【人教a版】高中数学:第二讲四渐开线与摆线127

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第二讲 参数方程

四、渐开线与摆线

A 级 基础巩固

一、选择题

1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( )

A .只有圆才有渐开线

B .渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才能得到不同的图形

C .正方形也可以有渐开线

D .对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,那么画出的渐开线形状就不同

解析:本题容易错选A.渐开线不是圆独有的,其他图形,例如椭圆、正方形也有.渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处,但是它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同.对于同一个圆,不论在什么地方建立直角坐标系,画出的渐开线的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.

答案:C

2.⎩⎨⎧r =5(φ-sin φ),y =5(1-cos φ)

(φ为参数)表示的是( ) A .半径为5的圆的渐开线的参数方程

B .半径为5的圆的摆线的参数方程

C .直径为5的圆的渐开线的参数方程

D .直径为5的圆的摆线的参数方程

解析:对照渐开线和摆线参数可知选B.

答案:B

3.下列各点中,在圆的摆线⎩⎨⎧x =φ-sin φ,y =1-cos φ

(φ为参数)上的是( ) A .(π,0)

B .(π,1)

C .(2π,2)

D .(2π,0)

4.圆⎩⎨⎧x =3cos θ,y =3sin θ

(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是( )

A .π

B .3π

C .6π

D .10π

解析:根据条件可知圆的平摆线的参数方程为

⎨⎧x =3φ-3sin φ,y =3-3cos φ(φ为参数),把y =0代入,得cos φ=1,所以φ=2k π(k ∈Z),故x =3φ-3sin φ=6k π(k ∈Z).

答案:C

5.已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x =3cos φ,y =3sin φ

(φ为参数),那么圆的摆线方程中与参数φ=π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2,2之间的距离为( ) A.π2-1 B. 2 C.10 D. 3π2

-1 解析:根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,那么它的摆线的参数方程为

⎩⎨⎧x =3(φ-sin φ),y =3(1-cos φ)(φ为参数),把φ=π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x =3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-1,y =3,

即A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-1,3, 所以|AB|=

⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-1-3π22

+(3-2)2=10. 答案:C

二、填空题

6.已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎨⎧x =3φ-3sin φ,y =3-3cos φ

(φ为参数),则该摆线一个拱的高度是________.

解析:由圆的摆线的参数方程⎩⎨⎧x =3(φ-sin φ),y =3(1-cos φ)

(φ为参数)知圆的半径r =3,所以摆线一个拱的高度是3×2=6.

7.渐开线⎩⎨⎧x =6(cos φ+φsin φ),y =6(sin φ-φcos φ)

(φ为参数)的基圆的圆心在原点,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________.

解析:根据渐开线方程知基圆的半径为6,则基圆的方程为x 2+y 2=36,把

横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x 24+y 2=36,即x 2144+y 236

=1,对应的焦点坐标为(63,0)和(-63,0),它们之间的距离为12 3.

答案:12 3

8.已知圆的方程为x 2+y 2=4,点P 为其渐开线上的一点,对应的参数φ=π2

,则点P 的坐标为________. 解析:由题意,圆的半径r =2,其渐开线的参数方程为

⎩⎨⎧x =2(cos φ+φsin φ),y =2(sin φ-φcos φ)

(φ为参数). 当φ=π2

时,x =π,y =2,故点P 的坐标为P(π,2). 答案:(π,2)

三、解答题

9.给出直径为6的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.

解:以圆的圆心为原点,一条半径所在的直线为x 轴,建立直角坐标系.又圆的直径为6,所以半径为3,所以圆的渐开线的参数方程是

⎩⎨⎧x =3cos φ+3φsin φ,y =3sin φ-3φcos φ

(φ为参数). 以圆周上的某一定点为原点,以给定定直线所在的直线为x 轴,建立直角坐标系,所以摆线的参数方程为

⎨⎧x =3φ-3sin φ,y =3-3cos φ(φ为参数). 10.已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x =2cos φ+2φsin φ,y =2sin φ-2φcos φ(φ是参数),求

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