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用同样的方法可建立GF(28)域中的256个元 素与8位二进制数之间的一一对应关系。
– 现仍以GF(23)域中运算为例：
加法例：α0＋α3 = 001＋011 = 010 = α1
减法例：与加法相同 乘法例：α5·α4 = α(5＋4) mod7
= α2 除法例：α5/α3 = α2 α3/α5 = α－2
P(x)=(x16+x15+x2+1)(x16+x2+x+1)
计算CRC码时用的数据块是从扇区的开头到用户数据区结 束为止的数据字节，即字节0～2063共2064个字节。在 EDC中存放的CRC码的次序如下：
EDC： 字节号：
x24－x31 2064
x16－x23 2065
x8－x15 2Baidu Nhomakorabea66
x0－x7 2067
P(x)
• CD-ROM用来构造GF(28)域的 是
P(x)=x8+x4+x3+x2+1
而GF(28)域中的本原元素为 :
α＝（00000010）
– [例13.1] 构造GF(23)域的本原多项式P(x)假定
为
P(x)=x3+x+1
α定义为 P(x) = 0的根，即
α3＋α＋1 = 0
和
α3 = α＋1
码生成多项式 除尽的，即它的余项为0。
• 例如，CD盘中的q通道和软磁盘存储器中使用的 CRC校验码生成多项式是:
G(x)=x16+x12+x5+1
若用二进制表示，则为 :
G(x)=10001000000100001(B)
=11021(H) 假定要写到盘上的信息代码 M(x)为
M(x)=4D6F746F(H) 由于增加了2个字节共16位的校验码，所以信息代码变成
位二进 制数组成
n
表示码块长度，k 表示码块中的信息长
度
K=n－k = 2t
表示校验码的符号数
t
表示能够纠正的错误数目
» 例如，(28，24)RS码表示码块长度共28个符号，其中 信息代码的长度为24，检验码有4个检验符号。
– 对一个信息码符多项式M(x) ，RS校验码生成多
项式的一般形式为:
K 1
– 如果一个k位的二进制信息代码多项式为M(x) ，再增加(n－k)位 的校验码，那么增加(n－k)位之后，信息代码多项式在新的数据
块中就表示成 xn-kM(x)，如图16-01所示。
(n－k)
(n－k)
图16-01 信息代码结构
– 如果用一个校验码生成多项式G(x)去除代码多项式 ，得到的商假 定为Q(x)，余式为R(x)，则可写成
= α(－2＋7) = α5 取对数：log(α5) = 5
这些运算的结果仍然在GF(23)域中。
• 16.2.2 RS的编码算法
– RS的编码
– 就是计算信息码符多项式M(x) 除以校验码生成多项式G(x) 之后的余数。
– 在GF(2m)域中，符号(n，k)RS的含义如下：
m
表示符号的大小，如 m = 8表示符号由8
x7+1/ P(x)=？？？
GF(23)中的元素可计算如下：
0 α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 ……
mod(α3＋α＋1) = 0 mod(α3＋α＋1) = α0 = 1 mod(α3＋α＋1) = α1 mod(α3＋α＋1) = α2 mod(α3＋α＋1) = α＋1 mod(α3＋α＋1) = α2＋α mod(α3＋α＋1) = α2＋α1＋1 mod(α3＋α＋1) = α2＋1 mod(α3＋α＋1) = α0 mod(α3＋α＋1) = α1
xnk M (x) Q(x) R(x)
g(x)
G(x)
xnk M (x) Q(x)G(x) R(x)
• 因为模2多项式的加法和减法运算结果相同，所以又可把上式写成：
xnk M (x) R(x) Q(x)G(x)
– G(x)称为校验码生成多项式。 – 从该式中可以看到，代表新的代码多项式 xn-kM(x)+R(x) 是能够被校验
表16-01 GF(23)域中与二进制代码对照表,P(x)=x3+x+1
GF(23)域元素 0 α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6
二进制对代码 (000) (001) (010) (100) (011) (110) (111) (101)
建立了GF(23)域中的元素与3位二进制数之 间的一一对应关系。
第16章 错误检测和校正
优选错误检测和校正
– 在模2多项式代数运算中定义的运算规则有：
• 例如，模2多项式的加法和减法： ****
• 结论：
– 对于模2运算来说，代码多项式的加法和减法运算所得的 结果相同。
– 在做代码多项式的减法时，可用做加法来代替做减法。
– 代码多项式的除法可按长除法做。
• 例如
16.2 RS编码和纠错算法
• 16.2.1. GF(2m)域 ****
– 伽罗华域(Galois Field，GF)
• CD-ROM中的数据、地址、校验码等都可以看成是属于 GF(2m) = GF(28)中的元素或称符号。GF(28)表示域中有256 个元素，除0，1之外的254个元素由本原多项式P(x)生成。 本原多项式P(x)的特性是 x2m1 1得到的余式等于0。
B994 CRC码
这个码是能被11021(H) 除尽的。
9
从盘上把这块数 据读出时，用同 样的CRC码生成 多项式去除这块 数据，相除后得 到的两种可能结 果是：
①余数为0，表 示读出没有出现 错误；
②余数不为0， 表示读出有错。
CD-ROM中也采用了相同的CRC检错。CD-ROM扇区方 式01中，有一个4字节共32位的EDC字域，它就是用来存 放CRC码。
x16M(x) : 4D6F746F0000(H)。
CRC检验码计算如下：
两数相除的结果，其商可
不必关心，其余数为
B994(H)就是CRC校验码。
把信息代码写到盘上时，
73
将原来的信息代码和CRC
码一起写到盘上。在这个
例子中，写到盘上的信息
代码和CRC码是
4D6F746F B994,
4D6F746F 信息代码
G(x) (x K0i )
i0
(16-2)
式中，K0是偏移量，通常取K0 = 0或K0 = 1， 而K=(n-k)≥2t (t为要校正的错误符号数)。
– [例13.2]
• 设在GF(23)域中的元素对应表如表16-01所示 。假
设(6，4)RS码中的4个信息符号为m3、m2、m1和 m0，信息码符多项式 M(x)为
– 现仍以GF(23)域中运算为例：
加法例：α0＋α3 = 001＋011 = 010 = α1
减法例：与加法相同 乘法例：α5·α4 = α(5＋4) mod7
= α2 除法例：α5/α3 = α2 α3/α5 = α－2
P(x)=(x16+x15+x2+1)(x16+x2+x+1)
计算CRC码时用的数据块是从扇区的开头到用户数据区结 束为止的数据字节，即字节0～2063共2064个字节。在 EDC中存放的CRC码的次序如下：
EDC： 字节号：
x24－x31 2064
x16－x23 2065
x8－x15 2Baidu Nhomakorabea66
x0－x7 2067
P(x)
• CD-ROM用来构造GF(28)域的 是
P(x)=x8+x4+x3+x2+1
而GF(28)域中的本原元素为 :
α＝（00000010）
– [例13.1] 构造GF(23)域的本原多项式P(x)假定
为
P(x)=x3+x+1
α定义为 P(x) = 0的根，即
α3＋α＋1 = 0
和
α3 = α＋1
码生成多项式 除尽的，即它的余项为0。
• 例如，CD盘中的q通道和软磁盘存储器中使用的 CRC校验码生成多项式是:
G(x)=x16+x12+x5+1
若用二进制表示，则为 :
G(x)=10001000000100001(B)
=11021(H) 假定要写到盘上的信息代码 M(x)为
M(x)=4D6F746F(H) 由于增加了2个字节共16位的校验码，所以信息代码变成
位二进 制数组成
n
表示码块长度，k 表示码块中的信息长
度
K=n－k = 2t
表示校验码的符号数
t
表示能够纠正的错误数目
» 例如，(28，24)RS码表示码块长度共28个符号，其中 信息代码的长度为24，检验码有4个检验符号。
– 对一个信息码符多项式M(x) ，RS校验码生成多
项式的一般形式为:
K 1
– 如果一个k位的二进制信息代码多项式为M(x) ，再增加(n－k)位 的校验码，那么增加(n－k)位之后，信息代码多项式在新的数据
块中就表示成 xn-kM(x)，如图16-01所示。
(n－k)
(n－k)
图16-01 信息代码结构
– 如果用一个校验码生成多项式G(x)去除代码多项式 ，得到的商假 定为Q(x)，余式为R(x)，则可写成
= α(－2＋7) = α5 取对数：log(α5) = 5
这些运算的结果仍然在GF(23)域中。
• 16.2.2 RS的编码算法
– RS的编码
– 就是计算信息码符多项式M(x) 除以校验码生成多项式G(x) 之后的余数。
– 在GF(2m)域中，符号(n，k)RS的含义如下：
m
表示符号的大小，如 m = 8表示符号由8
x7+1/ P(x)=？？？
GF(23)中的元素可计算如下：
0 α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 ……
mod(α3＋α＋1) = 0 mod(α3＋α＋1) = α0 = 1 mod(α3＋α＋1) = α1 mod(α3＋α＋1) = α2 mod(α3＋α＋1) = α＋1 mod(α3＋α＋1) = α2＋α mod(α3＋α＋1) = α2＋α1＋1 mod(α3＋α＋1) = α2＋1 mod(α3＋α＋1) = α0 mod(α3＋α＋1) = α1
xnk M (x) Q(x) R(x)
g(x)
G(x)
xnk M (x) Q(x)G(x) R(x)
• 因为模2多项式的加法和减法运算结果相同，所以又可把上式写成：
xnk M (x) R(x) Q(x)G(x)
– G(x)称为校验码生成多项式。 – 从该式中可以看到，代表新的代码多项式 xn-kM(x)+R(x) 是能够被校验
表16-01 GF(23)域中与二进制代码对照表,P(x)=x3+x+1
GF(23)域元素 0 α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6
二进制对代码 (000) (001) (010) (100) (011) (110) (111) (101)
建立了GF(23)域中的元素与3位二进制数之 间的一一对应关系。
第16章 错误检测和校正
优选错误检测和校正
– 在模2多项式代数运算中定义的运算规则有：
• 例如，模2多项式的加法和减法： ****
• 结论：
– 对于模2运算来说，代码多项式的加法和减法运算所得的 结果相同。
– 在做代码多项式的减法时，可用做加法来代替做减法。
– 代码多项式的除法可按长除法做。
• 例如
16.2 RS编码和纠错算法
• 16.2.1. GF(2m)域 ****
– 伽罗华域(Galois Field，GF)
• CD-ROM中的数据、地址、校验码等都可以看成是属于 GF(2m) = GF(28)中的元素或称符号。GF(28)表示域中有256 个元素，除0，1之外的254个元素由本原多项式P(x)生成。 本原多项式P(x)的特性是 x2m1 1得到的余式等于0。
B994 CRC码
这个码是能被11021(H) 除尽的。
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从盘上把这块数 据读出时，用同 样的CRC码生成 多项式去除这块 数据，相除后得 到的两种可能结 果是：
①余数为0，表 示读出没有出现 错误；
②余数不为0， 表示读出有错。
CD-ROM中也采用了相同的CRC检错。CD-ROM扇区方 式01中，有一个4字节共32位的EDC字域，它就是用来存 放CRC码。
x16M(x) : 4D6F746F0000(H)。
CRC检验码计算如下：
两数相除的结果，其商可
不必关心，其余数为
B994(H)就是CRC校验码。
把信息代码写到盘上时，
73
将原来的信息代码和CRC
码一起写到盘上。在这个
例子中，写到盘上的信息
代码和CRC码是
4D6F746F B994,
4D6F746F 信息代码
G(x) (x K0i )
i0
(16-2)
式中，K0是偏移量，通常取K0 = 0或K0 = 1， 而K=(n-k)≥2t (t为要校正的错误符号数)。
– [例13.2]
• 设在GF(23)域中的元素对应表如表16-01所示 。假
设(6，4)RS码中的4个信息符号为m3、m2、m1和 m0，信息码符多项式 M(x)为