九年级数学下册教案全册

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第二十六章 反比例函数

26.1 反比例函数

26.1.1 反比例函数

1.理解反比例函数的概念;(难点)

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式;(重点) 3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.(重点)

一、情境导入

1.京广高铁全程为2298km ,某次列车的平均速度v (单位:km/h)与此次列车的全程运行时间t (单位:h)有什么样的等量关系?

2.冷冻一个物体,使它的温度从20℃下降到零下100℃,每分钟平均变化的温度T (单位:℃)与冷冻时间t (单位:min)有什么样的等量关系?

问题:这些关系式有什么共同点? 二、合作探究

探究点一:反比例函数的定义 【类型一】 反比例函数的识别

下列函数中:①y =

32x ;②3xy =1;③y =1-2x ;④y =x

2

.反比例函数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 解析:①y =

32x 是反比例函数,正确;②3xy =1可化为y =1

3x

,是反比例函数,正确;③y =1-2x 是反比例函数,正确;④y =x

2

是正比例函数,错误.故选C.

方法总结:判断一个函数是否是反比例函数,首先要看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的定义去判断,其形式为y =k

x (k 为常数,k ≠0),y =kx -1(k 为常数,k ≠

0)或xy =k (k 为常数,k ≠0).

变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 根据反比例函数的定义确定字母的值

已知函数y =(2m 2+m -1)x 2m 2+3m -3是反比例函数,求m 的值.

解析:由反比例函数的定义可得 2m 2+3m -3=-1,2m 2+m -1≠0,然后求解即可.

解:∵y =(2m 2

+m -1)x 2m 2

+3m -3是反比例函数,∴⎩

⎪⎨⎪⎧2m 2+3m -3=-1,

2m 2+m -1≠0,解得m =-

2.

方法总结:反比例函数也可以写成y =kx -1(k ≠0)的形式,注意x 的次数为-1,系数不等于0.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

探究点二:用待定系数法确定反比例函数解析式 【类型一】 确定反比例函数解析式

已知变量y 与x 成反比例,且当x =2时,y =-6.求: (1)y 与x 之间的函数解析式; (2)当y =2时,x 的值.

解析:(1)由题意中变量y 与x 成反比例,设出函数的解析式,利用待定系数法进行求解.(2)代入求得的函数解析式,解得x 的值即可.

解:(1)∵变量y 与x 成反比例,∴设y =k

x (k ≠0),∵当x =2时,y =-6,∴k =2×(-

6)=-12,∴y 与x 之间的函数解析式是y =-12

x

(2)当y =2时,y =-12

x

=2,解得x =-6.

方法总结:用待定系数法求反比例函数解析式时要注意:①设出含有待定系数的反比例函数解析式,形如y =k x (k 为常数,k ≠0);②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,

得到关于待定系数的方程;③解方程,求出待定系数;④写出解析式.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 解决与正比例函数和反比例函数有关的问题

已知y =y 1+y 2,y 1与(x -1)成正比例,y 2与(x +1)成反比例,当x =0时,y =-3;

当x =1时,y =-1.求:

(1)y 关于x 的关系式;

(2)当x =-1

2

时,y 的值.

解析:根据正比例函数和反比例函数的定义得到y 1,y 2的关系式,进而得到y 的关系式,把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数,也就求得了所要求的关系式.

解:(1)∵y 1与(x -1)成正比例,y 2与(x +1)成反比例,∴设y 1=k 1(x -1)(k 1≠0),y 2=

k 2

x +1(k 2≠0),∵y =y 1+y 2,∴y =k 1(x -1)+k 2

x +1.当x =0时,y =-3;当x =1时,y =-1,∴

⎩⎪⎨⎪⎧-3=-k 1+k 2,-1=12k 2,

∴k 1=1,k 2=-2,∴y =x -1-2x +1; (2)把x =-12代入(1)中函数关系式得y =-11

2

.

方法总结:能根据题意设出y 1,y 2的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

探究点三:建立反比例函数模型及其相关问题

写出下列问题中两个变量之间的函数表达式,并判断其是否为反比例函数. (1)底边为3cm 的三角形的面积y cm 2随底边上的高x cm 的变化而变化;

(2)一艘轮船从相距s km 的甲地驶往乙地,轮船的速度v km/h 与航行时间t h 的关系; (3)在检修100m 长的管道时,每天能完成10m ,剩下的未检修的管道长y m 随检修天数x 的变化而变化.

解析:根据题意先对每一问题列出函数关系式,再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数.

解:(1)两个变量之间的函数表达式为:y =3

2x ,不是反比例函数;

(2)两个变量之间的函数表达式为:v =s

t

,是反比例函数;

(3)两个变量之间的函数表达式为:y =100-10x ,不是反比例函数.

方法总结:解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系,列出函数解析式,然后根据解析式的特点判断是什么函数.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 三、板书设计

1.反比例函数的定义:

形如y =k

x (k 为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数.其中x 是自变量,自变量x 的取值

范围是不等于0的一切实数.

2.反比例函数的形式:

(1)y =k

x (k 为常数,k ≠0);

(2)xy =k (k 为常数,k ≠0);

(3)y =kx -

1(k 为常数,k ≠0).

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