矩形板

a O b/2 y x
把挠度w取为级数:
∞
mπ x w = ∑ Ym sin a m =1 其中m为正整数。板的边界条件得到满足。
将
mπ x w = ∑ Ym sin a m =1
∞
代入弹性曲面的微分方程，得
2 4 d 4 Ym mπ x q mπ d 2 Ym mπ ∑ d y 4 − 2 a d y 2 + a Ym sin a = D m =1 ∞
∞
最大挠度发生在板的中心，在中心处级数收敛很 快，例如对于正方形板b=a, 取两项得到
4q0a 4 q0a 4 w = 5 (0.314 − 0.004) = 0.00406 π D D
但在板的其它地方，级数收敛不快，在内力地表 达式中，级数地收敛更慢。 应用上面所述的李维解法，可以求得四边 简支的矩形薄板在受各种横向荷载时的解答， 以及它在某一边界上受分布弯矩或发生沉陷时 的解答。此外，这种薄板在某一角点发生沉陷 时的解答容易给出。于是可以得出矩形薄板的 一个一般解法。说明如下。
把q/D展开为级数:
q 2 ∞ aq mπ x mπ x sin d x sin = ∑ ∫ 0 D D a m =1 a a
与上式比较，可见有
2 d 4 Ym 2 a mπ x mπ d Ym mπ − 2 + Ym = q sin dx 4 2 ∫0 dy aD a a dy a 2 4
命固定边上的总斜率等于零，自由边上的分 布反力等于零，两自由边交点处的总沉陷等于零， 即得足够的方程来求解各个待定系数及未知值， 从而求得薄板最后的挠度、斜率、内力和反力。
当然，求解时的运算是很繁的。在工程设计 中，一般总是利用现成的图表，或是采用差分法 来进行数值计算。
对于在各种边界条件下承受各种横向荷载的 矩形薄板，很多专著和手册中给出了关于挠度和 弯矩的表格或图线，可供工程设计之用。 为了节省篇幅，对于只具有简支边和夹支边 而不具有自由边的矩形薄板，在弯矩的表格或图 线中大都只给出泊松系数等于某一指定数值时的 弯矩。但是，我们极易由此求得泊松系数等于其 它数值时的弯矩。
∞ ∞
和前面推导相似，可得
mπ x nπ y 4 ∫ ∫ q sin sin d xd y 0 0 a b Amn = 2 2 2 m n 4 π abD 2 + 2 + k a b
a b
当q为常数q0时
Amn = 16q0 m n π Dmn 2 + 2 + k a b
∞
边界条件:
( w) y =± b / 2 = 0, ∂2w 2 =0 ∂y y =± b / 2
可求得
2( 2 + α m th α m ) q0a 4 Am = − , 5 5 π Dm ch α m Am = 0, mπb αm = 2a Bm = 0 2q0a 4 Bm = 5 π Dm5 ch α m m = 1,3,5L
纳维叶解法： 优点：荷载可任意，级数运算比较简单； 缺点：某种级数只适用于某种边界条件 的板，解答中的三角级数收敛慢。
简支边矩形薄板的李维解法及一般解法 边界条件: b/2
( w) x =0 = 0, ( w) x =a = 0, ∂2w 2 =0 ∂x x =0 ∂2w 2 =0 ∂x x =a
这样．薄板所受横向分布力的总集度将为 q + p，因而薄板弯曲曲面的微分方程须改变 成为
D∇4 w = q + p = 1 − kw D∇4 w + kw = q
对于四边简支的矩形板，仍可以应用纳维叶 解法，这时把挠度w取为重调和级数:
mπ x nπ y w = ∑∑ Amn sin sin a b m =1 n =1
以两边简支两边固支 的板为例，采用结构力学 中的力法，以四边简支的 矩形薄板为基本系。 My a b/2 O b/2 y My x
a b/2 O b/2 y 对于任一夹支边，以 该边上的分布弯矩为 一个未知函数My(具有 待定系数的级数)； x
边界条件:
( w) y = ± b / 2 = 0, My ∂2w 2 =− ∂y D y =± b / 2
文克勒地基上的基础板 支承在弹性地基上的薄板，在工程上是常 常遇到的。当薄板承受横向荷载而发生挠度时， 弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所 谓弹性抗力。弹性地基的最简单的计算模型是 所谓文克勒地基：这种地基对薄板所施反力的 集度p，是和薄板的挠度w成正比，即 P= -k w 式中的比例常数称为基床系数或地基模量，它 的因次是[力][长度]－3。
2
O a b
C x
∂2w 2 =0 ∂y y =b
A
y
B
把挠度w取为重调和级数:
w = ∑∑ Amn sin
m =1 n =1 ∞ ∞
mπ x nπ y sin a b
其中m,n为正整数。板的边界条件得到 满足。代入弹性曲面的微分方程，得
m2 n 2 mπ x nπ y 4 π D ∑∑ 2 + 2 Amn sin sin =q a b a b m =1 n =1
比较下式两边
m2 n 2 mπ x nπ y 4 π D ∑∑ 2 + 2 Amn sin sin =q a b a b m =1 n =1
∞ ∞ 2
可得
Amn = 4∫
a 0
∫
b
0
q sin
mπ x nπ y sin d xd y a b 2 2 2 m n π 4 abD 2 + 2 a b
简支边矩形薄板
简支边矩形薄板的纳维叶解法 简支边矩形薄板的李维解法及一般解法 文克勒地基上的基础板
简支边矩形薄板的纳维叶解法 边界条件:
( w) x =0 = 0, ( w) x =a = 0, ( w) y =0 = 0, ( w) y =b = 0, ∂2w 2 =0 ∂x x =0 ∂2w 2 =0 ∂x x =a ∂ w 2 =0 ∂y y =0
4
的特解可取为
4q0 a 4q0 a 4 fm ( y) = = 5 πDm mπ π Dm5
( m = 1,3,5L)
注意板的挠度w应是y的偶函数，因而有Cm=0, Dm=0,即得
mπ y mπ y mπ y mπ x + Bm sh w = ∑ Am ch sin a a a a m =1 4q0a 4 ∞ 1 mπ x + 5 ∑,5L m5 sin a π D m =1,3
My a b/2 O b/2 y My x
补充边界条件:
∂w ∂w =0 ∂y y =± b / 2
即得足够的方程来求解各个 待定系数及未知值，从而求 得薄板最后的挠度、斜率、 内力和反力。
一般情况采用结构力学中的力法，位移法，或 混合法，以四边简支的矩形薄板为基本系。 对于任一夹支边，以该边上的分布弯矩为一个 未知函数(具有待定系数的级数)； 对于任一自由边，以该边上的挠度为一个未知 函数(具有待定系数的级数)； 对于两自由边相交的角点，还须以该角点的沉 陷为一个未知值。 应用上面所述的解答，求出固定边上的斜率， 自由边上的分布反力，以及二自由边交点处的集中 反力(当然是用上述待定系数及未知值以及已知荷 载来表示)。
2 2 6 2
( m = 1,3,5L; n = 1,3,5L)
于是得到挠度的表达式
mπ x nπ y sin sin ∞ 16q0 ∞ a b w= 6 ∑,5L n=1∑5L 2 π D m=1,3 , 3, m2 n2 mn 2 + 2 + k a b
m = 2,4,6L
代入
mπ y mπ y mπ y mπ x + Bm w = ∑ Am ch sh sin a a a a m =1 4q0a 4 ∞ 1 mπ x + 5 ∑,5L m5 sin a π D m =1,3
∞
得到
4q0a 4 w= 5 π D
α m 2 y mπ y mπ x 1 2 + α m th α m mπ y ∑,5L m5 1 − 2 ch α ch a + 2 ch α b sh a sin a m =1, 3 m m
当q为常数q0时
∫∫
0
a
b
0
q sin
a
= q0 ∫
0
∫
b
0
mπ x nπ y sin d xd y a b mπ x nπ y sin sin d xd y a b
q0ab = 2 (1 − cos mπ )(1 − cos nπ ) π mn
于是可以得到
Amn = 4q0 (1 − cos mπ )(1 − cos nπ ) m n π 6 Dmn 2 + 2 a b
相关内力可由该式求得。
当板在某点(ξη)受集中荷载F时，公式
mπ x nπ y 4 ∫ ∫ q sin sin d xd y 0 0 a b Amn = 2 2 2 m n 4 π abD 2 + 2 a b
a b
中点(ξη) dxdy上的荷载F /dxdy来代替分布荷 载q，其余各处荷载为零，因此
fm (y)是任意的一个特解，应从上式右边积分的 结果来选择；Am、 Bm 、 Cm 、 Dm 待定常数， 决定于边界条件。
将Ym代入
mπ x w = ∑ Ym sin a m =1
得到
mπ y mπ y mπ y mπ x w = ∑ Am ch + Bm sh sin a a a a m =1 mπ y mπ y mπ y mπ x + Cm sh + Dm ch + f m ( y ) sin a a a a
2 2 2
或
Amn = 16q0 m n π Dmn 2 + 2 a b
2 2 6 2
( m = 1,3,5L; n = 1,3,5L)
Байду номын сангаас
于是得到挠度的表达式
mπ x nπ y sin sin ∞ 16q0 ∞ a b w= 6 ∑,5L n=1∑5L 2 2 2 π D m=1,3 , 3, m n mn 2 + 2 a b
微分方程
2 d 4 Ym 2 a mπ x mπ d Ym mπ − 2 + Ym = q sin dx 4 2 ∫0 dy aD a a dy a 2 4
的解可以写为
mπ y mπ y mπ y Ym = Am ch + Bm sh a a a mπ y mπ y mπ y + Cm sh + Dm ch + fm ( y) a a a
Amn = F mπ ξ nπ η sin sin d xd y 2 2 2 d xd y a b m n 4 π abD 2 + 2 a b 4F mπ ξ nπ η sin sin = 2 a b m2 n2 4 π abD 2 + 2 a b 4
∞ ∞ 2
把q展开为重调和级数:
q = ∑∑ Cmn sin
m =1 n =1 ∞ ∞
mπ x nπ y sin a b
其中
Cmn
4 a b mπ x nπ y = q sin sin d xd y ∫0 ∫0 ab a b
于是
mπ x nπ y mπ x nπ y 4 ∞ ∞ a b q= q sin sin d x d y sin sin ∑∑ ab m =1 n =1 ∫0 ∫0 a b a b
∞
∞
例 如四边简支板的荷载为均布荷载q=q0，这时
2 a mπ x 2q0 ∫0 q sin a d x = πDm (1 − cos mπ ) aD 4q0 = ( m = 1,3,5L) πDm
这时微分方程
Ym = Am ch mπ y mπ y mπ y + Bm sh a a a mπ y mπ y mπ y + Cm sh + Dm ch + fm ( y) a a a