控制系统的误差分析和计算

lim
s0
s1 1 G(s)
Xi (s)
这就是求取输入引起的单位反馈系统稳态误差的方法.需要注意 的是,终值定理只有对有终值的变量有意义.如果系统本身不稳定, 用终值定理求出的值是虚假的.故在求取系统稳态误差之前,通常 应首先判断系统的稳定性.
➢ 非单位反馈控制系统
输入引起的系统的偏差传递函数为:
(
s)
H
(
s)
1
G1
G2 s s G2 s
H
s
N
s
干扰引起的偏差为:
s
1
G2(s)H s G2 (s)G1sH
s
N
s
根据终值定理,干扰引起稳态偏差为:
ss
lim t
t
lim
s0
s s
则干扰引起稳态误差为:
ess
ss
H 0
例6-3 系统结构图如图6-8所示,当输入信号xi(t)=1(t),干扰N(t)=1(t)时,求系 统总的稳态误差ess.
输入信号和反馈信号比较后的信号ε(t)也能反映系统误差的大小,
称之为偏差.应该指出,系统的误差信号e(t)与偏差信号ε(t),在
一般情况下并不相同(见图6-1).
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 E(s) sXi s X o s
s0
1 s2
1 K
，
其中
K
lim sG(s)H (s) s0
,定义为系统静态
速度误差系数。 对于0型系统：
K
lim s s0
K (1s 1)( 2s 1) ( ms 1)
(T1s 1)(T2s 1) (Tns 1)
0
对于Ⅰ型系统：
ss
K
1 K
lim s0
s K (1s 1)( 2s 1)
1 1 G(s)H (s)
Xi (s)
一般情况下,H为常值,故这时:
ess
ss
H
例6-1 某反馈控制系统如图6-4,当xi(t)=1(t)时,求稳态误
解:该系统为一阶惯性系统,系统稳定.误差传递函数为:
Es 1 1 s
Xi (s) 1 G(s) 1 10 s 10 s
而
1 Xi (s) s
例6-2 设有二阶振荡系统,其方块图如图6-6所示.试求系统在单位阶跃,单位恒 速和单位恒加速输入时的静态误差.
解:该系统为二阶振荡系统,系统稳定. 由于是单位反馈系统,偏差即是误差.另外,该系统为I型系统,
n
G(s)
ss
n2 2n
s
2
1
2 n
s
1
单位阶跃: ess 0
单位斜坡:
ess
1 Kv
ss
lim
s0
s 1
TM s 1 K1K 2 K c（1
K3
NR ）CM s
0
TM s 1
s
- K2Kc
ss
lim
s0
s
1
TM s 1 K1K 2 K c（1
K3
NR ）CM s
0
TM s 1
s
因而稳态误差ｅss＝０. 从物理意义上看，在扰动作用点与偏差信号之间加上积分环节就等于加入静 态放大倍数为无穷大的环节，因此静态误差为０.
此外,控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区 等非线性因素,都会造成附加的稳态误差.这类由于非线性因素所 引起的系统稳态误差称为结构性稳态误差.
本章只讨论原理性稳态误差,不讨论结构性稳态误差.
误差定义为控制系统希望的输出量与实际的输出量之差,记做e(t), 误差信号的稳态分量被称为稳态误差,或称为静态误差,记作ess.
6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数与稳态误差
➢单位反馈控制系统
输入引起的系统的误差传递函数为
E(s) 1 Xi (s) 1 G(s)
则
E(s)
1
1 G(s)
Xi (s)
X is
E(s)
G (s)
X o s
图6-2 单位反馈系统
根据终值定理
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
sE ( s)
lim
s0
K(1s 1)( 2s 1)
s (T1s 1)(T2s 1)
( m s
(Tn s
1) 1)
ss 0
,定义为系
(2) 静态速度误差系数Kv
当系统的输入为单位斜坡信号时r(t)=t·1(t)R，(s即)
则有
ss
lim
s0
s
1
1 G(s)
H
(s)
1 s2
lim
1 sG(s)H (s)
lim
s0
s 1
1 G(s)H (s)
1 s
1
1 G(0)H (0)
其中，K p
lim
s0
G(s)H s
G(0)H 0
对于0型系统
Kp
lim
s0
K(1s 1)( 2s 1) ( ms 1)
(T1s 1)(T2s 1) (Tn s 1)
K
ss
1 1 Kp
1 1 K
对于Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系统
Kp
1 K
2 n
单位加速度: ess
上述结论是在阶跃、斜坡等典型输入信号作用下得到的,但它有普遍的实用意义. 这是因为控制系统输入信号的变化往往是比较缓慢的,可把输入信号在时间t=0附 近展开成泰勒级数,这样,可把控制信号看成几个典型信号之和,系统的稳态误差可 看成是上述典型信号分别作用下的误差总和.
解:第一步要判别稳定性.由于是一阶系统,所以只要参数K1,K2大于零,系统就稳定.
第二步,求E(s).因为是单位反馈,稳态误差和稳态偏差相等.先求输入引起的稳态误
差
ess1
lim s 1 s0 1 K1
K2 s
10 s
再求干扰引起的稳态误差 ess2
- K2
lim s s
s0
1
K1
K2 s
1 s
设G1(s)=1,系统是一阶的,因此稳定.图6-9中,R是电动机电枢电阻,CM为力 矩系数,N是扰动力矩,干扰作用为一个常值阶跃干扰,故稳态偏差为
- K2Kc
ss
lim
s0
s TM s 1 1 K1K2Kc
NR K2Kc CM s 1 K1K2Kc
NR CM
TM s 1
则稳态误差为
ess
ss
(6-1)
而 (6-2)
(s) Xi s Y s
偏差信号的象函数是
考虑Xi(s)与Y(s)近似相s等 ,XX且oIIsYs(s)XY=oHs(ss)XHo1(ss),得
Es
1
H s
Xi s
X o s
(6-3)
1
H s
s
1
H s
Xi
s
X o s
及 (6-4)
Es
s H s
对于实际使用的控制系统来说,H(s)往往是一个常数,因此通常误 差信号与偏差信号之间存在简单的比例关系,求出稳态偏差就得 到稳态误差.对于单位反馈系统H(s)=1来说,偏差信号与误差信号 相同,可直接用偏差信号表示系统的误差信号.这样,为了求稳态 误差,求出稳态偏差即可.
xt xna x an
n0 n!
例:系统结构如图所示,求当输入信号r(t)=2t+t2时,系统稳态误差ess.
解:首先判别系统的稳定性.由开环传递函数知,闭环特征方程为
D(s) 0.1s3 s2 20s 20 0
根据劳斯判据知闭环系统稳定.
第二步,求稳态误差ess. 因为系统为Ⅱ型系统,根据线性系统的奇次性和叠加性,有
机电控制系统中元件的不完善,如静摩擦、间隙以及放大器的零 点漂移、元件老化或变质都会造成误差.本章侧重说明另一类误 差,即由于系统不能很好跟踪输入信号,或者由于扰动作用而引起 的稳态误差,即系统原理性误差.
对于一个实际的控制系统,由于系统的结构、输入作用的类 型(给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或抛物线)不 同,控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或 相当,也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平 衡位置.这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态 误差称为原理性稳态误差.
匀加速度输入时所引起的输出位置上的误差.
(2)表6-1概括了0型、I型和II型系统在各种输入量作用下的稳态
偏差.在对角线上,稳态偏差为无穷大;在对角线下,则稳态偏差为
零.
(3)静态误差系数Kp,Kv,Ka分别是0型、I型、II型系统的开环静态 放大倍数,而v=0,1,2则表示系统中积分环节的数目.
(4)对于单位反馈控制系统,稳态误差等于稳态偏差.
Kc
K2
1 K1K2Kc
NR CM
当Ｋ１Ｋ２ＫＣ＞＞１时，
ess
1 K1Kc
NR CM
可见，反馈系数越大，则误差越小；干扰量越小，则误差越小；扰动作用点
与偏差信号间的放大倍数越大，则误差越小．
为了进一步减少误差，可G1让s
例加积分控制.
1
K3 s
,称为比
选择Ｋ３，使系统具有一定的稳- 定K裕2K量c ，同时，其稳态偏差为
s(T1s 1)(T2s 1)
( ms 1)
(Tns 1)
K
对于Ⅱ型或Ⅱ型 以上系统：
ss K
1
K lim
s0
s
1
K
K (1s 1)( 2s 1)
s (T1s 1)(T2s 1)
( ms
(Tn s
1) 1)
ss 0
(3)静态加速度误差系数Ka
当系统输入为单位加速度信号时，即 r(t) 1 t 2 1(t), R(s) 1
1 1 Ka K
；
对于Ⅲ型或Ⅲ型以上系统，Ka=∞， ε ss=0 。
所以,0型和Ⅰ型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具有单位反 馈的Ⅱ型系统在稳定状态下是能跟踪加速度输入信号的.但带有一定的位置 误差.高于Ⅱ型系统由于稳定性差, 故不实用.
小结
(1)位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、
第六章 控制系统的误差分析 和计算
6.1 稳态误差的基本概念 6.2 输入引起的稳态误差 6.3 干扰引起的稳态误差 6.4 减少系统误差的途径 6.5 动态误差系数
6.1 稳态误差的基本概念
对一个控制系统的要求是稳定、准确、快速.误差问题即是 控制系统的准确度问题.过渡过程完成后的误差称为系统稳态误差, 稳态误差是系统在过渡过程完成后控制准确度的一种度量.
1 K1
所以,总误差为
ess
ess1
ess2
0-
1 K1
1 K1
例6-4 某直流伺服电动机调速系统如图6-9所示,试求扰动力矩N(s)引起的稳态 误差.
解:首先应选择合适的G1(s)使系统稳定.Kc是测速负反馈系数,这是一个非单位反 馈的控制系统,先求扰动作用下的稳态偏差,再求稳态误差ess.
则系统稳态偏差为
2
s3
ss
lim s0
s
1
1 G(s)H
(s)
1 s3
1 lim s2G(s)H (s)
s0
1 Ka
其态中加，速度K误a 差lsi系m0数s2。G(s)H (s)
对于0型系统，Ka=0，εss=∞；
,定义为系统静
对于Ⅰ型系统，Ka=0， ε ss=∞；
对于Ⅱ型系统，Ka=K， ε ss=
一般而言，如果反馈控制系统对前向通道的扰动是一个阶跃函数，则只要保证 系统稳定，并且在扰动作用点前有一个积分器，就可以消除阶跃扰动引起的稳 态误差．图６-１０所示为稳定系统，Ｇ１（ｓ）和Ｈ（ｓ）中不包含纯微分 环节，根据题意可表达为
nt a
1
1 s
G2 s G1sG2 sH
(5)对于非单位反馈控制系统,先求出稳态偏差εss后,再按下式求
出稳态误差
ess
ss
H 0
系统 类型
0型系统
Ⅰ型系统
Ⅱ型系统
表6-1 各种类型的稳态偏差
单位 阶跃
1 1 Kp
0
单位 斜坡
∞
1 Kv
0
0
单位 加速度
∞
∞ 1 Ka
综上所述,0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入.在系统稳定的前提 下,具有单位反馈的I型系统能跟踪斜坡输入,但具有一定的误差. 这个稳态偏差εss反比于系统开环静态放大倍数.在系统稳定的前 提下,II型或高于II型的系统其稳态偏差为零,因而能准确地跟踪 斜坡输入.类似地,0型和I型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度 输入信号.具有单位反馈的II型系统在稳定状态下是能够跟踪加 速度输入信号的.但有一定的位置误差.
s
s
sG2 s G1sG2 sH
s
ess
s Xi (s) Y (s)
1
1 G(s)H
(s)
Xi
(s)
X is
(s)
Y (s)
G (s)
H (s)
X o s
图6-3 非单位反馈系统
根据终值定理 稳态偏差
ss
lim (t)
t
lim
s0
s (s)
lim
s0
s 1
1 G(s)H (s)
Xi (s)
稳态误差
ess
lim
s0
s
1 H (s)
则
ess
lim
s0
s
s
s 10
Xi (s)
lim
s0
s
s
s 10
1 s
0
6.2.2 静态误差系数
系统的类型 设其开环传递函数为:
当 2时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外，
Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。
(1)静态位置误差系数Kp
当系统的输入为单位阶跃信号r(t)=1(t)时,
ss
r1(t) 2t时，
ess1 0
r2 (t) t 2时，Ka 20
ess2
2 Ka
0.1
故系统的稳态误差
6.3 干扰引起的稳态误差
(s) Xi (s) Y(s) 0 X0(s)H(s) X0(s)H(s)
X o s N s
1
G1
G2 s s G2 s
H
s
所以干扰引起的稳态偏差为: