矩阵的合同,等价与相似

矩阵的合同，等价与相似

一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件

（一）矩阵的等价：

1、定义：若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与

B 等价，记为A B ≅。

2、性质：

（1）反身性：即A A ≅.

（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅

（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅

（4） 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）

和Q （n 阶），使得000r

m n

I PAQ B ⨯⎛⎫

==

⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. （5） 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =

3、判定：

矩阵等价的充要条件：

两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的

n 阶矩阵Q ，使B PAQ =

由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.

（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.

（二）矩阵的合同： 1、定义：

两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则

称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。 2、性质：

（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.

（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.

（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.

（4） 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. （5） 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 2

2

212r f y y y =++

3、判定

定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =

（三）矩阵的相似 1、定义：

n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、性质：

性质3

(1)反身性 T A E AE = ;

(2)对称性 由T B C AC =即得()11T

A C BC --=;

（3）传递性 111T A C AC =和2212T A C AC =即得 ()()21212T

A C C A C C 总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.

(4) 111

11221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）；

(5）111

1212()()()P A A P P A P P A P ---=；

(6）若A 与B 相似，则m A 与m B 相似（m 为正整数）；

(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1

B P AP -=为满秩矩阵，那么1

1111()B

P AP P A P -----==.

即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似. (8）相似的矩阵有相同的行列式；

因为如果1

B P AP -=，则有：1

1

B P AP P

A P A --===

(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；

设1

B P AP -=，若B 可逆，则1

1111()B P AP PA P -----==从而A 可

逆.且1

B -与1A -相似.

若B 不可逆，则1

()P AP -不可逆，即A 也不可逆.

下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理 定理4 相似矩阵的特征值相同.

推论3 相似矩阵有相同的迹.

3、判定：

设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得

B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）

由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件

(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵 (2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1

二、矩阵的等价、合同和相似之间的联系

（一）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系

1、相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．

证明： 设n 阶方阵,A B 相似，由定义3知存在n 阶可逆矩阵1P ，使

得111P AP B -=，此时若记1

1P P -=,1Q P = ,则有PAQ B =,因此由定义1得到n

阶方阵,A B 等价

反过来，对于矩阵100010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,121010B ⎛⎫

= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并

不相似，即等价矩阵未必相似．

2、 对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(即A 与

B 等价)，且PQ E = (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似．

证明： 设对于n 阶方阵A 与B ,若存在n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A

与B 等价．又知PQ E =,若记11P P -= ,那么1Q P =,也即1

11P

AP B -=,则矩阵,A B 也相似．

3、 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．

证明： 设n 阶方阵,A B 合同，由定义2有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得11T P AP B =，

若记1T P P =,1Q P =,则有PAQ B =因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价