因式分解分类全课件
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(1) 2x2 3x3 x xx((22xx33xx22) 1) (2) 3a2c 6a3c 33aa22(cc(1 2a2ca)) (3) 2s3 4s2 6s s2(2s(ss2 24s2s 6)3) (4) 4a2b 6ab2 8a 22aab((22aab33bb)284a)
将下列各多项式因式分解:
1. ax ay a. 2. x2 y 3xy2. 3. 20x2 y 15xy2 5xy.
Ⅰ. 提取公因数后,括号内的多项式的项数与 原多项式的项数相同. Ⅱ. 利用整式的乘法来检验因式分解是否正确.
灵活运用：
１、下列各式均用提取公因式法因式分解,其中 正确的是( D)
1.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3)
＝0
3.试说明:817－279－913能被45整除. 解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
=328－327－326 =326(32－3－1) =326×5 =325×45 ∴817－279－913能被45整除.
（1） 22525959911＋1252295599111＋252925599777 解解：：原原式式 =＝235＝ 23935295×（913（5131555＋1517＋ 5）117551） 155
（2） 992＋99 解：原式＝9999（×99991+）99
A. 6(x－2) ＋x(2－x)=(x－2)(6＋x)
B. x3＋3x2＋x=x(x2＋3x)
C. a(a－b)2＋ab(a－b)=a(a－b)
D. 3xn＋1＋6xn=3xn(x＋2) 2、m2(a－2) ＋m(2－a)分解因式等于（ C ）
A. (a－2)(m2－m) B. m(a－2)(m＋1)
练习：(x-y)2+y(y-x)
巧妙计算
(1) 13.8×0.125+86.2×1/8
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125 =0.125×(13.8+86.2) =0.125×100
=12.5
(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 × 5=15
(1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2
（3） （a） （a2） （2(m+n)）
（3mn） （-2xy）
ma+ mb +mc = m ( a+b+c )
如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
诊断 小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y)
错误
公因式没有提尽， 还可以提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y) 注意：公因式要提尽。
小亮解的有误吗？
把3x2 - 6xy+x分解因式 解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式
因式分解定义
• 把一个多项式化成几个整式 积的形式,这种变形叫做把 这个多项式分解因式.
● 想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?
分解因式与整式乘法是互逆过程
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法
解：原式＝2xmyn (2b－3xy2＋x2y) ②a(x＋y－z) －b(z－x－y) －c(x－z＋y)
解：原式＝(x＋y－z) (a＋b－c) ③(5x－2y)2 ＋(2x＋5y)2 解：原式＝25x2－20xy＋4y2＋4x2＋20xy＋25y2
＝29x2＋29y2
＝29(x2＋y2)
拓展运用：
1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
辨别下列运算是不是因式分解,并说明理由.
1. 4a2 (a 2b) 4a3 8a2b.( 不是 ) 2. 6ax 3ax2 3ax(2 x). ( 是 ) 3. x2 3x 2 x(x 3) 2.( 不是 ) 4. a2 4 (a 2)(a 2). ( 是 )
公因式的确定方法：
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项 都含有的相同字母的最低次数幂的积。
例: 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式。
3
系数：最大 公约数。
1 指数：相同
x
字母的最低
字母：相同 次幂
的字母
所以，公因式是3x。
练一练：
多项式
公因式 因式分解结果
2a2b 4abc 2ab 2ab( a 2c ) 5ab2c 15b3c2 5b2c 5b2c( a 3bc ) 4a3b2 10a2b3c 2a2b2 2a2b2 (2a 5bc)
后剩余的项是1。
. . . 正确解：原式=3x x-6y x+1 x
=x(3x-6y+1)
注意：某项提出莫漏1。
诊断
小华解的有误吗？
把 - x2+xy-xz分解因式
解：原式= - x(x+y-z)
错误
提出负号时括号里的项 没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
注意：首项有负常提负。
这个多项式有什么特点？
ma mb mc
相同因式m
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多 项式的公因式。
议一议：
多项式3ax2 y 6 x3 yz 有公因式吗？是什么？
3ax2 y 3 a x x y 6x3 yz 2 3 x x x y z 应提取的公因式为:_____3_x__2 y
C. m(a－2)(m－1) D.以上答案都不对
3、下列各式正确的是（D ） A. (x－y)2n=－(y－x)2n(n为正整数) B. 整式x2－10可分解为(x＋3)(x－3) －1 C. 整式x－y＋(y－x)2可分解为(x－y)(1＋y－x) D. a(x－2) －b(2－x)=(x－2)(a＋b)
(5) a(a+1)(a-1)= ____ (4) x2-6x+9=________
(5) a3-a=______
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什 么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它 有什么不同?
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形 是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a1)的变形与上面的变形互为逆过 程.
3.试计算: (1) 3a(a-2b+c) (2) (a+3)(a-3) (3) (a+2b)2 (4) (a-3b)2
解: (1) 3a(a-2b+c)
=3a2-6ab+3ac
(2) (a+3)(a-3)=a2-9 (3) (a+2b)2=a2+4ab+4b2 (4) (a-3b)2= a2-6ab+9b2
知识收藏：
１. 确定公因式的方法: ⑴ 公因式的系数应取各项系数的最大公因数.
⑵公因式应取相同因式的最低次幂. ２. 提取公因数后,括号内的多项式的项数与原 多项式的项数相同. ３. 利用整式的乘法来检验因式分解是否正确.
平昌县得胜中学 任 璟
根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的
变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
方法叫做提公因式法。
例1: 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
练一练：分解因式
(1) 3x2 9xy (2) 3mx 6nx2 (3) 2ab2 4a2b 10ab
例2：分解因式
2(a b)2 a b
添括号则： 括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括 号前面是“—”号，括到括号里的是各项都变号。
下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正？
= 99 ×(99+1)
=9900
小结
1、什么叫因式分解？
记住哟！
2、确定公因式的方法：
(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式.
4、提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；（2）小心漏掉1; （3）提出负号时,要注意变号.
做一做
计算下列个式: 根据左面的算式填空:
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 3x(x-1)= _____ (1) 3x2-3x=_______
(2) m(a+b+c) = _____ (3) (m+4)(m-4)= ____ (4) (x-3)2= _______
(2) ma+mb+mc=______
(3) m2-16=_________
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项 都含有的相同字母的最低次数幂的积。
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数
的最大公约数。
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相
同的字母。
3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小的
一个，即字母最低次幂
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法
(6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
因式分解
.规律总结
• 分解因式与整式乘法是互逆过程. • 分解因式要注意以下几点:
提取公因式法的一般步骤： （1）确定应提取的公因式 （2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式 （3）把多项式写成这两个因式的积的形式
练一练：分解因式
(1) 3a3 2a2 a a( 3a2 2a 1 )
(2) 6p3 10 p2 2 p 2 p( 3 p2 5 p 1 )
平昌县得胜中学 任 璟
平昌县得胜中学 任 璟
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2
1、计算（-2）101+（-2）100
2、已知, 2x y 4 xy 3 ,
求代数式 2x2 y xy2 的值。
例1：确定下列多项式的公因式，并分解因式
(1) 2x3 6x2 (2) 3 pq3 15 p3q (3) 4x2 8ax 2x (4) 3ab 6abx 9aby
4 、(a－b)3－(b－a)2=(a－b)2_(_a_－__b_－__1__) ____.
5 、分解因式18m2n(a－b)2－ 9mn2(b－a)=
_9_m__n_(_a_－__b_)_(_2_m__a_－__2_m__b_＋__n_)_.
6、分解因式： ①4xmynb－6xm＋1yn＋2＋2xm＋2yn＋1
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
(4) -x3y3-x2y2-xy
例2 把 12b(a-b)2 – 18(b-a)2 分解因式 解： 12b(a-b)2 – 18(b-a)3 =12b(a-b)2 + 18(a-b)3 =6(a-b)2 [2b+3(a-b)] =6(a-b)2 (2b+3a-3b) =6(a-b)2(3a-b)
将下列各多项式因式分解:
1. ax ay a. 2. x2 y 3xy2. 3. 20x2 y 15xy2 5xy.
Ⅰ. 提取公因数后,括号内的多项式的项数与 原多项式的项数相同. Ⅱ. 利用整式的乘法来检验因式分解是否正确.
灵活运用：
１、下列各式均用提取公因式法因式分解,其中 正确的是( D)
1.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3)
＝0
3.试说明:817－279－913能被45整除. 解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
=328－327－326 =326(32－3－1) =326×5 =325×45 ∴817－279－913能被45整除.
（1） 22525959911＋1252295599111＋252925599777 解解：：原原式式 =＝235＝ 23935295×（913（5131555＋1517＋ 5）117551） 155
（2） 992＋99 解：原式＝9999（×99991+）99
A. 6(x－2) ＋x(2－x)=(x－2)(6＋x)
B. x3＋3x2＋x=x(x2＋3x)
C. a(a－b)2＋ab(a－b)=a(a－b)
D. 3xn＋1＋6xn=3xn(x＋2) 2、m2(a－2) ＋m(2－a)分解因式等于（ C ）
A. (a－2)(m2－m) B. m(a－2)(m＋1)
练习：(x-y)2+y(y-x)
巧妙计算
(1) 13.8×0.125+86.2×1/8
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125 =0.125×(13.8+86.2) =0.125×100
=12.5
(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 × 5=15
(1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2
（3） （a） （a2） （2(m+n)）
（3mn） （-2xy）
ma+ mb +mc = m ( a+b+c )
如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
诊断 小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y)
错误
公因式没有提尽， 还可以提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y) 注意：公因式要提尽。
小亮解的有误吗？
把3x2 - 6xy+x分解因式 解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式
因式分解定义
• 把一个多项式化成几个整式 积的形式,这种变形叫做把 这个多项式分解因式.
● 想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?
分解因式与整式乘法是互逆过程
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法
解：原式＝2xmyn (2b－3xy2＋x2y) ②a(x＋y－z) －b(z－x－y) －c(x－z＋y)
解：原式＝(x＋y－z) (a＋b－c) ③(5x－2y)2 ＋(2x＋5y)2 解：原式＝25x2－20xy＋4y2＋4x2＋20xy＋25y2
＝29x2＋29y2
＝29(x2＋y2)
拓展运用：
1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
辨别下列运算是不是因式分解,并说明理由.
1. 4a2 (a 2b) 4a3 8a2b.( 不是 ) 2. 6ax 3ax2 3ax(2 x). ( 是 ) 3. x2 3x 2 x(x 3) 2.( 不是 ) 4. a2 4 (a 2)(a 2). ( 是 )
公因式的确定方法：
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项 都含有的相同字母的最低次数幂的积。
例: 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式。
3
系数：最大 公约数。
1 指数：相同
x
字母的最低
字母：相同 次幂
的字母
所以，公因式是3x。
练一练：
多项式
公因式 因式分解结果
2a2b 4abc 2ab 2ab( a 2c ) 5ab2c 15b3c2 5b2c 5b2c( a 3bc ) 4a3b2 10a2b3c 2a2b2 2a2b2 (2a 5bc)
后剩余的项是1。
. . . 正确解：原式=3x x-6y x+1 x
=x(3x-6y+1)
注意：某项提出莫漏1。
诊断
小华解的有误吗？
把 - x2+xy-xz分解因式
解：原式= - x(x+y-z)
错误
提出负号时括号里的项 没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
注意：首项有负常提负。
这个多项式有什么特点？
ma mb mc
相同因式m
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多 项式的公因式。
议一议：
多项式3ax2 y 6 x3 yz 有公因式吗？是什么？
3ax2 y 3 a x x y 6x3 yz 2 3 x x x y z 应提取的公因式为:_____3_x__2 y
C. m(a－2)(m－1) D.以上答案都不对
3、下列各式正确的是（D ） A. (x－y)2n=－(y－x)2n(n为正整数) B. 整式x2－10可分解为(x＋3)(x－3) －1 C. 整式x－y＋(y－x)2可分解为(x－y)(1＋y－x) D. a(x－2) －b(2－x)=(x－2)(a＋b)
(5) a(a+1)(a-1)= ____ (4) x2-6x+9=________
(5) a3-a=______
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什 么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它 有什么不同?
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形 是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a1)的变形与上面的变形互为逆过 程.
3.试计算: (1) 3a(a-2b+c) (2) (a+3)(a-3) (3) (a+2b)2 (4) (a-3b)2
解: (1) 3a(a-2b+c)
=3a2-6ab+3ac
(2) (a+3)(a-3)=a2-9 (3) (a+2b)2=a2+4ab+4b2 (4) (a-3b)2= a2-6ab+9b2
知识收藏：
１. 确定公因式的方法: ⑴ 公因式的系数应取各项系数的最大公因数.
⑵公因式应取相同因式的最低次幂. ２. 提取公因数后,括号内的多项式的项数与原 多项式的项数相同. ３. 利用整式的乘法来检验因式分解是否正确.
平昌县得胜中学 任 璟
根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的
变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
方法叫做提公因式法。
例1: 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
练一练：分解因式
(1) 3x2 9xy (2) 3mx 6nx2 (3) 2ab2 4a2b 10ab
例2：分解因式
2(a b)2 a b
添括号则： 括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括 号前面是“—”号，括到括号里的是各项都变号。
下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正？
= 99 ×(99+1)
=9900
小结
1、什么叫因式分解？
记住哟！
2、确定公因式的方法：
(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式.
4、提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；（2）小心漏掉1; （3）提出负号时,要注意变号.
做一做
计算下列个式: 根据左面的算式填空:
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 3x(x-1)= _____ (1) 3x2-3x=_______
(2) m(a+b+c) = _____ (3) (m+4)(m-4)= ____ (4) (x-3)2= _______
(2) ma+mb+mc=______
(3) m2-16=_________
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项 都含有的相同字母的最低次数幂的积。
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数
的最大公约数。
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相
同的字母。
3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小的
一个，即字母最低次幂
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法
(6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
因式分解
.规律总结
• 分解因式与整式乘法是互逆过程. • 分解因式要注意以下几点:
提取公因式法的一般步骤： （1）确定应提取的公因式 （2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式 （3）把多项式写成这两个因式的积的形式
练一练：分解因式
(1) 3a3 2a2 a a( 3a2 2a 1 )
(2) 6p3 10 p2 2 p 2 p( 3 p2 5 p 1 )
平昌县得胜中学 任 璟
平昌县得胜中学 任 璟
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2
1、计算（-2）101+（-2）100
2、已知, 2x y 4 xy 3 ,
求代数式 2x2 y xy2 的值。
例1：确定下列多项式的公因式，并分解因式
(1) 2x3 6x2 (2) 3 pq3 15 p3q (3) 4x2 8ax 2x (4) 3ab 6abx 9aby
4 、(a－b)3－(b－a)2=(a－b)2_(_a_－__b_－__1__) ____.
5 、分解因式18m2n(a－b)2－ 9mn2(b－a)=
_9_m__n_(_a_－__b_)_(_2_m__a_－__2_m__b_＋__n_)_.
6、分解因式： ①4xmynb－6xm＋1yn＋2＋2xm＋2yn＋1
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
(4) -x3y3-x2y2-xy
例2 把 12b(a-b)2 – 18(b-a)2 分解因式 解： 12b(a-b)2 – 18(b-a)3 =12b(a-b)2 + 18(a-b)3 =6(a-b)2 [2b+3(a-b)] =6(a-b)2 (2b+3a-3b) =6(a-b)2(3a-b)