为自 变量x、y，进行趋势 面分析，并对趋势面 方程进行适度F检 验。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
降水量 Z/mm 27.6 38.4 24 24.7 32 55.5 40.4 37.5 31 31.7 53 44.9
a0 a 1 A a p
X XA X Z
T T
T 1 T
A (X X ) X Z
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⑤ 对于二元二次多项式有
z a 0 a1 x a 2 y a3 x 2 a 4 xy a5 y 2
其正规方程组为
1 1 x x2 1 y1 y2 2 2 x x 2 1 x1 y1 x2 y2 2 2 y y 2 1 1 1 x1 xn 1 x2 yn 2 xn xn yn 2 yn 1 xn
3
实际地理曲面：分解为趋势面和剩余面两部 分；前者反映地理要素的宏观分布规律，属 于确定性因素作用的结果；而后者则对应于 微观局域，是随机因素影响的结果。 趋势面分析的基本原则：所选择的趋势面模 型应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样 拟合度精度才能达到足够的准确性。 应用：常常被用来模拟资源、环境、人口及 经济要素在空间上的分布规律，它在空间分 析方面具有重要的应用价值。
i 1 i 1
n
n
这就是在最小二乘法意义下的趋势面拟合。 任一个函数都可以在一个适当的范围内，用多项式 来逼近，且调整多项式的次数，可使所求的回归方 程适合实际问题的需要。
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估计趋势面模型的参数
实质： 根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）确定多 项式的系数a0，a1，…，ap，使残差平方和最小。 过程：
第六章 趋势面分析
1. 趋势面分析的概念、原理 2. 趋势面模型表达 3. 趋势面模型的求解 4. 趋势面模型的适度检验 5. 趋势面应用实例
1
1. 趋势面分析的概念、原理
趋势面分析概念：利用数学曲面模拟地理系 统要素在空间上的分布及变化趋势的一种数 学方法。 趋势面含义：一种抽象的数学曲面，它抽 象并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使 地理要素的空间分布规律明显化。 实现原理：通过回归分析原理，运用最小二 乘法拟合一个二维或多维非线性函数，模拟 地理要素在空间上的分布规律，展示地理要 素在地域空间上的变化趋势。 2

1 z1 z xn 2 yn 2 xn xn y n 2 yn zn
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4 趋势面模型的适度性及其检验

趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直 接相关，因此对趋势面分析进行适度性检 验，是一个关系到趋势面能否在实际研究 中加以应用的关键问题，也是趋势面分析 中不可缺少的重要环节。 这可以通过以下检验来完成：
( K 1) SSR
自由度 p n–p–1 q n–q–1
均方差
( K 1) ( K !) MS R SS R /p
( K 1 ) MS E ( K !) SS E /( n p 1)
F检验
SS
( K 1) E (K ) R
( K 1) ( K 1) MS R / MS E
④用矩阵形式表示 1 x11 x21 x p1 1 x x x 12 22 p2 X 1 x1n x2 n x pn • 则前面方程组式变为： • 求解，可得：
z1 z Z 2 zn
z 5.998 17.438 x 29.787 y 3.558 x 2 0.357 xy 8.070 y 2
R
2
0 . 839 , F 6 . 236
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某流域降水量的二次多项式趋势面
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再采用三次趋势面进行拟合，用最小二乘法求得 拟合方程为
z 48.810 37.557 x 130.130 y 8.389x 2 33.166xy
2 i 1 i 1 n n
③求Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并令其等于0， 得正规方程组(式中 a 0 , a 1 , , a p 为p+1个未 知量） n n n
na 0 a1 x1i a p x pi zi i 1 i 1 i 1 n n n n a0 x1i a1 x1i x1i a p x pi x1i x1i zi i 1 i 1 i 1 i 1 .......... .. n n n n a0 x pi a1 x1i x pi a p x pi x pi x pi zi i 1 i 1 i 1 i 1 9

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5.2.2 趋势面适度的显著性F检验
根据F检验方法计算，结果表明，二次趋势面和三次趋势 面的F值分别为：F2=6.236， F3=6.054。 在置信水平α=0.05下，查F分布表得：
F2 a F0.05 (5,6) 4.53
F3 F0.05 (9,2) 19.4
1 x 1 y1 2 x1 x1 y1 2 y1 1 x2 y2 2 x2 x2 y 2
2 y2
y1 y2 yn
x12 2 x2
2 xn
x1 y1 x2 y2 xn yn
y12 a0 2 a y2 1 a2 a3 a 4 2 yn a5
a6 x 3 a7 x 2 y a8 xy 2 a9 y 3
6
3. 趋势面模型的求解
趋势面分析的核心，从实际观测值出发推算趋势 面。一般采用回归分析方法，使得残差平方和趋于 最小，即 ：
ˆi ( xi , y i )]2 min Q 2 [ z i ( xi , y i ) z
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多项式趋势面的形式
① 一次趋势面模型 z a0 a1 x a2 y ② 二次趋势面模型 2 2 z a0 a1 x a2 y a3 x a4 xy a5 y ③ 三次趋势面模型
z a0 a1x a2 y a3 x2 a4 xy a5 y2
ˆi ) ( z ˆi z ) 2 SS E SS R SST ( zi z
2 i 1 i 1
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n
n
SS E
(z
i 1
n
i
ˆi ) 2 z
为剩余平方和，它表示随机因素
ˆ (z
i 1 n i
对离差的影响， SS R
z)2
为回归平方和，它
横坐标 纵坐标 x/104 m y/104 m 0 1.1 1.8 2.95 3.4 1.8 0.7 0.2 0.85 1.65 2.65 3.65 1 0.6 0 0 0.2 1.7 1.3 2 3.35 3.15 3.1 2.55
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5.1 建立趋势面模型

首先采用二次多项式进行趋势面拟合，用最小二 乘法求得拟合方程为