哈工大大学物理振动波动知识题

【解】 （1）由已知可得简谐振动的振幅 A 0.10m
角频率 2 T rad/s)
振动表达式为 x 0.10cost o (SI)
t 0时 x 0.10 coso 0.05m
v 0.05sino 0
t 0
由旋转矢量法可得 o 2 3
振动方程 x 0.1cos t 2 3 (SI) -0.05 O
E 1 J2 1 kx2 mg l (1 cos ) Const
2
2
2
J为杆绕O轴的转动惯量，x为弹簧伸长量，杆作微小振动时，
x l 代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有：
J d kl2 d 1 mgl sin d 0
dt
dt 2
dt
J d kl2 d 1 mgl sin d 0
柱体的质心作谐振动。
kc
证明：
o xc
水平面
分析振动系统机械能守恒!
x
建坐标如图，
弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零 点，质心在xc时系统的机械能为
1 2
kxc2
1 2
mvc2
1 2
J c2
const.
（注意上式中的是刚体转动的角速度）
1 2
kxc2
1 2
mvc2
1 2
J c2
const.
将
Jc
A A1 A2
( 同相 )
A A1 A2 ( 反相 )
A1 A2 A A1 A2
本章基本题型：
1、已知振动方程，求特征参量 （振幅、周期、频率、初相位）
2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程 3、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动
动力学判据；能量判据；运动学判据 4、简谐振动的合成: 解析法、旋转矢量法
解：以木板的中心为坐标原点，向右的方向为正，
设木板的质心偏离原点x，木板对两轮的作用力
分别为N1，N2
O
x
根据木板所受力矩平衡条件
N12d mg d x
N2 2d mg d x
2d
木板在水平方向所受到的合力
F
N1
N2
mg
d
x
d2x g
水平方向 dt2 d x 0
F
m
d2x dt 2
振动周期 T 2 d g
1 2
mR2
vc R
代入上式
得
1 2
k xc2
3 4
mc2
c
两边对t求导数，得
d2 xc dt 2
2k 3m
xc
0
与动力学方程比较知，物理量 xc的运动形式是简谐振动
圆频率
2k
3m
机械波知识要点
1. 熟练掌握简谐波的描述
平面简谐波的波函数：
“-”表示波沿x轴正向传波； “+”表示波沿x轴负向传播
kx
JF mR2
F (1
J mR2
)
kx
F
(
mR2k mR2 J
)x
合外力与位移成正比且方向相反，系统的动力学方程为
m
d2 dt
x
2
(
mR2k mR2 J
)
x
0
角频率为 2 R2k
mR2 J
周期
T 2 2
mR2 J kR2
例4:劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为m，半径为R的匀质圆
柱体的对称轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明：圆
分别是多少 （3）状态d的速度和加速度
【解】 方法1 解析法
x Acos(t 0)
原点：
t 0
x0
A 2
cos0
1 2
0
பைடு நூலகம்
2
3
v0 0 Asin0 0 sin0 0
2
3
c点：
t 5s
xc 0 cos(5 2 / 3) 0 v0 0 sin(5 2 / 3) 0
1
tba
b a
/3 /6
2s
tcb
c b
/6 /6
1s
vd
A sin
3
0.451A
ad
2 x
6
2
Acos
3
2
Am/s2
72
a
-A -A/2π/3
π/6
A/2 A x
例3 一匀质细杆质量为m，长为l，上端可绕悬挂轴无 摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为k的轻 弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。 求细杆作微小振动是否是简谐振动。
1. 相邻波腹（节）之间的距离为/2 2. 一波节两侧质元具有相反的相位 3. 两相邻波节间的质元具有相同的相位 4. 驻波无能量传递
关键看 cos(2x/) 的正负 同号相同； 异号相反！
6. 掌握半波损失的概念
1. 波从波疏媒质到波密媒质，从波密媒质反射 回来，在反射处发生了的相位突变
2. 在自由端无相位突变，无半波损失 3. 在固定端有相位突变，有半波损失 4. 折射无半波损失
例 一波长为 λ 的平面简谐波，已知 A 点的振动方程为
y=Acos(ωt+φ) 试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式
y
u x OA
y
y
u
l
x OA
OA
y
u
ul
x xO A
（1)
(2)
(3)
(4)
解答提示
（1）
y
A cos
(t
x u
)
（2）
y
A cos
(t
x u
)
（3）y
A cos
(t
6
方法2 旋转矢量法
（1） t 0 x0 A / 2 v0 0
确定旋转矢量
2 t 5 1
3
6
6
振动方程为
x Acos(1 t 2 ) (SI)
63
t
-A -A/2 O A/2
Ax
（2）由状态a运动到状态b，再由b运 动到c的时间分别是多少 （3）状态d的速度和加速度
1. S1和 S2外侧合成波的强度 2. S1和S2之间因干涉而静止点的位置，设两列
波的振幅都是A0，强度都是I0 。
5
4
S1
S2 x/m
解:
1
2
2 0
5
4
S1
S2 x/m
两列波在干涉点的相位差
1
2
2π
(r1
r2
)
π
/
2
2π
(r1
r2
)
t 0
S1
(1) 在S1左侧的P点，两列波的波程差
r1
r2
k
以下由转动系统解出 T1：
J
R
m
T1
O
x
mg
R
T1R k(l x)R J
X
J
f
T1 T1 k(l x) R (3)
将 （1），（3）代入（2）中，合外力
F mg k(l x) J kx J (4)
R
R
而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度
a F
R mR
代入（4）中得
F
dt
dt 2
dt
式中，
d
dt
d 2
dt 2
,
d ,
dt
J 1 ml2 3
在杆作微小振动时， sin
代入后，可以得到：
d2
dt 2
3 ml 2
mgl 2
kl2
0
杆的微小振动是简谐运动
例 如图所示，两轮的轴相互平行，相距为2d，两轮的转速相同而转向相反。 现将质量为m的一块匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为u。 若木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期。
y Acos[(t
x) u
y0 ]
Acos[2
(t T
x
)
0
]
五大要素 y Acos(t kx 0 )
2. 记住能量密度、能流以及能流密度公式
平均能量密度： w 1 2 A2
2
平均能流：
P wSu
平均能流密度—波的强度：I wu 1 2 A2u
2
3. 记住惠更斯原理的内容
媒质中波阵面上的各点都可以看做子波波源，其后任 一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面
本章基本题型：
1. 已知波动方程，求有关的物理量
(1) 求波长、周期、波速和初相位 (2) 求波动曲线上某一点的振动方程 (3) 画出某时刻的波形曲线
2. 由已知条件建立波动方程
(1) 已知波动曲线上某一点 的振动状态
(2) 已知某一时刻的波形曲线
3. 波的传播及叠加
(1). 波的干涉 (2). 驻波 (3). 半波损失
例. 图中定滑轮半径为 R, 转动惯量为 J ， 轻弹簧劲度系数为 k ，物体 质量为 ｍ, 现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空 气阻力，使证明系统作简谐振动，并求其作谐振动的周期。
解：以 m 为研究对象。
在平衡位置 O 时：合外力 F0 mg kl 0 (1)
在任意位置 x 时：合外力 F mg T1 (2)
振动和波动
机械振动知识要点
1.掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意 义及确定方法
x Acos(t )
决定于系统本身的性质！ k
m
A和由初始条件x0, v0决定！
A
x02
v02
x0
tan v0
x0
值
v0的正负号(sin)
2. 掌握简谐振动的动力学特征，并能判定简谐 振动，能根据已知条件列出运动的微分方程， 并求出简谐振动的周期
0.1 x
t=0.5s时物体的位移?
x 0.1cost 2 3 0.1cos0.5 2 3 0.0866m
（2） t = 0.5 s时物体受到的恢复力? 由（1）得
k m2 0.012 0.099 N/m
F kx 0.0086N
（3）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间；
例１ 一质量为m = 10 g的物体作简谐振动，振幅为A = 10 cm ,周期T = 2.0 s。若t = 0时，位移x0= - 5.0 cm，且 物体向负x方向运动， 试求： （1）t = 0.5 s时物体的位移； （2）t = 0.5 s时物体的受力情况； （3）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间； （4）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。
4. 掌握简谐振动的合成规律:同方向、同频率 简谐振动的合成
x x1 x2 Acos(t )
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 ) tan A1 sin 1 A2 sin 2
A1 cos1 A2 cos2
(1 2 ) 2k
(1 2 ) (2k 1)
(1 2 ) 其它值
5 4
-A
M
S2 x
A
1
2
2π
(
5 4
)
3π
满足干涉条件，所以在S1左侧所有点合成振幅A=0, 合成波强度为零
(2)
在S2右侧的P点，两列波的波程差
r1
r2
5 4
1
2
2π
(5 4
)
2π
满足干涉加强条件，所以在S2右侧所有点合成振幅
A=2A,合成波强度为4I0
(3) 在S1、S2之间，两列波沿相反方向到达干涉点，设 任意干涉点到S1的距离为x，则r1=x，r2=5λ/4-x，
A2
5. 理解驻波的形成，并掌握驻波的特点
两列频率、振幅和振动方向都相同而传播方向相反的 简谐波叠加形成驻波，其表达式为
y 2Acos 2 x cost
波节： 振幅 0 cos 2 x 0
x
(2k
1)
,
k
0,
1,
2,
...
波腹：振幅
2 A
4
cos
2
x
1
x
k
,k
0, 1, 2,...
2
驻波的特点：
以O点为坐标原点的波动表达式为
O
2
yO
A cos[ (t
x) u
]
2
t0 O
P
P -A
以P点为坐标原点的波动表达式为
y
M
A
yP
Acos[(t
x) u
]
y
u
P
O
x
2. 如 图 所 示 ， S1 、 S2 为 同 一 介 质 中 沿 其 连 线方向发射平面简谐波的波源，两者相距作同方向、 同频率、同振幅的简谐振动，设S1经过平衡位置向 负方向运动时, S2恰处在正向最远端，且介质不吸收 波的能量。求：
4. 熟练掌握简谐波的干涉条件，干涉加强、 减弱的条件
波的相干条件：频率相同；振动方向相同；相位差恒定
干涉加强或减弱的条件：
2
1
2
(r2
r1 )
2k ,(k 0,1, 2,.....),振幅最大, A A1 (2k 1) ,(k 0,1, 2,.....),振幅最小, A
A2 A1
(1). 动力学判据: F kx
d2 dt
x
2
2
x
0
(2). 能量判据： 振动系统机械能守恒
1 mv 2 1 k x2 恒量
2
2
(3). 运动学判据: x t Acos t 0
0
arctan(
v0
x0
)
3. 掌握简谐振动的能量特征
总的机械能：
E
Ep
Ek
1 2
m2 A2
1 kA2 2
【解】 方法一. 分析受力法
O 取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向
M
mg
Mg
MF
(
mgl 2
sin ) (kl sinl cos )
ml 2 3
d2
dt 2
f
很小时
d2
dt 2
3 ml 2
mgl 2
kl 2
0
细杆微小振动是简谐振动
方法二. 分析能量法
由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。取平衡位置 系统的势能为零，当杆在某一任意位置时，系统机械能为
x u
l
)
（4）y
A cos
(t
x u
l
)
1. 有一以速度u沿x轴正向传播的平面简谐波，
其质点振动的振幅和角频率分别为A和ω,
设某一瞬间的波形如图所示，并以此瞬间 为计时起点，分别以o和p点为坐标原点， 写出波动表达式。
u
y
P
O
x
解: (1) 以O点为坐标原点，设O点振动方程为
y Acos(t )
（4）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。
第一次到达x=5.0cm时的相位为 故 第一次达到此处所需时间为
5
3
t 0
t1
5
3 2
3
1s
-0.05
O 0.05 0.1 x
连续两次到达x = 5.0 cm处的相位差为
2
3
2 3 t2 0.67s
例2、如图所示的振动曲线。求： （1）简谐振动的运动方程 （2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间