最小化潮流算法

• 引入一个标量乘子 上式可以写为
以调节变量x的修正步长，于是
f ( x ) y * y( x ( 0) ) J ( x ( 0) )( x ) y( x ) y * y( x ( 0) ) J ( x ( 0) )x 2 y( x ) 0 （ 9 ）
最小化潮流算法
目录
• 前言 • 潮流计算和非线性规划 • 带有最优乘子的牛顿潮流算法
1 前言
• 我们已经知道，潮流计算问题可以归结为 求解一个非线性代数方程组。通过与电力 系统固有物理特性相结合，已经提出了多 种求解该方程组的有效算法，但在实际计 算中，对于一些病态系统，却往往会出现 计算过程的震荡或不收敛的现象。
• 60年代末，相继提出了潮流计算问题在数 学上也可以表示为求解一个由潮流方程构 成的函数（即目标函数）的最小值问题。 于是就形成了非线性规划潮流计算法，用 这种方法计算潮流的一个显著特点是从原 理上保证了计算过程永远不会发散。
• 在早期提出的完全应用数学规划方法的非 线性规划潮流计算内存需要量较大，计算 速度较慢，因而并未得到实际推广应用， 以后，相继对非线性规划中的两个方面进 行了改进，并将数学规划原理和常规的牛 顿潮流算法相结合，形成了新的计算方 法——带有最优乘子的牛顿算法，简称最 优乘子法，这种算法能有效的解决病态电 力系统的潮流计算问题。
x
*

* * x1 , x2 ,...,
* T xn

从而使F(X)最小的问题。
• 要求出目标函数F(x)的极小点，按照数学规划的方 法，通常由以下步骤组成（设k为迭代次数）： (1)确定一个初始估计值x0; (2) 置k=0； (3)从x(k)出发，按照目标函数下降的原则，确定一 个搜索或寻优方向 x ( k )
(5)校验F(X(k+1))<Є是否成立。如成立，则x(k+1) 就是所求的解，否则，令k=k+1,转向步骤(3)，重 复计算。
• 由上可见，为求得问题的解，关键要解决两个问题： (1)确定第k次迭代的搜索方向 x ( k ) (2)确定第k次迭代的最优步长因子。
3 带有最优乘子的牛顿潮流算法
(4)沿着寻优方向确定能使目标函数下降得最多的一 个点，也就是决定移动的步长。由此得到一个新的 ) 迭代点 x ( k 1) x ( k ) ( k ) x ( k（ 4 ）
• 式中μ为步长因子其数值的选择应使目标函数下降 的最多，可以用下式表示：
F ( k 1) F ( x ( k 1) ) F ( x ( k ) *( k ) x ( k ) ) minF ( x ( k ) ( k ) x ( k ) )(5)
bi
为给定的常量。
可以构造标量函数为
F（x） f i ( x ) 2 ( g i ( x ) bi )（ 3 ）
i 1 i 1
n
n
2
• 若以式（2）表示的非线性代数方程组的解存在， 则以平方和形式出现的式（3）表示的标量函数F(X) 的最小值应该为零。这样就把原来的代数方程组的 问题转化为求
• 首先在决定搜索方向的问题上可以利用常规牛顿潮 流算法每次迭代所求出的修正向量
x
(k )
J( x
(k ) 1
) f (x
(k )
（ )6 ）
作为搜索方向，并称之为目标函数在x(k)处的牛顿 方向。
) • 接着就是如何决定最优步长因子 *( k 的问题。由式 （5）可知，对于一定的 x ( k )，目标函数F(k+1)是步 (k ) 长因子 的一个一元函数
2 潮流计算和非线性规划
• 设将潮流计算问题概括为求解如下的非 线性代数方程组
f i ( x ) gi ( x ) bi 0 （i 1,2,......, n（ )1 ）
或者
f(x)=0
(2)
•
T x x , x ， ..., x 式中：x为待求变量组成的n维向量， 1 2 n
• 以上分别介绍了从搜索方向和最优步长因 子两个方面对原有的非线性规划潮流算法 所做的改进，改进算法的实质是常规的牛 顿潮流算法和计算最优乘子的结合，因此 对现有的采用直角坐标的牛顿法潮流程序， 只需要增加计算最优乘子的部分，就可以 改变成为上述应用非线性规划原理的算法， 使得潮流计算的收敛过程得到有效的控制。
于是上式可以简写为
f ( x ) a b c 0 （ 10 ）
2
• 将上式带入公式（3），原来的目标函数可写为
F ( x ) f i ( x ) 2 (a i bi 2 c i ) 2 (11)
i 1

n
n
i 1
将F(x)对 μ 求导，并令其等于零，由此可以求得 最优乘子 *
这里
Hale Waihona Puke Baidu
f ( x ) f 1( x ), f 2 ( 2),..., f n ( x )
• 为了表达简明起见，分别定义一下三个变量
a a1 , a 2 ,..., a n T y * y( x ( 0) ) b b1 , b2 ,..., bn T J ( x ( 0) )x c c1 , c2 ,..., cn T y(x )
F ( k 1) F ( x ( k ) ( k ) x ( k ) ) ( ( k ) )(7)
• 采用直角坐标的潮流方程的泰勒展开式可 以表示为
f ( x ) y * y( x ) y * y( x ( 0 ) ) J ( x ( 0 ) )x y( x ) 0(8)