结构力学力矩分配法

8.2 单结点力矩分配法——基本运算
用力矩分配法计算下列结构，并作 M图。
P
A
B
C
EI
EI
P
A
B
C
l2 l2
l
( b)
(a)
（一）确定基本结构（在 B结点增加附加刚臂），再加
上荷载。如图 b。
R B MBgC
此时：
R
?
M
g BA
?
M
g BC
R 等于固端弯矩之和，以 顺时针
M
g BA
为正，称R为结点不平衡力矩 或固端
M AD ? S AD θA ? 3iAD θ A
μAj — 称为分配系数 ，它表示本杆的转动刚度除以 围绕此结点所有杆的转动刚度之和。
M AB
?
S AB
?S
M
A
M AC
?
S AC
?S
M
A
M AD
?
S AD
?S
M
A
令
μAj ?
SAj
?S
(
j
?
B,C,D)
A
M
D
AθA
B
则分配弯矩为：
M AB ? μAB M
(c)
S AB
A
B
(d)
远端自由
SAB = 0
2.SAB是指施力端 A在没有线位移 的条件下的转动刚度。 3. A端可为固定铰或可动铰支座，也可为可转动（但
不能移动）的刚结点。
（二）分配系数：
D
M AθA
如图，设 A结点上作用有一 B 集中力偶，试求杆端弯矩
MAB、MAC、MAD。
C
解：设集中力偶使结点 A产生
例1、用力矩分配法求解图示结构，并作 M图：
?
M BA M AB
?
1 2
B
C AB ?
M BA M AB
?
0
MAB= iABqA
A
qA
MBA = - iAB qA
B
CAB ?
M BA ? ? 1 M AB
基本概念总结：
规律：
分配系数要计算； 计算围绕一个点； 传递系数凭观看； 观看只看杆远端。
在结点上的外力矩（不平衡力矩）按各杆分配 系数分配给各杆近端截面；各杆远端弯矩分别等于 各杆近端弯矩乘以传递系数。
A
将qA代入MAB、MAC、MAD的表达式中，得：
M
M AB
?
S AB ?S
M
D
AθA
B
A
M AC
?
S AC ?S
M
分配弯矩
A
C
θA
?
M
?S
A
M AD
?
S AD ?S
M
A
令
μAj
?
S Aj ( j ? ?S
B,C,D)
A
(a)
M AB ? S AB θA ? 4 iAB θ A
MAC ? S AC θA ? iAC θ A
M
A θA
B
力偶M，使结点 A产生转角
qA时，各杆近端产生弯矩，
同时也使各杆远端产生弯矩。
MBA ? 2i ABθ A
MCA ? ? i ACθ A M DA ? 0
C
(a) M AB ? S AB θA ? 4 iAB θ A M AC ? S AC θ A ? iAC θ A
M AD ? SAD θA ? 3iAD θ A
弯矩引起的不平衡力矩 。
P
P
R
A
B
C
EI
EI
A
B
CA
B
C
l2 l2
l
(a)
(b)
(cb)
（一）确定基本结构（在 B结点增加附加刚臂），再加
上荷载。如图 b。
此时：
R
?
M
g BA
?
M
g BC
（二）放松结点 B，产生反向力矩R：
此时： R M?BC
B M?BA
M?BA、M?BC叫分配弯矩： 它等于分配 系数乘以 负的R。
M?BA ? μBA (? R) M?BC ? μBC (? R)
同时：各杆远端产生传递弯矩：
M ?A?B
?
1 2
M B?A
MC??B ? 0
（三）(b)图+(c)图=(a)图，即： MBA ? MBgA ? M ?BA
M AB
?
M
g AB
? M ?A?B
MBC ? MB?C
MCB ? 0
归纳：
?????①②①②固放固放定松定松节节节节点 点点点， ，，，各 分各分杆 配杆配端 弯端弯有 矩有矩固 ，固，端传端传弯递弯递矩弯矩弯，矩，矩有。有。节节点点不不平平衡衡力力矩矩。。
(a)
转角 qA ，则由转动刚度定义：
M AC ? S AC θA ? iAC θA
MAB ? SAB θA ? 4 iAB θ A M AD ? S AD θA ? 3iAD θ A
MAB ? S AB θA ? 4 iAB θ A
MAC ? S AC θA ? iAC θ A
M AD ? S AD θA ? 3iAD θ A
∴
MBA M AB
?
C AB
?
1 2
把CAB称为传递系数。
传递系数 — 当近端有转角时，远端弯矩和近端弯 矩的比值。用符号 C表示。
（三）传递系数： 传递系数与远端的支承情况有关：
MAB = 4 iAB qA
近端 A
qA l
MAB = 3iABqA
A
qA
MBA = 2 iAB qA
远端 B
C AB
C
M AC ? μAC M (a)
M AD ? μADM
分配系数的特点： 汇交于同一结点的各杆的分配系数之和等于 1。
训练
10．图示结构，各杆线刚度均为 I,用力矩分配法计 算时，分配系数 μAB为（ B ）
A． 1 10
C． 1 4
B． 1 8
D． 3 8
（三）传递系数：
D
(a)图中A结点作用集中
第8章 力矩分配法
8.1 力矩分配法的基本概念
属于位移法类型的渐近解法。 一、力矩分配法依据
1. 理论基础：位移法 2. 解题方法：渐进法 3. 适用范围：连续梁、无结点线位移的刚架 4. 计算对象：杆端弯矩， 正负号规定与位移法相同 二、力矩分配法的三个基本概念
（一）转动刚度 转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。 数值上 NhomakorabeaM
D
AθA
B
AMM AB 由 ? M A ? 0
C
M AD
MAC
M ? M AB ? M AC ? M AD
(a)
? S ABθ A ? S ACθ A ? S ADθ A
? ( S AB ? S AC ? S AD) θ A
? ? S θA
A
用 ? S 表示各杆 A端转动刚度之和。 A
∴
θA
?
M ?S
力矩分配法的计算步骤：（通常列表计算）
1.由转动刚度计算分配系数：
μ Aj
?
SAj
?S
A
? 2.固端弯矩 和不平衡力矩 R 计算：R ? Mg
A
3.计算分配弯矩和传递弯矩：
M?Aj ? μAj (? R)
M '' jA
?
C
AjM
' Aj
分配弯矩下划横线表示已平衡，箭头表示传递方向。
4.叠加求和，计算杆端弯矩： 5.校核。（结点平衡）
等于使杆端产生单位转角时在转动端需施加的力矩。
二、力矩分配法的三个基本概念
用SAB表示，施力端A称为近端， B端称为远端。
1. SAB与线刚度 i=EI/l有关，还与远端的支承情况有关。
S AB A
B
远端固定 SAB = 4 i
(a)
S AB
A
B
(b)
远端铰支
SAB = 3 i
S AB A
B 远端定向支承 SAB = i