梁的刚度分析

y' q Lx2 4
y q Lx3 12
q x3 qL3 6 24 q x4 qL3 24 24
x
（4） x
L 2
时，（将
x
L 2
代入（4）式得yC
）
EI Z yC
5 384
qL4
yC
5 384 EI Z
qL4
（3） （4）
将x=0代入（3）得：
A
y
' A
1 EIZ
qL3 24
（5）讨论：如若我们将x=0代入（1）（2），即可得到
A
C
B
RA x
L/2
L
RB
Me
A
C
BA
B
RA x
L
RB RA x
L
RB
解：
（1）首先将梁上的载荷分成两种，如下图，并由附录中查得 它们单独作用下，跨中处的挠度和支座处的转角为：
Aq
qL3 24EIZ
AM
MeL 3EI Z
Bq
qL3 24EIZ
BM
MeL
6EI Z
yCq
5qL4 384EIZ
EI Z
y'
P 4
x2
PL2 16
EI Z y
P 12
x3
PL2 16
x
（4）求结果：
x=0时， x=L/2时，
A
y
' A
1 EIZ
PL2
16
PL2
16EIZ
PL3 yC 48EIZ
思考题：
图示一简支梁，在梁中点处作用一个集中力偶Me，求梁跨中 点C处的挠度与铰支座A点处的转角及连杆支座B点处的转角。并 求梁上最大挠度值。
1
x
M x
EI Z
Kx
(b)
又：
1
x
y
3
1 y2 2
1
x
y
M x
EI Z
1
x
y 1
M x
EI Z
(9-3)
——挠曲线近似微分方程
注:上式之所以称为梁的挠曲线近似微分方程，主要是略去 了剪力的影响和 y2 项的结果。
二.讨论：
从（9-3）式可看到：在等式的右边有一个+号。到底是取 正号还是取负呢？
梁的刚度分析
内容
§1 概 述 §2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分 §3 用叠加法求梁的变形 §4 简单静不定梁的解法 §5 梁的刚度校核及提高梁的刚度措施 §6 梁内的弯曲应变能
§1 概述
*在上一章中，我们对各种截面梁中横截面上的应力，作 了比较详尽的介绍和分析，但是，对一根梁来说，它是不是只 要满足了应力要求，即强度条件，就能够使得整个构件正常， 安全的工作呢？为了回答这个问题，下面我们先看一看几个简 单的例子：
任意一点C1作切线时，它与水平线的夹角 显然等于C1点所在 横截面的转角 ，于是：
❖挠曲线： y f x
❖任一点的斜率与转角之间的关系为： dy tg
dx
由于： 极其微小
tg
dy f ' x
dx
——转角方程
物理意义： 反应了挠度与转角之间的关系，即挠曲线上任意一点处切
线的斜率等于该点处横截面的转角。
Me
A
C
B
RA x
L/2
L
RB
目录
§3 用叠加法求梁的变形
一.概述：
我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法，但 在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很 多的积分常数。运算非常复杂。现在我们将要介绍的叠加 法，基本上克服了这一缺点，为工程上常采用的较方便的 计算方法之一。
我们在本门课的一开始就曾讲过，材料力学所研究的范 围是线弹性范围，变形是小变形，梁的挠度和转角与作 用在梁上的载荷成线性关系。故而当梁同时受几个载荷作 用而使梁产生的变形，就等于每一个载荷单独作用下梁产 生的变形的代数和。
6EIZ
C
A
qa 3 6EIZ
思考题
图示，一悬臂梁受集中力作用，试用叠加法求自由端A点处 的挠度和转角
P1 B
P2
C
A
a
L
目录
§4 简单静不定梁的解法
一.概述
对于静不定梁，一般的解决办法有三种：叠加法，能量法， 力法，其中的能量法和力法我们将在以后的几章中介绍，现在 我们就用叠加法来解静不定梁。
B
（5）讨论：
yB'
PL2 2EIZ
yB
PL3 2EIZ
❖由上面可看到：由于固定端处的转角和挠度都为零，故 C=D=0，即：它也满足例1中得出的结论。
例3.图示一简支梁，在梁跨度中点C处作用一个集中力P。求 该跨中点C的挠度及支座A点处横截面的转角。
P
解：[分析]象这样类型习题的传统
解法是：以A点为原点,建立坐标系 A
五.举例： 例1.图示简支梁受均布载荷作用，载荷集度为q，梁的跨长为 L，求梁跨中点C处的挠度与支座A点处的转角。
A
B
解： （1）求支反力：
根据对称性，可得：
RA
RB
1 qL 2
（2）建立挠曲线微分方程 以梁的左端A为坐标原点建立坐标系如图，则：
M
x
RA x
q 2
x2
EI Z y '' M x
EIZ
1 2
P
（2）建立挠曲线微分方程
M x
RA x
P 2
x
EIZ
y ''
M x
P 2
x
EIZ
y'
P 4
x2
C
EIZ
y
P 12
x3
Cx
D
（3）利用边界条件确定积分常数C、D
——（1） ——（2）
由x=0, y A 0 得：D=0
由对称性可得：
x=L/2,
C
0，得：C PL2
16
将C、D代入（1）（2）得：
a
L
q C
yc A
C
yA
在分析这种梁的时候，我们把它分成两段来考虑：
由附录中，我们可查得：
qa 4 yC 8EIZ
C
பைடு நூலகம்
qa3 6EIZ
由CA段上无载荷，CA段又是自由端，所以CA段梁变形后仍保持 直杆，如图所示，由杆件的变形连续条件可知：
C A
y A yC L aC
yA
qa4 8EIZ
L a qa3
结论：由转角方程我们可看出：梁上某点处横截面的转角等于 f ' x 在该点处的大小。研究梁的变形的关键在于提出
挠曲线方程 y f x。
5．挠度，转角的正负号规定： ❖挠度：向下的挠度为正，向上的挠度为负 ❖转角：顺时针的转向为正，逆时针的转向为负
目录
§2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分
一.挠曲线近似微分方程（的推导）
故等式的右边应取“—”号，即：y M x
EI Z
综上所述，得出： y '' M x
EI Z
——挠曲线的近似微分方程
三.积分： 对等截面梁来说：I Z 常量 故（9-3）可写成：
EI Z y '' M x
积分得：
EIZ y'' M xdx C
（9-4）
EIZ y M xdxdx Cx D
二.方法：
(1).首先将多余约束解除，代之以支座反力，从而使静不定结构 成为静定结构。
(2).根据解除约束处的原来约束性质，即变形特点，列出变形关 系。
1.变形条件：所谓变形条件，一般是指梁的支承处的变形特点， 如铰支座及连杆支座处的挠度为零。固定端处的挠度为零。见 下图：
A
B
yA 0
yB 0
A
B
yA 0
yB 0
yA 0
A 0
yA 0
A 0
2.连续性条件：指梁被载荷分成几段时，我们将分段列出弯矩 方程，由于梁的挠曲线是一光滑连续曲线，所以段与段之间连 接处的挠度，转角在两段上的数值必须相等。
B
，分AC段，CB段分别列出弯矩方程 RA x
及挠曲线方程，然后根据变形条件
L/2
L
RB
和连续条件确定积分方程。从而求
解，我们的书中用的就是这种解法，但是，我们只要稍微注意一
下，就可发现，此梁为一对称结构，因此，我们只需取其一半结
构即可得出结果。
取AC段为研究对象：
(1)求支反力：
由对称性可得：RA
y ''
RAx
q 2
x2
q 2
Lx
q 2
x2
EIZ
y'
q 4
Lx2
q 6
x3
C
EIZ
y
q 12
Lx3
q 24
x4
Cx
D
——（1） ——（2）
（3）利用边界条件确定积分常数C、D
x=0, y A 0 得：D=0
x=L, yB 0
得：C qL3
24
将C、D代入（1）（2）得：
EIZ EIZ
（9-5）
❖ 由此我们可看出：根据（9-4）（9-5）就可以把某点处截 面的转角和挠度求出来。
❖ 但由（9-4）（9-5）我们还看到，有两个积分常数C、D。
如果这两个常数不知道的话，我们还是无从求出 和y。
下面我们还要对C、D进行确定：
四.积分常数的确定：
一般情况下，积分常数可通过梁的支座处的变形条件（称为 边界条件或支承条件）或梁的挠曲线的变形连续性条件来确定。
2．转角——梁上某一横截面在梁发生变形后，绕其中性轴转 动的角度 ，就称为该横截面的转角。
3．挠曲线方程——从图中我们可以看出：梁的轴线上每一点 的挠度y是随着点的位置x的改变而变化的，因此它是x的函数, 即：
y f x ——挠曲线方程
4．转角方程——由截面的平面假设可知：变形前垂直于轴线 的横截面，变形后仍垂直于挠曲线，故，当我们通过挠曲线上
第九章的内容就告诉了我们上面所提到的梁所必须满足的
变形条件以及计算这种弯曲变形的方法，下面我们首先来看 几个基本概念：
举例：如图所示：取梁变形前的轴线为x 轴，与 x 轴垂直的 为y 轴。弯曲变形后，在 xy 平面内，AB——弧AC1B，挠 曲线——平面曲线AC1B。
F
A
B
y
x
C1
x
1．挠度——梁的轴线上某一个点在垂直于x轴的方向（y方向） 所发生的位移。
EIZ
y'
1 2
Px2
PLx C
EIZ
y
1 6
Px3
1 2
PLx2
Cx
D
——（a） ——（b）
（3）利用边界条件确定积分常数C、D
由x=0, 时
yA 0
A 0
D=0 C=0
EIZ
y'
1 2
Px2
PLx
EIZ
y
1 6
Px3
1 2
PLx2
(4) 将X=L代入（c）(d)式得：
——（c） ——（d）
在上一章，讨论纯弯曲变形时，得出：梁纯弯曲时轴线 的曲率为：
1 M K EI Z
（a）
在横力弯曲中，我们知道梁的横截面上的内力除弯矩外， 还有剪力，但同时我们又知道：工程上常用的梁，由 于L（跨长）远大于h（横截面高度），剪力的影响很小， 可忽略不计。故我们仍可将其当作纯弯曲梁来处理。有(a) 式来表示曲率大小。但由于在横力弯曲中，曲率和弯矩都 是x的函数。故而应写为：
注：这一点可作为一个标准来检验上面积分常数的正确与否，并 且对其它类型的梁也成立。
例2.图示一悬臂梁，自由端受一集中力P作用，求自由端B处的 挠度和转角。 解：建立坐标系如图：
（1）求支反力
RA P ，M A PL
（2）建立挠曲线微分方程
M x RA x M A P x PL
EI Z y '' M x Px PL
我们大家都知道，梁变形后的形状，不外乎<a><b>两种。我 们现在分别讨论：
❖<a>:在如图所示的坐标系中，显然 y'' 0 （因为 y'' 0 时，函数
出现极小值）而此时：M<0故，等式的右边应取“—”号， 即：
y '' M x
EI Z
y '' 0
❖<b>：在如图所示的坐标系中，显然，此时函数出现了极大值 而此时：M>0
这种用每一个载荷单独作用下梁产生的变形的代数和来代 替梁同时受几个载荷共同作用下产生的总变形的方法，我们就 称其为叠加法。在用叠加法求梁的变形时，每一个载荷单独作 用下产生变形可从本书附录中查到。
二.举例：
例4.图示一简支梁受均布载荷及集中力偶作用，试用叠加法求 梁跨中点处的挠度和支座处的转角。
Me
齿轮轴弯曲变形过大，就要影 响齿轮的正常啮合，加速齿轮 的磨损，产生较大的噪音。
齿轮轴弯曲
吊车梁若变形过大，一方面会使 吊车在行驶过程中发生较大的振 动，另一方面使得吊车出现下坡 和爬坡现象。
吊车梁变形
* 从上面两个例子我们可看出：梁即使满足了强度条件，若变 形过大的话，它仍然不能够正常安全的工作。由此，我们可 以得出：要使梁正常安全的工作，一方面梁不仅要满足强度 条件，另一方面梁还必须满足一定的变形条件。只有在这两 方面同时得到满足的条件下，整个构件才能正常安全工作。
y A 、 A 分别为：
yA
D EI Z
， A
C EI Z
D EI Z y A
（5）
C EI Z A
（6）
即：一次常数C表示原点的转角与抗弯刚度的乘积 二次常数D表示原点的挠度与抗弯刚度的乘积
从上面可看出：把原点取在简支梁的铰支座上时，二次积分常数 D=0, 这正是因为原点是铰支座，而铰支座处的 挠度为零。
yCM
MeL2 16EIZ
(2).进行代数相加，求得：
5qL4 MeL2
yC
yCq
yCM
384EIZ
16EIZ
A
Aq
AM
qL3 24EIZ
MeL
3EIZ
B
Bq
BM
qL3 24EIZ
MeL 6EIZ
例5.图示，一受载荷的悬臂梁，求自由端A点处的挠度和转角
B
解：
B
C A
例如：<b>中c点为AC段与CB段的连接点，则AC段上C点的挠度
yC AC ，转角C AC应该与CB段上C点的 挠度 yC CB，
转角 C CB 相等，即：
yC AC yC CB
C AC C CB
分别或同时利用上述两种条件就可以将积分常数确定出来。 直接积分法：对式 EI Z y '' M x进行积分求梁的变形方法。