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五种插值法的对比研究

1. 选题依据

1.1 选题背景

插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时，

我国刘 焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时， Newton 和 Gregory(

格雷

格里 ) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时， Lagrange( 拉格朗日 )

给出了更一

般的非等距节点插值公式。

而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应

用也日益增多， 特别是在计算机工程中。 许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。

1.2 研究的目的和意义

插值法是数值分析中最基本的方法之一。

在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有

的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时， 要查的数据在表中

找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值， 按一定关系把相邻的数加以修

正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。 在实际应用中选用不同类型

的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即 Lagrange 插值、 Newton 插值、分段线性插值、分段三次

Hermite 插值、样条插值函数。所

以通过从这五种插值法的基本思想、

特征、 性质和具体实例入手， 探讨五种插值法的优缺点

和适用范围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。

2. 研究的方法

从具体实例入手并结合 Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。

3. 论文结构

3.1 论文的总体结构

第一部分 导言

主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。

第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点

在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。

插值问题的提法是：已知

f(x)( 可能未知或非常复杂函数

) 在彼此不同的 n+1 个实点

x

0 , x 1

,

x

n

处的函数值是

f(

x 0

) ， f(

x 1

) ， ,f(

x n

) ，这时我们简单的说 f(x)

有 n+1 个

离散数据对

{(x i

, y i

)}

n i 0

. 要估算

f(x)

在其它点 x 处的函数值，最常见的一种办法就是插

值，即寻找一个相对简单的函数 y(x) ，使其满足下列插值条件： y( x

i )=f(

x

i ) ，i=0,1, ,n. ，并以 y(x)

作为 f(x) 的近似值 . 其中 y(x) 称为插值函数， f(x) 称为被插函数。

多项式插值是最常见的一种函数插值. 在一般插值问题中，由插值条件可以唯一确定一

个次数不超过 n 的插值多项式满足上述条件 . 从几何上看可以理解为：已知平面上 n+1 个不同点，要寻找一条次数不超过 n 的多项式曲线通过这些点 . 插值多项式一般有两种常见的表

达形式，一个是拉格朗日（ Lagrange ）插值多项式，另一个是牛顿（Newton）插值多项式 . 且Lagrange 插值公式恒等于 Newton 插值公式 .

分段线性插值与样条插值可以避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来

逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差. 为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法———三次样条插值成为比较理想的工具.

（1）拉格朗日插值

Lagrange 插值是 n 次多项式插值，其成功地利用构造插值基函数的方法解决了求n 次

多项式插值函数问题。对 Lagrange n 次插值多项式，首先构造 n+1 个插值点x

x

1 ,...., x n

（ x x0 )...( x x i 1)( x x i 1 )...( x x n )

上的n次插值基函数l

i

(x)(x

i x0 )...( x i x i 1 )( x i x i 1)...( x i x n ) ， (i 0,1,2..., n)

有了这 n+1 个 n 次插值基函数， n 次 Lagrange 插值多项式就容易写出来了，具体表达式为

n

Ln( x) f ( x i )l i (x)

i 0

。

表 1 插值数值表

...

x i x0x1x2x n

f ( x i ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ...

f ( x n )

Lagrange插值的方法是：对给定的n 个插值节点 , x0 x1 ,...., x n 及对应的函数值

y 0 , y

1

, y

2

,......, y

n ，利用n次Lagrange插值多项式，则对插值区间任意的x 的函数值 y 可

以通过下式 Ln（ x）来求解。

n

Ln( x)

f ( x i )l i ( x)

表（ 1）中的 n 次 Lagrange 插值多项式 Ln （ x ）的数学公式为：

i 0

。

n x x j

l i (x)

l i ( x)

x i x j

其中， （ i=0,1,2,3...,n

）是插值基函数，且

j 0

。

f (x) L n ( x)

1

1)! f ( n 1) ( ) ( x)

Lagrange 插 值 多 项 式 的 余 项 为 R(x)=

(n , 其 中

( x) ( x x 0 )( x x 1 )(x x n ) 。

（2）牛顿插值

Newton 插值也是 n 次多项式插值， 它提出另一种构造插值多项式的方法， 与 Lagrange 插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。

Newton 插值的方法：由表（ 1）构造的牛顿插值多项式为

N ( x) f ( x 0 ) ( x x 0 ) f [ x 0 , x 1 ]

( x x 0 )( x x 1) f [ x 0 , x 1 , x 2 ] ... (x

x 0 )...( x

x n 1 ) f [ x 0 , x 1 ,..., x n ]

用它插值时， 首先要计算各阶差商， 而各阶差商的计算可归结为一阶差商的逐次计算， 一般

的

f ( x 0 , x 1 f ( x 0 , x 2 ,..., x k 2 , x k ) f (x 0 , x 1 ,..., x k 1 )

,..., x n )

x k x k 1

其余项为： Rn(x)

f (x) N ( x)

f ( x 0 , x 1,..., x n ) 。

（3）分段线性插值

分段线性插值函数 , 记为 y(x),y(x)

具有下列性质 :

①y(x)

可以分段表示 , 在每个小区间

[ x i 1 , x i ]

上 ,

它是线性函数

` y i ( x) ;

② y i ( x) f (x i )

f i

,(i=0,1,2,3...,n

） .

③ 在整个区间 [a,b] 上 ,y(x) 连续 .

作分段线性插值的目的在于克服

Lagrange 插值方法可能发生的不收敛性缺点

. 所谓分

段线性插值就是利用每两个相邻插值基点作线性插值，即可得如下分段线性插值函数：

x x i 1