近世代数学习系列-b2 集合论笔记(续)

近世代数预备知识集合论（续）

____对“集合”的一些看法

集合可以说是最简单的结构。或者说简直简单得没有结构。对于一个抽象的集合（意思是说，我们只知道它是一个集合，其他什么也不知道）来说，它的每个元都是完全一样的，元和元的相互之间也没有任何关系——当然，要说的话还是有那么一点关系，我们总是能判断两个元是否相等。从这个角度来看，我们关于一个抽象的集合所能知道的唯一信息，就是它的元的“个数”。这是集合这种“结构”的最重要的“不变量”，也是唯一的不变量。

当然我还根本没有说过所谓“个数”是什么。OK，那现在我就这样来定义：所谓个数，就是指集合的不变量。讲这话并不是找打。我们已经定义了集合的“同构”，也就是一一对应（参看前文《映射》）。所谓“不变量”，当然是指“在同构映射下不变的东西”，于是我们就得到下面的定义：

定义。如果两个集合A和B是同构的（也就是说它们之间存在一一对应），我们就说它们同等。写做A~ B。这显然是一个等价关系（参看前文《关系》）。我们把关于这个等价关系的任意等价类称为个数，或者为了区别于我们的直观，换一个词称做浓度。对于任意一个集合A，它的浓度当然定义为与A同等的所有集合做成的等价类。

从我们的直观上来说，“部分”的个数要比“全体”的个数来的“小”。这句话中已经暗示了一个重要的定理。

首先，所谓“部分”当然可以指“子集”。而鉴于现在我们考虑的同等关系，下面的定义应该是恰当的：

定义。如果存在一个从集合A到集合B的单射f: A→ B（这时A和f( A) 同等），我们就说A比B小。写做A≤ B。

而所谓的“小”，当然不只是说说就算了。我们谈论大小的时候在暗默中就假定了一些事，关于这个请参看前文《关系》。这些“暗默中假定的事”确实成立，这就是下面的定理。

定理。≤ 是一个偏序关系。

证明。显然对任意集合A都有A≤ A。而如果A≤ B，B≤ C，只要考虑映射的合成我们就有A≤ C。这个定理最主要的部分在于，如果A≤ B且B ≤ A，就一定有A~ B。或者换句话说，如果既有从A到B的单射，又有从B 到A的单射，那就一定有A和B间的一一对应。这个有时被叫做Bernstein 定理，证明如下：

假设有单射f: A→ B和g: B→ A。我们的战略是把A、B分别分割成A1和A2、B1和B2两个不相交的部分，使得f ( A1 ) = B1，g ( B2 ) = A2。这样一来显然有A ~ B。

先假设有这样的分割存在，这时因为B1= f( A1) ?f( A)，所以B2应当要包含B?f( A)。我们把B?f( A) 记为C0。C0既然被包含在B2里面，g ( C0 ) 当然被包含在A2里，而f是单射，所以f°g ( C0 ) 也一定被包含在B2里。依此类推，我们把f°g ( C0 ) 记为C1，f°g ( C1 ) 记为C2，… ，f°g ( C k ) 记为C k + 1，… ，显然B2应当包含所有C k。

我们将证明，把B2定义为所有C k的合并就可以了。这时令A2= g( B2)，A1 = A \ A2，B1 = B?B2，剩下我们只要证明f ( A1 ) = B1。由于我们最早已经把B?f( A) 包含在B2里面了，所以B1= B?B2当然被包含在f( A) 里。f是单射，所以f ( A ) 分成f ( A1 ) 和f ( A2 ) 两个不相交的部分，而根据B2的定义我们有f ( A2 ) = f ( g ( B2 ) ) = f°g ( B2 ) ?B2，所以当然f ( A1 ) = B1。（证毕）

定理。对任意集合A、B、C，我们有

1) ( A?B) × C ~ ( A× C ) ? ( B× C )

2) A B× A C ~ A B?C

3) ( A× B )C ~ A C× B C

4) ( A B ) C ~ A B× C

5) ? ( A ) ~ 2A

注意?和× 分别代表非交和与笛卡儿积，? ( A) 代表幂集合（参看前文《集合》），而A B表示从B到A的所有映射的集合， 2 则表示集合 { 0, 1 }。

证明。考虑这些集合的意义，定理基本是显然的。这里证明 4) 和 5) 做为例子。4) ( A B) C的元是从C到A B的映射，把它写成f。于是对于任意的c∈C，f( c) 是A B的元也就是从B到A的映射，于是f( c) 把B中的元b映到A中的元f( c) ( b)。所以合起来说f正好就是把B× C的元 ( b, c) 映到A中的元f( c) ( b)。 5) 对A的任意一个子集U，我们定义从A到{ 0, 1 } 的映射f U为：如果x∈U则f U ( x ) = 1，否则f U ( x ) = 0。这显然是? ( A ) 和 2A的一个一一对应。（证毕）

定理。把所有自然数的集合记为?。我们有

1) ??? ~ ?

2) ?×? ~ ?

证明。 1) ? = { 奇数 } ? { 偶数 }。映射n|→ 2n给出了一个从?到{ 偶数 } 的全单射，所以 { 偶数 } ~ ?。对于 { 奇数 } 也是一样。

2) 像这样列出?×?的所有的元： ( 1, 1 ); ( 1, 2 ), ( 2, 1 ); ( 1, 3 ), ( 2, 2 ), ( 3, 1 ); ( 1, 4 ), ( 2, 3 ), ( 3, 2 ), ( 4, 1 ); ……; ( 1, k ), ( 2, k - 1 ), …, ( k - 1, 2 ), ( k, 1 ); ( 1, k+ 1 ), …… 把把这序列从头开始往后依次编为 1 号， 2 号， 3 号，… 这就给出了从?×?到?的一个一一对应。如果你有兴趣，可以试着把这对应用式子写出来。（证毕）

?的浓度通常称为可数浓度。可数浓度的集合称为可数集合。

推论。有理数集?是可数的。这是因为显然?≤?≤?×?，而前定理的 2) 说?×? ~ ?。

定理。（Cantor的对角线论法）A < ? ( A )。

证明。显然A≤ ? ( A )。所以我们只要证明A和? ( A ) 间不存在一一对应。假设有这样一个对应，对于A的每个元a都对应了一个A的子集U a。a可能属于U a也可能不属于U a。所以我们考虑集合V := { a∈A | a?U a }，这也是A的一个子集，所以对应了一个A的元b。但不论b属于V或不属于V都会引发矛盾。这矛盾是由假定A和? ( A) 间存在一一对应而产生的，所以结论是A和? ( A ) 间不可能存在一一对应。（证毕）

? ( ? ) 的浓度通常称为连续浓度。由以上定理知它严格大于可数浓度。

定理。实数集? ~ ? ( ? )。

证明。我们证明? ~ 2?。首先 2?的元可以看成是一条由 0、 1 组成的排成一排的序列，在这序列前加上一个“0.”就可以把它看成是一个（十进制）小数。因此?≥ 2?。另一方面，函数 arctan ( x ) / π + 1 / 2 把?单射地映到 ( 0, 1 ) 区间，而 ( 0, 1 ) 区间的实数可以用二进制的小数来表示，把这小数表示前的“0.”去掉就可以得到一条由 0、1 组成的排成一排的序列，从而看成 2?的元。因此?≤ 2?。（证毕）

定理。? ~ ??? ~ ?×? ~ ??

证明。显然我们只要证明?? ~ ?。把?看成是 2?，我们有 ( 2? ) ? ~ 2?×? ~ 2?。（证毕）

定理。?? ~ 2?

证明。显然 2?≤ ??。另一方面，??≤ ( 2? ) ? ~ 2?× ? ~ 2?。（证毕）??的浓度通常称为函数浓度。由以上可知它严格大于连续浓度。但是如果我们只考虑从?到?的连续函数的集合C ( ?, ? )，这个浓度就是连续浓度了。这是因为?在?中是稠密的，所以一个连续函数只要在?上确定了函数值，通过取极限操作它在整个?上的函数值也就唯一确定了。而?是可数的，所以C ( ?, ? ) ≤?? ~ ?? ~ ?。反方向的不等式是显然的。

选择公理

出于对民主的一贯敬意，我愿意把选择公理理解成“人民要有选择的权利”。这不是你（政府，或者上帝）面对无数个非空的抽象集合时一次从每个集合里都选出一个元；这种强力干涉的独裁手腕是不可能的。我愿意把选择公理理

解成，这是那无数个非空的抽象集合们每一个都自发地从自己的元中选举一个出来。当然这跟数学完全没有关系。选择公理的陈述是：

如果?λ∈Λ, Aλ≠ ?，则∏ Aλ ( λ∈Λ) ≠ ?。

这意思是说，如果每个Aλ都非空，那么我们给集合Λ中的每一个元λ对应集合Aλ中的一个元，这样的对应是存在的。或者更直白一些，在每个Aλ中都选取一个元是可能的。如果一个集合非空，从里面选取一个元当然是可能的。但选择公理保证的是，即使有无限多个集合，甚至是不可数的无限多个，只要每个集合都非空，那我们就可以在一次神秘的操作之后从每个集合里都得到一个元。这中间当然存在逻辑的飞跃。注意在这里我们只知道Aλ是集合。如果我们还知道别的一些信息，有时不用选择公理也可以从每个Aλ里选出一个元来。比如说假如有无限多双鞋子，我们可以说“从每双鞋中取出左脚穿的那只”，这就没有用到选择公理。但是如果是无限多双袜子，由于袜子是不分左右的，要从每双里取一只出来就难了！

选择公理是非常强有力的公理。首先来看一个简单的应用：

定理。对于非空集合A、B，以下两个命题是等价的：

1) 存在从A到B的单射

2) 存在从B到A的全射

证明。 1) ? 2) 并不需要借助选择公理。如果存在从A到B的单射f，我们当然可以在f ( A ) 上定义f的逆映射。而对于B?f ( A )，只要在A 中随便选取一个元，把B?f( A) 都映到那个元就可以。这样定义的从B到A的映射显然是一个全射。注意这里只做了一次选择，所以是没有借助选择公理的。 2) ? 1) 如果存在从B到A的全射，则对于A的每个元a，f-1( a) 都非空。所以根据选择公理我们可以从每个f-1( a) 中选出一个元b a。把a映到b a定义了一个从A到B的映射，而f-1 ( a ) 们显然是互不相交的，所以这是一个单射。（证毕）

在数学中我们常常会想要做无限次的操作。比如说我们想要这么证明“ ?是最小的无限集合”：对任意无限集合A，显然A非空，所以从里面取出一个元a0。A是无限的，所以A? { a0 } 也是无限的，于是又可以从里面取出一个元a1，……依此类推，我们就得到了一个从?到A的单射。这个“证明”的省略号省略得有没有道理？一般来说无限次的操作是不被允许的。我们可以归纳地定义自然数的函数f ( n )（也就是说，用f ( 0 ), f( 1 ), …, f ( k - 1 ) 的值来规定f ( k )），这是因为本质上对于每一个n我们只要经过有限的操作就可以得到f ( n ) 的值。但是这个“证明”中的并不是一个归纳的定义。所谓“取出一个元”是有任意性的。如果A只是一个抽象的集合，我们就没有办法明确规定到底取出的是哪一个元。那么选择公理呢？选择公理保证我们可以做无限次的选出操作。但是选择公理保证的是同时的、相互独立的选出操作，在这里每一个元的选出都依赖于以前做出的选择。所以看起来这个省略号是欠缺说服力的？然而只要稍用一点技巧，像这样的直观论证是可以通过选择公理来正当化的。

定理。?是最小的无限集合。

证明。假设集合A是无限的，则对于A的任意有限子集U，A?U都非空。于是根据选择公理，我们可以给每个有限子集U对应一个A?U中的元。把这元记为a U。?当然是A的有限子集，所以对应了一个元a0。现在我们定义把 0 映到a0。 { a0 } 也是A的有限子集，所以也对应了一个元a1，然后定义把 1 映到a1。同样 { a0, a1 } 也是A的有限子集，所以对应了一个元a2, … 一般地，我们把有限子集 { a0, a1, …, a k } 所对应的元记为a k + 1，然后定义把k + 1映到a k + 1。这样就归纳地定义了一个从?到A的函数，它显然是单射。（证毕）

接下来你也许会想用同样的直观论证来证明“任意两个集合都是可比较的”：从集合A中取一个元a，让它对应集合B中的一个元b。如果A? { a} 已经是空集，我们就得到了一个单射。而如果B? { b } 是空集，我们就得到了一个全射。如果都不是，那就可以再分别从A? { a} 和B? { b} 中各取出一个元来互相对应，这样一直进行下去，最后总会得到一个单射或者全射。然

而遗憾的是，在这里集合A可能是不可数的，所以我们的严密论证不能再像前面的证明那样直接地使用归纳的定义了。解决这个问题方法来自于对“数数”这个直观概念中所蕴涵的逻辑的深入发掘，这发掘给我们带来了所谓的“超限归纳法”。使用超限归纳法再加上上面定理的证明中那样的技巧，我们能够得到一个非常具有通用性的框架来把“像这样的直观论证”化成严密的数学论证。

良序集合

良序集合的概念是关于“数出来的自然数”这一概念的扩张，从直观上来说良序集合简直也就是“可以数出来”的。

定义。把满足下列条件的偏序集合X称为良序集合：X的任意非空子集都有最小元。显然良序集合的任意子集也是良序集合。

?是一个良序集合，这是因为对于?的任意非空子集V，只要从V中取出一个元v，比v小的自然数就只有有限个，所以其中当然有一个是V的最小元。

定理。良序集合是全序集合。

证明。对于良序集合的任意两个元a、b， { a, b} 做成一个子集，这子集有最小元，所以当然a与b是可比较的。（证毕）

定义。对于一个元a，如果a < b而且不存在满足a < x < b的元x，就把b称为a的后继。

定理。良序集合除最大元之外的每个元都有后继。

证明。对良序集合的任意元a，如果a不是最大元则集合 { 严格大于a的元全体 } 非空，这集合的最小元就是a的后继。（证毕）

定义。对于良序集合X和X的任意元a，定义X a := { x∈X | x < a }，称为X的a-切片。显然一个切片X a满足条件“比X a中某个元小的所有元都属于X a”。反过来，如果X的任意真子集A满足这个条件，它就是X的一个切片：我们只要取X?A的最小元b，易知A = X b。

定理。（超限归纳法）假设对一个良序集合X的每个元都规定了一个命题P。这时如果 1) P对于X的最小元成立；2) 对于X的任意元a，只要命题对X a的每个元成立，它就对a成立。这两个条件满足，P就一定对X的所有元成立。

证明。假设集合 { a∈X | P对a不成立 } 不为空，就一定有最小元b。由于P对于X的最小元成立，所以b不是X的最小元。这时切片X b不为空且P 对X b的每个元都成立，所以P也应该对b成立，矛盾。（证毕）

定理。对于任意良序集合X：

1) 如果f: X← X是保持顺序不变的单射，则?x∈X, x≥ f ( x )。

2) ?a∈X, X与X a（作为偏序集合）不同构。同样?a, b∈X, 只要a、b 不同，X a与X b就不同构。

证明。 1) 假设集合A := { a∈X | f ( x ) < x } 不为空，取它的最小元b。我们有f( b) < b，而f是保持顺序不变的单射，所以f( f( b) ) < f( b)，于是f( b) ∈ A，这和b的定义矛盾。 2) 假设有从X到X a的同构f。X a 是X的子集，所以f可以看成是从X到X的保持顺序不变的单射，并且f ( a) ∈X a所以f ( a ) < a，由 1) 这是不可能的。对于X a和X b也是一样。（证毕）

定理。（良序集合的比较定理）对于良序集合X、Y，以下三种情况总有唯一一种成立：

1) X与Y同构

2) X与Y的某一切片同构

3) Y与X的某一切片同构

证明。定义X的子集U := { x∈X | X x与Y的某个切片同构 }。则对于U的任意元u，X u就与Y的某个切片Y y同构。而根据前定理，这y是由u所唯一确定的。于是我们规定把u映到这样的y就定义了一个从U到Y的映射f，f显然是单射且保持顺序不变（这映射f相当于是说，如果在所有比x小的元上定义了对应，就自然地把这对应扩张到x上）。如果f是全射且U= X，当然X与Y同构；如果f是全射但U是X的真子集，由于U显然满足条件

“比U中某个元小的所有元都属于U”，所以U是X的一个切片，于是Y与X的某一切片同构。而如果f不是全射，显然f ( U ) 是Y的一个切片，这时假如U也是X的真子集则U等于一个切片X b并且X b与Y的切片f( U) 同构。可是b?U，这与U的定义矛盾。所以U必须等于X，于是X与Y的某一切片同构。（证毕）

定理。如果良序集合X和Y同构，则同构映射是唯一的。

证明。设有两个同构f、g，我们用超限归纳法证明?x∈X, f ( x ) = g ( x)：首先f和g都把X的最小元映到Y的最小元，所以对X的最小元命题成立；然后假设f和g在切片X a上是一致的，这时由于f( X a) = g( X a) 是Y上某个元b的b-切片，所以f和g都必须把a映到b。（证毕）

Zorn引理

应用良序集合的理论结合选择公理的技巧，Zorn引理提供了一个把我们的直观论证化成严密数学论证的非常方便的框架。

定义。我们把满足下面条件的偏序集合A称为归纳的：对于A的任意良序子集V，在A中总有一个元要大于V中所有的元。（大于的意思包括等于）

定理。（Zorn引理）任意一个非空的归纳的偏序集合A都有极大元。更细致的说，我们从A的任意元x开始，“数过一个良序集合之后”，总能到达一个极大元。也就是说，对于A的任意元x，总存在一个A的良序子集V满足：x是V的最小元，V有最大元，而且那个最大元是A的极大元。

证明。从直观上来说，我们可能想这么证明：从A中取一个元，如果它已经是极大的那当然好。如果不是，就有比它大的另一个元，像这样不停的取下去就做成了一个良序子集。然后又有比这良序子集大的元，如果它还不是极大，就再取比它大的，这样一直取下去，最后比把取出来的所有这些元都大的应该就是

极大元了吧。这论证当然绝不能算严密，但严密的论证本质上也就是这么做的。对于A的任意一个以x为最小元的良序子集T，把比T中所有元都大的元的集合记为S T。因为A是归纳的，所以S T非空。如果S T?T，这也就是说S T中的元比T的元都大而其本身又属于T，这时当然S T中只能有一个元就是T的最大元。但S T是比T中所有元都大的元的集合，它只有一个T的最大元说明A中再没有比这个最大元更大的了，因此这个T的最大元就是A的极大元。如果对于任何T，S T都不被包含在T里面，则根据选择公理，我们可以给每个T 对应一个S T?T的元f ( T )。我们将证明这会导致矛盾。

导致矛盾的战略是，从x出发， { x } 是A的良序子集，所以对应了一个元f ( { x } )，把f ( { x } ) 记为x1。然后 { x, x1 } 也是A的良序子集，所以对应了一个f ( { x, x1} )……把所有这些搜集起来，这整个也是一个良序集合，于是又有比它大的新的元，但这和“把所有这些搜集起来”的定义矛盾。严密的论证如下：

把R定义为所有满足下列条件 (*) 的A的良序子集X的集合：X的最小元为x且对于X的任意切片X a都有a= f( X a)。我们将证明，对于R中任意两个元X、Y，要么X= Y，要么X是Y的切片或Y是X的切片。这样一来把R中所有元合并起来就仍然是一个良序子集，对这个良序子集T定义了一个f( T)，T∪ { f( T) } 也满足条件 (*) 所以属于R，但f( T) 又不是T的元，这和T的定义是矛盾的。

至于为什么对于R中任意两个元X、Y，要么X = Y，要么X是Y的切片或Y是X的切片，这是因为由良序集合的比较定理可得要么X和Y同构，要么X和Y的切片同构或Y和X的切片同构，不妨设X和Y同构，这时设同构映射为h: X→ Y，我们用超限归纳法证明h是恒等映射：首先X和Y的最小元都是x，所以命题对最小元成立。然后假设在切片X s上h是恒等映射，设h( X s) 是Y的t-切片，由于X和Y都满足条件 (*)，所以s= f( X s)，t = f ( h ( X s ) ) = f ( X s )，所以t = s，而h是同构所以必须把s映到t。（证毕）

Zorn引理的应用非常广泛，单在集合论里就做出强有力的结论。

定理。（Zermelo的良序定理）对于任意集合A都存在适当的顺序使得A成为良序集合。

证明。考虑所有这样的有序对 ( U, ≤ )：其中U是A的子集而≤ 是U 上的一个良序。对任意两个 ( U, ≤1)、( V, ≤2)，我们说 ( U, ≤1) 比 ( V, ≤2)“小”当且仅当U、V包括良序结构完全相等或者U是V的切片。这是一个归纳的偏序关系，所以有极大元 ( W, ≤ )。如果W不等于A，在A?W上任选一元a，在W∪ { a } 上定义顺序“W上保持已有顺序不变，a大于所有的元”这就做成了一个良序集合而且W是它的切片。这和W的极大性矛盾。（证毕）

推论。任意两个集合都是可比较的。这由良序集合的比较定理即得。

推论。对于任意集合A，都存在集合B，其浓度严格大于A，并且是所有浓度严格大于A的集合中浓度最小的。

证明。X:= ? ( A) 的浓度严格大于A，由Zermelo的良序定理可以把X 看成良序集合，X的子集 { x∈X | X x的浓度严格大于A } 如果非空就取其最小元b的切片X b、否则的话取集合X，就是满足条件的集合B。这是因为对于任意浓度严格比A大的集合C，由Zermelo的良序定理把它看成良序集合，再由良序集合的比较定理得要么B与C同构，要么B与C的切片同构或反之，而由B的定义，C与B的切片同构是不可能的。（证毕）

定理。对于任意无限集合A，都有A ~ A?A ~ A× A。

证明。对于无限集合A，由于?是最小的无限集合，因此可以在A中找出一个子集V1与?同等。如果A?V1仍然是无限的，又可以在里面找出一个子集V2与?同等，依此类推，最后总可以把A分成一些与?同等的部分和一个有限集合（这是直观论证，严密论证当然是用Zorn引理：考虑所有这样的有序对 ( U, ? )：其中U是A的子集，?是把U分成一些与?同等的部分的

一个分割。定义 ( U, ?1 ) 与 ( V, ?2 ) 的大小关系为，如果U在分割?1下的每一部分，要么正好是V在分割?2下的一部分，要么与V不相交。这时就说 ( V, ?2 ) 比 ( U, ?1 ) 小。确认这是归纳的偏序关系，并且其极大元正是把A分成了一些与?同等的部分和一个有限集合），把有限集合“吸收”到某个与?同等的部分里，于是A就被分成了一些与?同等的部分的非交和。由于? ~ ???，所以A ~ A?A。

要证明A ~ A× A，考虑所有这样的有序对 ( U, f )：其中U是A的子集，f是一个把U× U映到U上的一一映射。（这样的有序对存在，因为A是无限的所以包含?，而? ~ ?×?）我们说 ( U, f) 比 ( V, g) 小，如果V 包含U并且在U× U上f与g相同。这是一个偏序，它是归纳的因为如果{ ( U i, f i ) } 是良序子集，我们就可以定义从( ∪ U i) × ( ∪ U i ) 到∪ U i的一一映射。根据Zorn引理，存在一个极大元 ( W, h)，这时如果A?W的浓度大于W，就可以找到一个W’?A?W与W浓度相同。我们有 ( W’× W) ? ( W× W’) ? ( W’× W’) ~ W’?W’~ W’，而由于 ( W’?W) × ( W’?W) = ( W× W) ? ( W’× W) ? ( W× W’) ? ( W’× W’)，所以我们可以定义这样一个有序对 ( W’?W, h’)：h’把W× W像h一样地映到W，而把 ( W’× W ) ? ( W× W’ ) ? ( W’× W’ ) 一一对应到W’。这样就定义了一个从 ( W’?W) × ( W’?W ) 到W’?W的一一对应，并且这样的 ( W’?W, h’) 显然是大于 ( W, h) 的。这与 ( W, h) 的极大性矛盾，所以A?W的浓度小于W，于是W≤ A≤ W?W~ W，即A与W的浓度相同。（证毕）