数学概念教学设计

模式二：数学概念的接受教学模式
概念的接受教学是利用学生原有概念，特别是上位概念（奥苏伯尔的学习理论， 新学习的知识与原有知识是一种上下位关系）来同化新概念的教学，其学习理论基 础是概念同化。数学概念同化的教学模式一般包括以下五个阶段： （1）揭示数学概念的关键属性，给出定义、名称及符号；
（2）通过对数学概念特例的讨论分析，突出概念的本质属性；
例如举出 等让学生辨认。 例如把二次函数与一次函数，函数等联系起来，把它纳入到函数概念的体系中。 例如二次函数的特例是：
例如学习二次函数的概念，先学习它的定义：“如果一般地，把形如 （a、b、c是常数）的函数叫做二次函数。
数学概念的教学模式
PART 03
模式一：数学概念的发现教学模式
概念的发现教学是鼓励学生借助归纳推理从实例中发现数学概念的教学，其
概念，具有这种关系的概念之间称作具有属种关系的概念，在具有属种关系的两个
概念中，概念B具有而概念A没有的本质属性称作种差。
例如，“三角形”与“等腰三角形”两个概念中三角形是属，等腰三角形是种。而“有两边 相等”就是“三角形”与“等腰三角形”的种差。
一般的，属加种差的定义方式可以由公式表示：
被定义项=种差+邻近的属
学习理论基础是概念形成，一般有以下四阶段：辨别和分类；假设和解释；概括； 验证和调整。 第一阶段：辨别和分类 在这一阶段，教师呈现给学生的应是一些要求学生对事物进行知觉辨别或 分类的任务。这个时候教师应更多地作为引导者，不要过多干涉学生感知事物的 活动，更不要包办代替，而要为学生提供动手操作的机会，让学生充分地利用多
数学概念的定义方式：
概念是反映客观事物思想，是客观事物在人头脑中的抽象概括，是看不见摸
不着的，要用词语表达出来，就是给概念下定义。而明确概念就是要明确概念的 内涵与外延。概念的定义就是揭示概念的内涵或外延的逻辑方法。揭示概念内涵 的定义方法叫做内涵式定义，揭示概念外延的定义叫做外延式定义。在中学里， 大多数概念的定义是内涵式定义。 任何定义都由被定义项、定义项和定义联项。被定义项是我们需要明确的概 念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项是用来连接被定义项和定义项
第四阶段——图式 个体对活动、过程、对象以及它原有的相关方面的图式进行相应的整合就会产生 出新的图式结构(scheme) ,从而可运用于问题解决情境。 一个数学概念的“图式” 是由相应的活动、过程、对象以及相关的图式所组成的认知框架。其作用和特点 就是决定某些刺激是否属于这个图式，从而就会作出不同的反应
来检验自己关于概念的定义或描述是否正确：把已经知道的那些属于该概念的正 例拿来检验是否符合自己给出的概念的定义和描述，同时也把那些已经知道不属 于该概念的反例拿来检验是否确实不符合自己给出的概念定义或描述。如果发现 有不合适的情况，就需要对定义或描述做适当修订。必要时还要回到第三阶段重 新考虑。 总之，观察——猜想——操作——验证是进行实验的基本方法和步骤。
事件的直接经验，从这些物体或事件中抽象出它们的共同属性。而在数学概念同
化的过程中，新的数学概念的共同属性一般都是教师指出的，不需要学生去发现， 重要的是使学生把新知识与头脑中已有的有关知识联系起来。它们不是互相独立 存在的。概念的形成教学形式比较耗费时间，但有利于培养学生的观察、发现问 题的能力；概念的同化教学形式节约时间，利于培养学生的抽象和逻辑思维能力。 因此，在教学中这两种形式的教学应该结合起来综合应用，取长补短，互相补充。
APOS 的理论所作为了一种有关于建构主义的理论，它指出了学生在学习数
学概念的过程是要积极主动去建构的，进而也表明了概念建构的层次。数学概念 的APOS学习理论深入到数学概念形成过程的内部本质——过程和对象的双重性， 从数学学习心理学的角度，揭示和分析了主体建构数学概念过程中的真实的思维 活动。从而弥补了传统数学概念教学过分注重概念逻辑结构分析的不足。
（3）使新数学概念与已有数学认知结构中的概念建立联系，把新数学概念纳入到
已有数学概念体系中去，同化新数学概念；
（4）通过正反例的辨认，使新的数学概念与已有数学认知结构中的数学概念分化。 （5）把新的数学概念纳入到相应的数学概念体系中，使数学概念融会贯通，组成 一个整体。
数学概念形成与同化的关系： 数学概念形成与数学概念同化是有区别的，数学概念形成需要的是对物体或
目录
CATALOG
数学概念
数学概念学 习的主要形 式
数学概念 的教学模 式
数概念教 学中的注 意事项
数学概念
PART 01
数学概念：
概念是反映客观事物本质属性的思维形式。
数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的反映，是人们通过 实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而成的。它是进 行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学 思想方法的出发点。概念包括内涵和外延两个方面，内涵就是概念所反映的一切 事物的本质属性，即反映概念质的方面；外延就是概念所反映的事物的范围，即 反映了概念的量的方面。
一、数学概念学习的内容： 一般来说，数学概念学习包括以下四个方面：
（1）数学概念名称。例如“三角形”、“正方形”、“圆”、“函数”等。
（2）数学概念定义。例如“三角形”的定义是“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相
接而成的图形”。
（3）数学概念的例子。符合数学概念定义的事物是数学概念的正例，不符合数学 概念定义的事物是数学概念的反例。例如直角三角形是“三角形”的正例，四边形是“三角
而获得新概念的方式。
数学概念同化的过程有以下几个阶段： （1）给出概念的定义（揭示概念的本质属性：给出名称和符号）
（2）讨论特例。对概念进行特殊的分类，讨论各种特例，突出概念的本质属性。 （3）新旧概念联系。使新概念与原有认知结构中有关概念建立联系，把新概念纳 入到相应的概念体系中，同化新概念。 （4）实例辨认。辨认正例和反例，确认新概念的本质属性，使新概念与原有认知 结构中有关概念精确分化。 （5）具体运用。通过各种形式运用概念，加深对新概念的理解，使有关概念融会 贯通成整体结构
例如要形成平行线的概念，可以观察黑板相对的两条边，立在路边的两根电线杆，横格练习
本中的两条横线等。
（2）分析共同属性。分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。
例如上面的各个实例分别有各自的属性，通过比较可以得出它们的共同属性：两条直线、在同一
个平面内、两条直线间的距离处处相等、两条直线不相交、两条直线可以向两边无限延伸等。
种感觉器官参与活动，这样有利于学生全方面地、感知概念，分析概念的共同特
征。
第二阶段：假设和解释 在这一阶段，学生需要对他们分类的事物作出假设或解释。比如，为什么
把这些事物归成一类，假定这类事物具有的共同特征是什么？这时教师应该扮
演促进者的角色，通过提出一些启发性问题，激发学生的思考，引导他们把假
设和解释表达得跟清晰。
例如可以概括出“在同一平面内，两条不相交的两条直线叫做平行线”。
（6）符号表示：用习惯的形式符号表示概念。例如平行线用符号“∥”表示。 （7）具体运用。通过举出概念的实例，在一类事物中辨认出概念，或运用概念
解答数学问题，使新概念与已有的认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性联
系，把所学的概念纳入到相应的概念体系中。 在实际的数学学习中，对那些初次接触或教难理解的概念，大多数会采用概 念形成的学习方式，以减少学习上的困难，使学生更容易接受。 2、概念同化 数学概念的同化，是指学生在直接用定义形式陈述概念时，主动地与其认知 结构中原有的相关概念相联系，相互作用，并理解和领会新概念的本质属性，从
例如：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。 用公式表示：矩形=有一个角是直角（种差）+平行四边形（属）
2、发生式定义 通过被定义概念所反映的对象发生过程或形成的特征的描述来揭示被定义概念 的本质属性的定义方法。
例如：在平面内，一个动点与一个定点等距离运动所成的轨迹叫做圆。此外，中学中对圆锥， 圆柱，圆台、微分、积分、坐标系等概念也都是采用的发生式定义法。
例如，“偶数”这个概念的内涵就是“能够被2 整除的自然数”，其外延就是偶数的全体。
来自百度文库
内涵和外延的关系：当内涵扩大时，外延就缩小了，当内涵缩小时，外延就
扩大了。内涵与外延之间的这种关系称为反变关系。
例如：在四边形的内涵中增加“两组对边分别平行”这个属性，得到平行 四边形的概念，平行四边形的外延比四边形的外延缩小了；在等腰三角形的内 涵中减少“有两边相等”这个属性，这是三角形的内涵，三角形的外延比等腰 三角形的外延扩大了
3、关系定义 它是以被定义的概念所反映的对象与另一对象之间的关系进行定义的方式。
例如：b（b≠0）整除a，就是存在一个整数c，使得a=bc
4、外延定义
数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的定义。
例如：有理数和无理数统称为实数；整式和分式统称有理式
数学概念学习的主 要形式
PART 02
成。该理论认为在数学概念学习中通过引导个体经过思维的活动、过程和对象等
几个阶段后，个体一般能在建构、反思的基础上把它们组合成图式从而理清问题 情境并顺利解决问题。提出学生学习数学概念要经过“活动”、“过程”、“对 象”、“图式”四个阶段：
第一阶段——活动（或操作） 通过“操作或活动”使学习者体验和感受数学概念的直观背景与数学概念间 的关系。利用实例直观，从具体到抽象帮助学生形成该数学概念的定义；激发学 习者的兴趣和构建新的数学概念的内在驱动力。 第二阶段——过程
第三阶段：概括 在这一阶段，学生应该试着根据概念的属性多加以描述（也就是找到那些 正例才有而反例没有的属性），甚至进一步对概念下一个定义。不过，对这个 概念的命名就不可能通过学生的独立探索能够发现的，这时教师应把传统上我
们给这个概念赋予的名称告诉学生。
第四阶段：验证和调整
在这一阶段，学生将用其他一些例子（不是自己用来归纳出概念的那些例子）
的。
例如，“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形”中“直角三角形”是被定义项，“有一 个角是直角的三角形”是定义项，“叫做”是定义联项。
数学概念的定义有以下4种方式： 1、属加种差定义 所谓“属”与“种”、“种差”是指如果一个概念B的外延集合是另外一个概 念A的外延集合的真子集，我们称作概念A是概念B的属概念，概念B是概念A的种
形”的反例。
（4）数学概念属性。例如“三角形”这个概念的属性是平面图形、封闭性、有三条边、三个
角等。
二、 数学概念学习的基本形式
学习数学概念可分为两种形式：概念形成和概念同化
1、概念形成
数学概念形成是指在教学条件下，从大量的实例出发，从学生实际经验的肯
定例证中用归纳的方法概括出一类事物的本质属性，这样获得数学概念的方式。 数学概念形成的过程有以下几个阶段： （1）观察实例。观察概念的各种不同的正面实例，可以是日常生活中的经验 或事物，也可以是教师提供的典型实例。
学习者经过对“操作活动”进行思考，经过思维的内化过程，在头脑中对活
动进行描述和反思，抽象出数学概念的特有的共同本质属性。 第三阶段——对象 是通过前面的抽象，认识到了该数学概念的本质，对其赋予形式化的定义和符 号、使其精确化，成为一个具体完整的数学对象，在以后的学习中以此数学对象 去进行新的建构活动。
（3）抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。
例如提出平行线的本质属性的假设是：在同一个平面内、两条直线距离处处相等、两条直线不 相交。
（4）确认本质属性。通过比较正例和反例检验假设，确认本质属性。
例如举出平行直线、相交直线的例子确认平行线的本质属性。
（5）概括定义。在验证假设的基础上，从具体实例中抽象出本质属性，推广到一切 同类事物，概括出概念的定义。
案例1
模式三：数学概念的现代教学模式（APOS模式） 1、杜宾斯基的APOS理论 美国教育学家杜宾斯基（Ed Dubinsky）等人在数学教育研究实践中提出了APOS
理论，对数学概念教学具有指导意义。APOS 理论分别是由英文 action（活
动）,process（过程）,object（对象）,scheme（图式）的首字母大写所组合而