索洛模型

31
（三）参数变化的影响
索洛模型中，主要参数有：
n, g, , s
政策最有可能影响的是储蓄率
32
（三）参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）； 2.储蓄率增加的影响程度分析（定量）； 3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平。
分三个角度来观察：
1.旧的稳态点 2.新的稳态点 3.由旧稳态点到新稳态点的动态调整过程
•
（2）知识的增长： A(t) / A(t) [dA(t) / dt] / A(t) g
其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外 生参数，表示不变增长速度
12
（一）模型的基本假定
劳动和知识的进化，使得有效劳动数量在增 长，其增长率为：
d A(t)L(t) dt A(t)L(t) A(t)L(t) A(t) L(t) g n
储蓄率的变化有水平效应（Level Effect），但 没有增长效应（Growth Effect） ，在该模型 中只有技术进步率有增长效应。
37
2.储蓄率变化的影响程度分析
38
39
40
3. 储蓄率的变动——资本的黄金律水平
在稳态下，消费等于：
c* f k * n g k *
c* f k * n g
技术进步对经济增长的作用。
3
索洛模型
（一）模型的基本假定 （二）模型的动态学 （三）参数变化的影响 （四）收敛问题 （五）模型的主要结论
4
（一）模型的基本假定
1.关于生产函数的假定
Y t F K t , At Lt K t ：资本存量； At ：知识水平； Lt ：劳动力
产量取决于三个变量：资本、劳动、知识； A和L以相乘形式影响Y
即（n+g+）k(t)。
18
（二）模型的动态学
每单位有效劳动 平均投资
n g kt
sf k
k*
k
19
（二）模型的动态学
k的相图（三维空间在平面的投影）
•
k (t )
k
与上图联 系起来
k*
k
20
稳态
定义“稳态”：一种其中各种变量 都以不变速度增长的情况，即k&(t)=0。
当sf(k(t))f (n+g+ )k(t)时，k&(t)f 0（资本存量增加） 当sf(k(t))p (n+g+ )k(t)时，k&(t)p 0（资本存量减少） 当sf(k(t))＝(n+g+ )k(t)时，k&(t)＝0
29
变量
含义
平衡增长速度
备注证明
K
资本存量
n+g
k=K/AL
绝
L
劳动力
n
对
A
知识或技术
g
量
AL
有效劳动
n+g
总产出
F(cK,cAL)=cF(K,
Y
n+g
AL)
C
总消费
n+g
C=(1-s)Y
有效劳动的平均资
k(K/AL)
本
0
K/L
人均资本
g
相
有效劳动的人均产
y=f(k)=Y/AL
y(Y/AL)
出
0
对
k
而降低。
35
k 随时间变化的路径：
•
k 0 k
当储蓄率一次性提高，k的增 长速度在最开始达到最大，之 后开始减少，直至到新的稳态 处为0.
(g n)
s2 f (k) / k s1 f (k) / k
k1
k
2
k
36
储蓄率增加的影响方向分析
储蓄率的一个永久增加： 导致k在一定时期上升，保持在一个较高水平； ➢ 在短期内会改变Y、K的增长率，长期无影响； ➢ 造成Y/L增长率的暂时性增长；
lim f k 0
k
保证经济增长路径不发散
8
（一）模型的基本假定
f( k)
k 9
注释：新古典生产函数
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。 第三，稻田条件：
满足这三个条件的 生产函数被称为新 古典生产函数。
因此，索洛增长模 型又被称为新古典 增长模型。
lim
K 0
sf k ：单位有效劳动的平均投资
n g kt ：持平投资，使k保持现有水平所
必需的投资
17
经济解释
k&(t)=sf(k(t))-(n+g+ )k(t)
是索洛模型的基本微分方程， 它表明k&(t)是k的方程。 含义说明：人均实际投资sf(k(t)) 用于两个方面：一是“资本的深化”， 即k&(t)，二是“资本的广化”（持平投资），
A(t ) L(t )
A(t ) L(t )
A(t) L(t)
13
（一）模型的基本假定
3.资本的增长（投资）：
Kt sY t K t
s：储蓄率（外生）；
：折旧率（外生）。
14
索洛模型下的经济体特征：
经济社会只有生产和消费两个部门，资本K、劳动L 和知识A是生产的三大要素（其他要素都可以忽 略），经济在任何时刻都处于充分就业的均衡状态， 储蓄总是等于投资；
（实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*）
21
趋势定理 在索洛经济中，只要起始时刻的有效人均资
本k=k(0)，那么就有 lim k(t) k * t
22
（二）模型的动态学：平衡增长路径
k=k*时各变量的变动：
A, L按固定增长率增长； K(等于ALk)：以速率n g增长； Y：以速率n g增长；
23
（二）模型的动态学
k=k*时各变量比例的变动： Y / K：不变； Y / L：以速率g增长； K / L：以速率g增长。
24
证明
k的增长率：
k(t) K(t) L(t) A(t) K(t)
(n g)
k(t) K (t) L(t) A(t) K (t)
25
Y的增长率
规模报酬不变之假设。这一假设说明了总产出是按 照资本和有效劳动的边际生产力来分配的：
Y/L
人均产出
g
量
有效劳动的人均消
c=(1-s)f(k)
c(C/AL)
费
0
C/L
人均消费
g
K/Y
资本产出比
0
30
大道定理
在索洛经济中，存在惟一的一条稳态增长道路。 不论经济从哪种初始资本水平启动，经济总是 朝着这条稳态增长道路不断靠近。一旦在某个 时刻登上这条道路，那么从这个时刻开始，经 济中的有效人均资本水平、有效人均产出水平 和资本的边际收益都将永远保持不变，总产出、 总资本和有效劳动将以同样的增长率保持稳定 增长，人均产出将与技术进步（知识）以同样 的增长率保持稳定增长。
FK
lim
L0
FL
lim
K
FK
lim
L
FL
0
10
（一）模型的基本假定
2.关于投入品的假设
资本、劳动、知识的初始水平既定，劳动、 知识以不变速度（外生）增长：
Lt nLt
At gAt
则可得到：
Lt L0ent
At A0e gt
11
（一）模型的基本假定
投入品的指数增长： 假设时间t是连续的（非离散的） （1）劳动力的增长：L• (t) / L(t) [dL(t) / dt] / L(t) n
k *
c* f k * n g k * s, n, g,
s
s
41
3. 储蓄率的变动——资本的黄金律水平
k *(s, n, g, ) f 0，因此 c *的符号取决于
s
s
f '(k *(s, n, g, ))与(n g )的大小。
当k* k *gold ，f
'(k *(s, n, g, )) f
xt xt
52
2.储蓄率增加的影响程度分析
x(t) 的增长路径：
xt x0et
写成k的形式：
k t k * e 1K k* ng t k 0 k *
53
绝对收敛与相对收敛
(n g )，c * f
s
0
当k* f
k *gold ，f
'(k *(s, n, g, )) p
(n g )，c * p
s
0Biblioteka Baidu
42
3. 储蓄率的变动——资本的黄金律水平
c
储蓄率提高，消费减少（资
本高于黄金律水平）
t0
t
43
3. 储蓄率的变动——资本的黄金律水平
储蓄率降低，消费增加（资
c
49
结论
k s • f '(k) f (k) k/ k p 0 k
经济体低于稳态越多，将会增长越快；经济 体高于稳态越多，将会增长越慢。
50
收敛速度：定量分析
收敛速度：k以多快的速度趋近于k*。 k kk
在k k *处，对kk 作一阶泰勒级数近似：
k
kk
k
k k*
k
k
*
kk sf k * n g
经济增长理论之 索洛模型
1
预备知识：技术进步的类型
Y=F(K,AL)（哈罗德型，资本增进型） Y=F(AK,L)（索洛型，劳动增进型） Y=AF(K,L)（希克斯型，同等密集型）
2
新古典经济增长模型的提出 由美国经济学家R·Solow(索洛)和T·Swan(斯旺)
提出,即Solow- Swan Model Solow模型就是要通过改变资本-产量比来考虑
生产的规模报酬不变； 技术进步表现为劳动效率的提高，即技术进步属于
哈罗德型（劳动密集型）； 生产函数的集约形式满足新古典假设； 人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都
等于常数，人口和知识呈指数增长。
15
（二）模型的动态学
k 的动态变化
kt dk d K t AtLt
dt
dt
Kt At Lt
33
1.储蓄率变化的影响方向分析 snew
k ne w
y new
snew f (k )
(n g )k sold f (k )
k old
k ne w
k
34
k 变化的路径：
•
k 0 k
k
为实际投资
•
k 0 k
(g n ) 曲线上任一
点与原点连
sf (k) / k 接直线的斜
率，随k增加
人均产出增长率
d Y (t) Y(t) Y (t) L(t) (n g)Y (t) Y (t) n g Y (t)
dt L(t) L(t) L(t) L(t)
L(t)
L(t)
L(t)
人均产出（劳动生产率）以技术进步率g增长。 注意区分人均产出与人均有效劳动产出。
28
平衡增长路径
在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济 向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上， 每个变量的增长率都是常数，且是外生决定 的。特别是，在该路径上，人均产出的增长 率仅取决于技术进步率。
，
Y FK K FAL AL
其中 FK 是资本的边际生产力，FAL 是有效劳动的边 际生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率n g
在增长，所以：
K(t) (n g)K(t)
•
(AL)(t) (n g)A(t)L(t)
26
Y的增长率
从以上可推导：
总产出的增长率也是 n g
27
本高于黄金律水平）
t0
t
44
3. 储蓄率的变动——资本的黄金律水平
储蓄率提高，消费增加（资 本低于黄金律水平）
c
t0
t
45
3. 储蓄率变动——资本的黄金律水平
储蓄率降低，消费降低（资 本低于黄金律水平）
c
t0
t
46
3.最优储蓄率——资本的黄金律水平
y f (k)
E c1*
c2*
δk
cg
i=s2f(k)
K t
At Lt 2
AtLt
Lt At
Kt At Lt
K t At Lt
Lt Lt
K t At Lt
At At
sY t K t At Lt
ktn ktg
sf kt n g kt
16
（二）模型的动态学
索洛模型的核心公式：
kt sf kt n g kt
单位有效劳动的资本存量的变化等于两项之：
k k k*
n
g
k *
f k *
f
k *
n
g
K k * 1n g
51
收敛速度：定量分析
k
kk
k
k
k*
k
k
*
K k * 1n g k k *
1 K k * n g k k *
定义xt kt k *
1 K k * n g
公式可以表示为：
i=sgf(k)
i=s1f(k)
0
k1*
k
g
k2*
k
47
（四）收敛问题
收敛速度 绝对收敛与相对收敛
48
收敛速度
•
定义k的增长率 k/ k sf (k) / k (n g ) k •
当sf (k(t))>(n g )k(t)时，k(t)>0；
•
当sf (k(t))<(n g )k(t)时，k(t)<0；
y为单位有效劳动的平均产量； k为单位有效劳动的平均资本量。
其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL， 有效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL·f(k)
7
（一）模型的基本假定
进一步假设：
f k 0
f k 0
边际报酬递减
满足稻田(Inada)条件：
lim f k
k 0
5
（一）模型的基本假定
规模报酬不变
FcK,cL cFK, L c 0
这意味着：
a 经济规模足够大（专业化收益已被穷尽）； b 其他因素，如自然资源等不重要。
6
（一）模型的基本假定
根据规模报酬不变假设，可以将生产函数写成密集
形式： F K ,1 1 FK, AL
AL AL
y f k