圆中常用辅助线的画法

圆中常用辅助线的添法

圆是初中数学重点内容，属中考必考内容，中考中有关圆的问题，大部分

需添辅助线解之，那么圆问题中常用的辅助线有哪些呢？现就圆中常用辅助线的添法作一归纳，以期对同学们的学习有所帮助．

1.作弦心距.

在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.

例1.如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PM •PN=2PO 2.

分析：过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，要证

明PM •PN=2PO 2，即证明PM •PC =PO 2，只需证明PM •PC=PO 2，

要证明PM •PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO.

证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 2

1PN

∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°.

又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴PO PC PM PO 即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •21PN ，∴PM •PN=2PO 2. 2.作直径所对的圆周角

在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的圆周角，以利用直径所对的圆周角是直角的性质。

例2 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．

（1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ；

（2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3时，求AB 的值．

分析：要证BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90°。

（1） 证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB

∴△ACB ∽△NMB ∴BN AB BM BC ∴AB ·BM=BC ·BN

（2） 解：连结OM ，则∠OMC=90°

∵N 为OC 中点

∴MN=ON=OM ，∴∠MON=60°

∵OM=OB ，∴∠B=21∠MON=30°

∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6

3、连结半径 圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关，连结半径是常用的方法之一. 例3．已知：如图，△ABC 中，∠B=90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，以OB 为半径的圆切AC 于D 点，交AB 与E 点，AD=2，AE=1.

求CD 的长.

分析：D 为切点，连结DO ，则∠ODA=90°.根据切线长定理，有CD=CB.DO=EO=半径r ，在Rt △ADO 中根据勾股定理或Rt △ADO~ Rt △ABC ，即可求出CD.

证明: 连结DO ∴OD ⊥AC 于D, ∴∠ODA =90°.

B

∵AB过O点, ∠B=90°. ∴BC为⊙O的切线, ∴CD=CB 设CD=CB=x,DO=EO=y

在Rt△ADO中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=1

∴

2

2

22

)

1(y

y+

=

+, 解得 y=

2

3

在Rt△ABC中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+ y + y)2+x2, ∴x=3 ∴CD=3.

4、连结公共弦

在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。

例4．已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于点A和B，

O2O1的延长线交⊙O1于点C，CA、CB的延长线分

别和⊙O2相交于点D、E，求证：AD=BE.

分析：⊙O1和⊙O2是相交的两圆，作公共弦AB为辅助线.

证明：连结AB交O2O1于P点，

∵O1 O2⊥A B且O1O2平分AB ∴CA=CB

∴∠ACP=∠BCP ∴点O2到线段AD、BE的距离相等∴AD=BE.

5、作连心线

两圆相交，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切，连心线必过切点.通过作两圆的连心线，可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系.因此，“已知有两圆，常画连心线.”.

例5．已知：如图，⊙A 和⊙B 外切于P 点，⊙A 的半径为r ，⊙B 的半径为3r, CD 为⊙A 、⊙B 的外公切线，C 、D 为切点，求：（1）CD 的长；（2）CD 与弧PD 及弧PC 所围成的阴影部分的面积.

解：（1）连结AB 、AC 、BD

∵⊙A 和⊙B 外切于P 点，∴AB 过P 点

∵CD 为⊙A 、⊙B 的外公切线，C 、D 为切点，

∴AC ⊥CD ，BD ⊥CD

过A 点作AE ⊥BD 于E ，则四边形ACDE 为矩形.

∴DE=AC= r ，BE=BD-DE=3r-r=2r

在Rt △AEB 中，AB=AP+PB=r+3r=4r ，BE=2r

∴AE=r r r BE AB 324162222=-=- ∴CD=23r .

（2）由（1）可知COSB=

2142==r r AB BE ，∴∠B=60°. ∴∠CAB=∠CAE+∠BAE=90°+30°=120°.

∴S 阴影=S 梯形ABDC -S 扇形BPD -S 扇形ACP =423r －23π2r － 31π2r =（43－

611π）2r

6、作公切线

分析：相切两圆过切点有一条公切线，这条公切线在解题时起着非常重要的作用，如下题中所作的内公切线MN 起到沟通两圆的作用.因此，相切两圆过切点的公切线是常用辅助线.

例6．已知：⊙O 1和⊙O 2外切于点A ，ＢＣ是⊙O 1和⊙O 2的外公切线，Ｂ、Ｃ为

切点.

求证：ＡＢ⊥A Ｃ