静矩和形心分解

2 1 y z 4 bh 解： S 2 1 2 dy y 2 dA 2 h 15 b 0 A
2
b
2
2 y2 b h S z y dA yh 1 2 d y 4 b 0 A
b
z
h
y z h 1 2 b
2 2
2
2
§6-4 转轴公式
主惯性轴和主惯性矩
CL6TU12
y1 y cos z sin z1 y sin z cos
I y1 z1 dA
2 A
( y sin z cos ) dA
2 A
I z sin I y cos I yz sin 2
2 A
( y c a ) dA
2 A
yc dA 2a yc dA a
2 A A
2
A dA
I zc a 2 A
z a
zc
C
b
yc
O
y
I z I zC a A
2
平行移轴公式：
Iy Iy b A
2
C
Iz Iz a A
2
C
I yz I y z abA
C C
例：求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy
z a a
d
y
CL6TU11
解：
z a a
y
d ( 2a ) Iy 12
3
d d 2d d 2d 2 a 8 3 8 3 128
4
d
CL6TU11
A
y
yz d A
定义为图形对y、z轴的惯性积
z
y
dA

z
y
dA
2
O
I p dA
2 A
定义为图形对O点的极惯性矩
§6-1 静矩和形心
z
y
dA
z
O
A
y
A
Sz y d A , S y z d A
形心坐标：
z
yC
C
zC
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O
yC
y
y dA A , zC
A
A
z dA
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为
形心主惯性轴。 可以证明:任意平面图形必定存在一对相 互垂直的形心主惯性轴。 (4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主
惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
§6-3 平行移轴公式
z a
y
zc yc
y yc a z zc b
zc
C
O
dA
yc
z b
yCL6TU10
2 2

I y Iz 2

I y Iz 2
cos 2 I yz sin 2
转轴公式：
Iy Iz Iy Iz cos 2 I yz sin 2 I y 2 2 I y Iz I y Iz cos 2 I yz sin 2 I z 2 2 I I y I z sin 2 I cos 2 yz yz 2
第六章 平面图形的几何性质
z
y
dA

z
y
CL6TU1
O
z
y
dA
z
O
A
y
y dA
S z y d A , S y A z d A
定义为图形对z轴和y轴的静矩
z
y
dA
z
O
Iz
y
2 A
y dA
2
2
A
y dA , I y z dA
定义为图形对z轴和y轴的惯性矩
z
y
dA
z
O
I yz yz d A
某一长度平方的乘积，即
I y A iy
I z A iz
2
或 iy
或 iz
Iy A
Iz A
2
i y 、iz 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
二、极惯性矩
z
y
I p dA
2 A
dA

y z
2 2
2
z
I p I y Iz
O
y
例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。
CL6TU3 A
静矩和形心坐标之间的关系：
z
yC
C
zC
Sz yC A zC
y
Sy A
O
S z y C A , S y zC A
例：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图
形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。
z
2 y z h 1 2 b
O
y
CL6TU4
CL6TU7
解：
Iy
A
bh z dA z bdz 12 h/2
2
h/2
2
3
dz
z
例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。
Ip
d
4
32
I y Iz I p
I y Iz
CL6TU8
三、惯性积
z
y
dA
z
O
I yz yz d A
A
y
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴 是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积
解：
2 h a b h h 2 a S y b a a 2 4 2 2 4
§6-2 惯性矩、极惯性矩和惯性积
一、惯性矩
z
y
dA
z
O
2 A A
y
2
Iz y dA , I y z dA
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与
2
O
y
b
dy
y
y2 2bh A d A h 1 2 d y 3 b 0 A
b
形心坐标为:
bh Sz 3b 4 yC A 2bh 8 3 4bh Sy 2h 15 zC 2bh A 5 3
2
2
例：确定图示图形形心C的位置。
CL6TU5
I z y dA , I y z dA , I y z yz dA
2 2 A A A
I zc yc dA , I yc zc dA , I yc zc yc zc dA
2 2 A A A
y y c a , z zc b
I z y dA
必等于零。
I yz 0
z
y
CL6TU9
dA dA
几个主要定义: (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐 标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、z0 称为主惯性轴。
因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标
轴一定是平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的
惯性矩称为主惯性矩。
解： y C S z 10 120 5 70 10 45 19.7 mm A 1200 700
10 120 60 70 10 5 zC 39.7 mm A 1200 700 Sy
例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。
CL6TU6