第二章 结构的几何组成分析

第2章结构的几何组成分析
1. 教学内容
一个体系要能承受荷载，首先它的几何构造应当合理，能够使几何形状和位置保持不变。

因此，在进行结构受力分析之前，先进行几何构造分析。

在几何构造分析中，最基本的规律是三角形规律。

规律本身是简单浅显的，但规律的运用则变化无穷。

因此，学习本章时遇到的困难不在于学懂，而在于灵活运用。

本章在全书中只是一个短小的前奏，只是从几何构造的角度讨论建筑力学中的一个侧面，根本不涉及到内力和应变。

但是构造分析与内力分析之间又是密切相关的，本章内容将在后面许多章节中得到应用。

2. 教学目的
理解自由度、可变体系与不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念；
正确理解三角形规律，并能熟练应用三角形规律分析平面体系的几何构造；
掌握计算自由度的计算方法，能计算一般平面体系的自由度。

3. 重难点
重点：理解自由度、可变体系与不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念，应用三角形规律分析平面体系的几何构造
难点: 熟练应用三角形规律分析平面体系的几何构造
3. 本章目录
第一节、基本概念（包括：几何不变体系和几何可变体系、几何组成分析中的几个概念、自由度）
第二节、平面几何不变体系的组成规律
第三节、平面体系几何组成分析举例
第四节、结构的几何组成和静定性的关系
第五部分、作业
4. 参考章节
《建筑力学》，第十章、结构的几何构造分析，pp.145-153。

第一节、基本概念
1. 教学要求
理解自由度、几何可变体系与几何不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念。

2. 本节目录
∙1. 几何不变体系和几何可变体系
∙2. 运动自由度 S
∙3. 约束
∙4. 多余约束和非多余约束
∙5. 瞬变体系
∙6. 瞬铰和无穷远处的瞬铰
∙7. 思考与讨论
3. 参考章节
《建筑力学》，pp.11-14。

2.1.1 几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系：体系的位置和形状是不能改变的(图2-1b)。

几何可变体系：体系的位置或形状是可以改变的(图2-1a)。

以上讨论的前提：不考虑材料的应变。

图2-1a 图2-1b
一般结构都必须是几何不变体系，而不能采用几何可变体系
2.1.2 运动自由度S
S：体系运动时可以独立改变的坐标的数目。

图2-2a图2-2b (平面内一个点有两个自由度)(平面内一个刚体有三个自由度) 2.1.3 约束
减少体系自由度的装置。

2.1.4 多余约束和非多余约束
不能减少体系自由度的约束叫多余约束。

能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。

注意：多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。

图2-4a
图2-4b
链杆1或2能减少点 A 的两个自由度，因此链杆1和2都是非多余约束。

链杆1、2和3共减少点 A 的两个自由度，因此三根
链杆中只有两根是非多余约束，有一个是多余约束。

一个体系中有多个约束时，应当分清多余约束和非多余约束，只有非多余约束才对体系的自由度有影响。

约束可分为单约束和复约束
在几何构造分析时要将复约束简化为几个单约束。

图2-3a 图2-3b 图2-3c S 由3个减少到2个 S 由6个减少到4个 S 由6个减少到3个 一个支杆相当于一个约束
一个简单铰相当于两个约束
一个简单刚结相当于三个约束
图3-3a
图3-3b
(图中复铰相当两个单铰)
m = 2 , h = 1 m = 3 , h = 2
S = 3 × 2 - 2 × 1 = 4S = 3 × 3 - 2 × 2 = 5
图3-4a
图3-4b
(图中复刚结相当两个单刚结)
m = 2 , g = 1m = 3 , g = 2 S = 3 × 2 - 3 × 1 = 3S = 3 × 3 - 2 × 3 = 3
一般说来，联结n 个刚片的复铰(复刚结)相当于(n-1)个单铰(单刚结)。

图3-5a
图3-5b
(图中复链杆相当三个单链杆)
j = 2 , b = 1j = 3 , b = 3
S = 2× 2 - 1 = 3S = 2 × 3 - 3 = 3又，联结n 个结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。

2.1.5 瞬变体系
图2-5a图2-5b
分析:
(1)当链杆1和2共线时，圆弧Ⅰ和Ⅱ在 A 点相切(图2-5a)，因此 A 点可沿公切线方向做微小运动，体系是可变体系。

(2)当A 点沿公切线发生微小位移后，链杆1和2不再共线(图2-5b)，因此体系不再是可变体系。

本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变的体系称为瞬变体系。

可以发生大位移的几何可变体系称为常变体系。

可变体系可进一步分为瞬变体系和常变体系。

(3)点A在平面内有两个自由度，增加两根共线链杆后，A 点仍有一个自由度，因此链杆1和2中有一个是多余约束。

一般说来，瞬变体系中必然存在多余约束。

2.1.6 瞬铰和无穷远处的瞬铰
两刚片间以两链杆相连，其两链杆约束相当(等效)于两链杆交点处一简单铰的约束，这个铰称为瞬铰或虚铰(如图2-6a)。

图2-6a 图2-6b 图2-6c
图2-6a中，链杆1和2交于O 点，刚片I可以发生以O 为中心的微小转动。

图2-6b和图2-6c中，链杆1和2的交点在无穷远处，因此两根链杆所起作用的相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用，绕瞬铰的转动转化为沿两根链杆的正交方向上的平动。

在图2-6a、b、c各体系的相对运动过程中，瞬铰位置不断变化。

在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时，可以采用射影几何中关于∞点和∞线的下列四点结论：
(1) 每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。

(2) 不同方向上有不同的∞点。

(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。

(4) 各有限远点都不在∞线上。

2.1.7 思考与讨论
1.有的文献把几何可变体系称为几何不稳体系，把几何不变体系称为几何稳定体系。

材料力学中把压杆屈曲问题称为弹性稳定性问题。

试对几何稳定性和弹性稳定性这几个不同概念加以比较。

2.“多余约束”从以下哪个角度来看才是多余的？
(a) 从对体系的自由度是否有影响的角度看；
(b) 从对体系的计算自由度是否有影响的角度来看；
(c) 从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度来看；
(d) 从区分静定和超静定两类问题的角度来看。

第二节、几何不变体系的组成规律
1. 教学要求
熟练掌握几何不变体系的三条基本组成规律。

2. 本节目录
1. 二元体法则
2. 两刚片法则
3. 三刚片法则
3. 参考章节
《建筑力学》,pp. 14-16。

2.3.1 二元体法则
一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。

图4-1分析：
约束对象：结点 C 与刚片I
约束条件：不共线的两链杆；
结论：几何不变且无多余约束。

图4-1
图4-2分析：
两链杆共线，
C 点可垂直于AB做微小移动；
结论：瞬变体系。

图4-2
2.3.2 两刚片法则
1. 两刚片用一铰及不过该铰的一链杆相连组成几何不变体系且无多余约束。

图4-3图4-4 瞬变体系
C 可垂直于BC 做微小运动
(等效于图4-4)
图4-5 瞬变体系(之二)
2. 两刚片用不共点的三链杆相连，组成内部几何不变整体且无多余约束
图4-6
特殊情况：
三链杆共点三链杆平行等长三链杆平行不等长
图4-7 瞬变体系图4-8 常变体系图4-9 瞬变体系
2.3.3 三刚片法则
三刚片用不共线的三铰两两相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。

图4-10图4-11 三铰共线瞬变体系上述三条规律虽然表述不同，但本质相同，即三角形规律：
若三个铰不共线，则铰结三角形内部几何不变且无多余约束。

第四节、平面体系几何组成分析举例
1. 教学要求
熟练掌握几何构造分析的各种方法。

2. 本节目录
1. 基本分析方法(1)
∙2. 基本分析方法(2)
∙3. 约束等效代换
∙4. 考虑体系与地基关系的方法
∙5. 复杂体系(1)
∙6. 复杂体系(2)
∙7. 复杂体系(3)
∙8. 思考与讨论
3. 参考章节
1.《建筑力学》，p.16-17。

2. §2-3 几何不变体系的组成规律
2.4.1 基本分析方法(1)
一. 先找第一个不变单元，逐步组装
1. 先从地基开始逐步组装
例1图5-1a，图5-1b
图5-1a图5-1b 2. 先从内部开始，组成几个大刚片后，总组装
例2图5-2a，图5-2b
图5-2a图5-2b
2.4.2 基本分析方法(2)
二. 去除二元体
例3图5-3a，图5-3b
图5-3a图5-3b
2.4.3 约束等效代换
1. 曲(折)链杆等效为直链杆
2. 联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰
例3
分析:
1.折链杆AC 与DB 用直杆2、3代替；
2.刚片ECD 通过支杆1与地基相连。

结论：若杆1、2、3交于一点，则
整个体系几何瞬变有多余约束；
若杆1、2、3不交于一点，则
整个体系几何不变无多余约束。

图5-4a
例4
分析:
1.刚片Ⅰ、Ⅱ、地基Ⅲ由铰A 与瞬铰B、C 相连。

2.A、B、C 不共线。

结论：整个体系几何不变无多余约束。

图5-4b
2.4.4 考虑体系与地基关系的方法
1. 体系与地基以不共点的三支杆相连时，可以先分析体系内部再与地基一起分析。

图5-5a
2. 体系与地基连接多于3支杆则应与地基一起分析。

具体分析方法见例3。

图5-5b
2.4.5 复杂体系(1)
1. 通常要运用瞬铰并使对象拉开距离
分析：
1.体系W = 0 。

2.刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。

3.刚片Ⅰ、Ⅲ由1、2杆连于瞬铰A。

4.刚片Ⅱ、Ⅲ由3、4杆连于瞬铰B。

5.刚片Ⅰ、Ⅱ由5、6杆连于铰C。

结论：体系几何不变,无多余约束。

图5-6
“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用实铰。

下面两种做法均未能使刚片拉开距离，也就没能允分利用链杆，而是以实铰连接，不能正确分析此题。

实铰A、C
Ⅰ、Ⅱ及Ⅰ、Ⅲ均未拉开距离
实铰A、C
Ⅰ、Ⅲ未拉开距离
图5-6b图5-6c
例6
分析：
1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰A)相连；
2.刚片Ⅱ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰B)相连；
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆5、6(瞬铰C,无穷远)相连。

结论: A、B、C 三瞬铰不共线,体系几何不变无多余约束。

图5-7
2.4.6 复杂体系(2)
2. 三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处。

若此两瞬铰在不同方向，则体系几何不变, 反之几何可变。

图5-7a图5-7b
例7
分析：
1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰B)相连。

2.刚片Ⅱ、Ⅲ由铰A相连。

3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰C)相连。

4.内部几何不变组成大刚片再与地基相连。

结论:几何不变无多余约束。

图5-8 Array例8
分析：
1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰A)相连。

2.刚片Ⅱ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰B)相连。

3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆5、6(瞬铰C)相连。

4.刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成大刚片，再与地基相连。

结论:几何不变无多余约束。

图5-9
2.4.7 复杂体系(3)
3. 三刚片由三铰两两相连,其中两瞬铰在无穷远处，若此两瞬铰在不同方向，则几何不变。

图5-10 几何不变
4. 三刚片由三瞬铰两两相连,若三瞬铰均在无穷远处,则体系几何可变。

例9
无穷远处所有点均在一无穷远直线上
曲率k = 1/R
R—> ∞
k—> 0直线
图5-11a 几何可变(瞬变)
图5-11b 几何可变(常变)图5-11c 几何可变(瞬变)
注意：以上所有W = 0且几何可变(瞬变或常变)的体系均存在多余约束。

2.4.8 思考与讨论
(1)分析平面体系的几何构造时，运用基本构造单元按照搭积木和拆积木的方式是两种相逆的方法，很多体系可以用这两种方法进行分析，参考图5-1a、图5-1b和图5-3a、图5-3b。

(2)在几何构造分析中可以进行哪些等效变换，如何保证变换的等效性？
第四节、结构的几何组成和静定性的关系
静定结构：无多余约束的不可变体系。

超静定结构：有多余约束的静定结构。

第五部分、作业
P10-4（a）、（b）、（c）
P10-5（a）、（b）、（c）（d）
P10-6（a）、（b）、（c）（d）
P2-7（a）、（b）、（c）
P10-8。