四边简支矩形板计算
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算1. 基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。
板的振动理论是以以下几个假定为基础的：1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。
这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。
2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。
3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。
在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：022********=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂twm y x w D y w D x w D （1） 等式中)1(1223ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性模量和泊松比，h 为板的厚度。
微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1y x W t B t A w m m m m m m ωω+=∑∞=。
被表示成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：0222244444=-∂∂+∂∂+∂∂W m yx WD y W D x W D ω (2) 2. 边界条件振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例，其相应的边界条件为：固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=∂∂=x xW； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0==x W ，0)(022=∂∂=x xW；自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=∂∂+∂∂=x y W x W ν，0))2((02333=∂∂∂-+∂∂=x yx Wx W ν 对于四边支承板有如下6中不同边界条件：（a ） （b ）（c ） （d ）（e ） （f ）一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。
四边简支
LB1矩形板计算项目名称_____________日期_____________设计者_____________校对者_____________一、构件编号: LB1二、示意图三、依据规范《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001《混凝土结构设计规范》 GB50010-2002四、计算信息1.几何参数计算跨度: Lx = 8700 mm; Ly = 8400 mm板厚: h = 290 mm2.材料信息混凝土等级: C40 fc=19.1N/mm2 ft=1.71N/mm2 ftk=2.39N/mm2Ec=3.25×104N/mm2钢筋种类: HRB400 fy = 360 N/mm2Es = 2.0×105 N/mm2最小配筋率: ρ= 0.214%纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 20mm保护层厚度: c = 15mm3.荷载信息(均布荷载)永久荷载分项系数: γG = 1.200可变荷载分项系数: γQ = 1.400准永久值系数: ψq = 0.500永久荷载标准值: ｑgk = 9.500kN/m2可变荷载标准值: ｑqk = 3.500kN/m24.计算方法:弹性板5.边界条件(上端/下端/左端/右端):简支/简支/简支/简支6.设计参数结构重要性系数: γo = 1.00泊松比:μ = 0.200五、计算参数:1.计算板的跨度: Lo = 8400 mm2.计算板的有效高度: ho = h-as=290-20=270 mm六、配筋计算(lx/ly=8700/8400=1.036<2.000 所以按双向板计算):1.X向底板钢筋1) 确定X向板底弯矩Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0365+0.0397*0.200)*(1.200*9.500+1.400*3.500)*8.42 = 51.139 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*51.139×106/(1.00*19.1*1000*270*270)= 0.0373) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.037) = 0.0374) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*19.1*1000*270*0.037/360 = 536mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 536/(1000*290) = 0.185%ρ<ρmin = 0.214% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.214%*1000*290 = 621 mm2采取方案d12@150, 实配面积754 mm22.Y向底板钢筋1) 确定Y向板底弯矩My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0397+0.0365*0.200)*(1.200*9.500+1.400*3.500)*8.42 = 54.058 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*54.058×106/(1.00*19.1*1000*270*270)= 0.0393) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.039) = 0.0404) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*19.1*1000*270*0.040/360 = 567mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 567/(1000*290) = 0.196%ρ<ρmin = 0.214% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.214%*1000*290 = 621 mm2采取方案d20@200, 实配面积1571 mm2七、跨中挠度计算：Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值1.计算荷载效应Mk = Mgk + Mqk= (0.0397+0.0365*0.200)*(9.500+3.500)*8.42 = 43.113 kN*mMq = Mgk+ψq*Mqk= (0.0397+0.0365*0.200)*(9.500+0.500*3.500)*8.42 = 37.310 kN*m2.计算受弯构件的短期刚度 Bs1) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk = Mk/(0.87*ho*As) (混凝土规范式 8.1.3－3)= 43.113×106/(0.87*270*1571) = 116.830 N/mm2) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积: Ate = 0.5*b*h = 0.5*1000*290= 145000mm2ρte = As/Ate (混凝土规范式 8.1.2－4)= 1571/145000 = 1.083%3) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) (混凝土规范式 8.1.2－2)= 1.1-0.65*2.39/(1.083%*116.830) = -0.127因为ψ不能小于最小值0.2，所以取ψ = 0.24) 计算钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αEαE = Es/Ec = 2.0×105/3.25×104 = 6.1545) 计算受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf矩形截面，γf=06) 计算纵向受拉钢筋配筋率ρρ = As/(b*ho)= 1571/(1000*270) = 0.582%7) 计算受弯构件的短期刚度 BsBs = Es*As*ho2/[1.15ψ+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混凝土规范式8.2.3--1) = 2.0×105*1571*2702/[1.15*0.200+0.2+6*6.154*0.582%/(1+3.5*0.0)]= 3.552×104 kN*m23.计算受弯构件的长期刚度B1) 确定考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ当ρ'=0时，θ=2.0 (混凝土规范第 8.2.5 条)2) 计算受弯构件的长期刚度 BB = Mk/(Mq*(θ-1)+Mk)*Bs (混凝土规范式 8.2.2)= 43.113/(37.310*(2.0-1)+43.113)*3.552×104= 1.904×104 kN*m24.计算受弯构件挠度f max = f*(q gk+q qk)*Lo4/B= 0.00436*(9.500+3.500)*8.44/1.904×104= 14.808mm5.验算挠度挠度限值fo=Lo/250=8400/250=33.600mmfmax=14.808mm≤fo=33.600mm，满足规范要求!八、裂缝宽度验算:1.跨中X方向裂缝1) 计算荷载效应Mx = 表中系数(ｑgk+ｑqk)*Lo2= (0.0365+0.0397*0.200)*(9.500+3.500)*8.42= 40.785 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk=Mk/(0.87*ho*As) (混凝土规范式 8.1.3－3)=40.785×106/(0.87*270*754)=230.277N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*290=145000 mm2ρte=As/Ate (混凝土规范式 8.1.2－4)=754/145000 = 0.0052因为ρte=0.0052 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) (混凝土规范式 8.1.2－2)=1.1-0.65*2.390/(0.0100*230.277)=0.4257) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/150=68) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=6*12*12/(6*1.0*12)=129) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsk/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混凝土规范式 8.1.2－1) =2.1*0.425*230.277/2.0×105*(1.9*20+0.08*12/0.0100)=0.1378mm ≤ 0.30, 满足规范要求2.跨中Y方向裂缝1) 计算荷载效应My = 表中系数(ｑgk+ｑqk)*Lo2= (0.0397+0.0365*0.200)*(9.500+3.500)*8.42= 43.113 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk=Mk/(0.87*ho*As) (混凝土规范式 8.1.3－3)=43.113×106/(0.87*270*1571)=116.830N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*290=145000 mm2ρte=As/Ate (混凝土规范式 8.1.2－4)=1571/145000 = 0.01086) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) (混凝土规范式 8.1.2－2)=1.1-0.65*2.390/(0.0108*116.830)=-0.127因为ψ=-0.127 < 0.2,所以让ψ=0.27) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/200=58) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=5*20*20/(5*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsk/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混凝土规范式 8.1.2－1) =2.1*0.200*116.830/2.0×105*(1.9*20+0.08*20/0.0108)=0.0456mm ≤ 0.30, 满足规范要求。
矩形板 计算书LB
LB-1矩形板计算项目名称_____________日期_____________设计者_____________校对者_____________一、构件编号: LB-1二、示意图三、依据规范《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001《混凝土结构设计规范》 GB50010-2010四、计算信息1.几何参数计算跨度: Lx = 7920 mm; Ly = 5505 mm板厚: h = 200 mm2.材料信息混凝土等级: C25 fc=11.9N/mm2 ft=1.27N/mm2 ftk=1.78N/mm2Ec=2.80×104N/mm2钢筋种类: HRB335 fy = 300 N/mm2Es = 2.0×105 N/mm2最小配筋率: ρ= 0.200%纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 20mm保护层厚度: c = 10mm3.荷载信息(均布荷载)永久荷载分项系数: γG = 1.200可变荷载分项系数: γQ = 1.400准永久值系数: ψq = 1.000永久荷载标准值: ｑgk = 7.000kN/m2可变荷载标准值: ｑqk = 4.000kN/m24.计算方法:弹性板5.边界条件(上端/下端/左端/右端):固定/固定/固定/固定6.设计参数结构重要性系数: γo = 1.00泊松比:μ = 0.200五、计算参数:1.计算板的跨度: Lo = 5505 mm2.计算板的有效高度: ho = h-as=200-20=180 mm六、配筋计算(lx/ly=7920/5505=1.439<2.000 所以按双向板计算):1.X向底板钢筋1) 确定X向板底弯矩Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0111+0.0323*0.200)*(1.200*7.000+1.400*4.000)*5.5052 = 7.463 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*7.463×106/(1.00*11.9*1000*180*180)= 0.0193) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.019) = 0.0204) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*11.9*1000*180*0.020/300= 140mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 140/(1000*200) = 0.070%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*200 = 400 mm2采取方案 8@125, 实配面积402 mm22.Y向底板钢筋1) 确定Y向板底弯矩My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0323+0.0111*0.200)*(1.200*7.000+1.400*4.000)*5.5052 = 14.663 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*14.663×106/(1.00*11.9*1000*180*180)= 0.0383) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.038) = 0.0394) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*11.9*1000*180*0.039/300= 277mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 277/(1000*200) = 0.138%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*200 = 400 mm2采取方案 8@125, 实配面积402 mm23.X向支座左边钢筋1) 确定左边支座弯矩M o x = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0569*(1.200*7.000+1.400*4.000)*5.5052= 24.149 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o x/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*24.149×106/(1.00*11.9*1000*180*180)= 0.0633) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.063) = 0.0654) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*11.9*1000*180*0.065/300 = 462mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 462/(1000*200) = 0.231%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案 10@160, 实配面积490 mm24.X向支座右边钢筋1) 确定右边支座弯矩M o x = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0569*(1.200*7.000+1.400*4.000)*5.5052= 24.149 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o x/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*24.149×106/(1.00*11.9*1000*180*180)= 0.0633) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.063) = 0.0654) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*11.9*1000*180*0.065/300 = 462mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 462/(1000*200) = 0.231%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案 10@160, 实配面积490 mm25.Y向上边支座钢筋1) 确定上边支座弯矩M o y = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0738*(1.200*7.000+1.400*4.000)*5.5052= 31.313 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o y/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*31.313×106/(1.00*11.9*1000*180*180)= 0.0813) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.081) = 0.0854) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*11.9*1000*180*0.085/300= 606mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 606/(1000*200) = 0.303%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案 10@125, 实配面积628 mm26.Y向下边支座钢筋1) 确定下边支座弯矩M o y = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0738*(1.200*7.000+1.400*4.000)*5.5052= 31.313 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o y/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*31.313×106/(1.00*11.9*1000*180*180)= 0.0813) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.081) = 0.0854) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*11.9*1000*180*0.085/300= 606mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 606/(1000*200) = 0.303%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案 10@125, 实配面积628 mm2七、跨中挠度计算：Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值1.计算荷载效应Mk = Mgk + Mqk= (0.0323+0.0111*0.200)*(7.000+4.000)*5.5052 = 11.521 kN*mMq = Mgk+ψq*Mqk= (0.0323+0.0111*0.200)*(7.000+1.0*4.000)*5.5052 = 11.521 kN*m 2.计算受弯构件的短期刚度 Bs1) 计算按荷载荷载效应的两种组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk = Mk/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 11.521×106/(0.87*180*402) = 183.010 N/mmσsq = Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 11.521×106/(0.87*180*402) = 183.010 N/mm2) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积: Ate = 0.5*b*h = 0.5*1000*200= 100000mm2ρte = As/Ate 混规(7.1.2-4)= 402/100000 = 0.402%3) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψk = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*1.78/(0.402%*183.010) = -0.473因为ψ不能小于最小值0.2，所以取ψk = 0.2ψq = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*1.78/(0.402%*183.010) = -0.473因为ψ不能小于最小值0.2，所以取ψq = 0.24) 计算钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αEαE = Es/Ec = 2.0×105/2.80×104 = 7.1435) 计算受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf矩形截面，γf=06) 计算纵向受拉钢筋配筋率ρρ = As/(b*ho)= 402/(1000*180) = 0.223%7) 计算受弯构件的短期刚度 BsBsk = Es*As*ho2/[1.15ψk+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*402*1802/[1.15*-0.473+0.2+6*7.143*0.223%/(1+3.5*0.0)]= 4.955×103 kN*m2Bsq = Es*As*ho2/[1.15ψq+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*402*1802/[1.15*-0.473+0.2+6*7.143*0.223%/(1+3.5*0.0)]= 4.955×103 kN*m23.计算受弯构件的长期刚度B1) 确定考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ当ρ'=0时，θ=2.0 混规(7.2.5)2) 计算受弯构件的长期刚度 BBk = Mk/(Mq*(θ-1)+Mk)*Bs (混规(7.2.2-1))= 11.521/(11.521*(2.0-1)+11.521)*4.955×103= 2.478×103 kN*m2Bq = Bsq/θ (混规(7.2.2-2))= 4.955×103/2.0= 2.478×103 kN*m2B = min(Bk,Bq)= min(2477.543,2477.543)= 2477.5434.计算受弯构件挠度f max = f*(q gk+Ψq*q qk)*Lo4/B= 0.00212*(7.000+1.0*4.000)*5.5054/2.478×103= 8.656mm5.验算挠度挠度限值fo=Lo/200=5505/200=27.525mmfmax=8.656mm≤fo=27.525mm，满足规范要求!八、裂缝宽度验算:1.跨中X方向裂缝1) 计算荷载效应Mx = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0111+0.0323*0.200)*(7.000+1.00*4.000)*5.5052= 5.864 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=5.864×106/(0.87*180*402)=93.144N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*200=100000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=402/100000 = 0.0040因为ρte=0.0040 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*1.780/(0.0100*93.144)=-0.142因为ψ=-0.142 < 0.2,所以让ψ=0.27) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/125=88) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=8*8*8/(8*0.7*8)=119) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.200*93.144/2.0×105*(1.9*20+0.08*11/0.0100)=0.0229mm ≤ 0.30, 满足规范要求2.跨中Y方向裂缝1) 计算荷载效应My = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0323+0.0111*0.200)*(7.000+1.00*4.000)*5.5052= 11.521 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=11.521×106/(0.87*180*402)=183.010N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*200=100000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=402/100000 = 0.0040因为ρte=0.0040 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*1.780/(0.0100*183.010)=0.4687) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/125=88) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=8*8*8/(8*0.7*8)=119) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.468*183.010/2.0×105*(1.9*20+0.08*11/0.0100)=0.1053mm ≤ 0.30, 满足规范要求3.支座上方向裂缝1) 计算荷载效应M o y = 表中系数((ｑgk+ψｑqk)*Lo2)= 0.0738*(7.000+1.00*4.000)*5.5052= 24.603 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=24.603×106/(0.87*180*628)=250.175N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*200=100000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=628/100000 = 0.0063因为ρte=0.0063 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*1.780/(0.0100*250.175)=0.6387) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/125=88) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=8*10*10/(8*0.7*10)=149) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.638*250.175/2.0×105*(1.9*20+0.08*14/0.0100)=0.2307mm ≤ 0.30, 满足规范要求4.支座下方向裂缝1) 计算荷载效应M o y = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0738*(7.000+1.00*4.000)*5.5052= 24.603 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=24.603×106/(0.87*180*628)=250.175N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*200=100000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=628/100000 = 0.0063因为ρte=0.0063 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*1.780/(0.0100*250.175)=0.6387) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/125=88) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=8*10*10/(8*0.7*10)=149) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.638*250.175/2.0×105*(1.9*20+0.08*14/0.0100)=0.2307mm ≤ 0.30, 满足规范要求5.支座左方向裂缝1) 计算荷载效应M o x = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0569*(7.000+1.00*4.000)*5.5052= 18.974 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=18.974×106/(0.87*180*490)=247.276N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*200=100000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=490/100000 = 0.0049因为ρte=0.0049 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*1.780/(0.0100*247.276)=0.6327) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/160=68) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=6*10*10/(6*0.7*10)=149) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.632*247.276/2.0×105*(1.9*20+0.08*14/0.0100)=0.2261mm ≤ 0.30, 满足规范要求6.支座右方向裂缝1) 计算荷载效应M o x = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0569*(7.000+1.00*4.000)*5.5052= 18.974 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=18.974×106/(0.87*180*490)=247.276N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*200=100000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=490/100000 = 0.0049因为ρte=0.0049 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*1.780/(0.0100*247.276)=0.6327) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/160=68) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=6*10*10/(6*0.7*10)=149) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.632*247.276/2.0×105*(1.9*20+0.08*14/0.0100)=0.2261mm ≤ 0.30, 满足规范要求。
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算四边支承矩形薄板的自振频率是指薄板在四个边界被支承的情况下，能够在固有模态下以多少频率振动。
这在很多工程和物理问题中都非常重要，因为它涉及到材料和结构的固有特性。
以下将详细介绍如何计算四边支承矩形薄板的自振频率。
首先，我们需要了解薄板的振动方程。
对于四边支承矩形薄板来说，其振动方程为二维拉普拉斯方程：∇^2u+k^2u=0其中，u是振幅，∇^2是二维拉普拉斯算子，k是波数，k=2πf/c，f为频率，c为波速。
接下来，我们需要根据边界条件来确定薄板的固有频率，边界条件一般可以是位移边界条件、速度边界条件或应力边界条件。
在四边支承的情况下，我们常常使用位移边界条件。
对于四边支承的矩形薄板，位移边界条件可以表示为：u(0,y)=u(a,y)=0u(x,0)=u(x,b)=0其中，(0,y)和(a,y)表示薄板的两个平行边界，(x,0)和(x,b)表示薄板的两个垂直边界。
这些边界条件表示，在边界上薄板的位移为零，即薄板被四边支撑。
这些边界条件可以用来解二维拉普拉斯方程。
接下来，在振动方程中代入位移边界条件，我们可以得到一个特征值问题。
通过求解特征值问题，我们可以得到薄板的固有频率和对应的振型。
具体来说，我们需要通过使用分离变量法，将二维拉普拉斯方程转化为两个一维波动方程。
然后，我们可以根据一维波动方程的边值条件来解特征值问题。
解特征值问题的方法有很多种，常见的包括解析解法和数值解法。
解析解法适用于一些简单的情况，如正方形或矩形薄板。
对于复杂的几何形状或边界条件，数值解法（如有限元法或边界元法）可能更合适。
在使用数值解法时，我们需要将薄板分割成小的单元，并在每个单元上使用适当的数学模型和数值方法。
然后，我们可以通过迭代计算来获得薄板的固有频率。
在实际计算中，我们还需要确定薄板的材料参数，如杨氏模量、泊松比和密度。
这些材料参数可以通过实验测试获得，或者根据已有的文献和标准进行估算。
文克尔地基上四边自由矩形带肋梁板的计算
文 采用 的 的位 移 函数 ｗ ｘ ｙ： （， ）
１ ． １ ２３ １４． １ ７ １－ １ １
１ ． ｌ４ ８ ｌ ６７ ４２ ｌ ． ｌ ． １ ． ｌ ７４ １ ９４ ６７ ｌ ． １ ． １ ． ｌ ９６ １ ． ８９ １ ． ２１７ ２ ． １ ． １ ３７ ０８ ２１５ ２ ．
．
）姗 】 ２
肋 梁 的应变 能 ，不考 虑 剪切 变 形 影 响 时可
图 １ 带肋梁板结构简图
７ ４
维普资讯
应 用荟 萃
２ 里 兹法 的应 用
表 １ 基础 的沉 降 （ 单位 ：ｍｍ）
里 兹法 的基本 思 路 是选 取满 足 四边边 界 条件
２ ８ ７ ４ ３ ７ ９ １ １ １ ２ ２ ２ ３ ｝ １
ｗ ， ＝∑∑Ａ （ 口 ６（ ） （ ｘ） ） ／ １ ／ （ ） １
０ ０ ０
０
ｍ＝－ ｌ － ｌ － ｎ＝－
所 选 的正交 函数 系 ２ ９：ｌ ｌ ９ ９ ７ Ｏ ［为 ０ ８ ］ｌ ３ ４ ４
＝
一
，
１
。 ） ２３ 一 ） （ ＝ ４ （ 去 号 ￣
引起 的应 变 能 ，可 表 示 为 ：
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『Hale Waihona Puke 『 ｒ ｒ ２ ｒ Ｖ ｒ
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１ ． ｌ ０６ ｌ２－ ００ ｌ ． ｌ ３
弹性力学--纳维解法(板壳理论)
板壳理论课程设计对工科各专业说来，弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。
然而，它们之间还存在着一些不同。
材力中，基本上只研究杆状结构，即长度远大于高度和宽度的构件。
而材料力学中主要研究的是这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。
结构力学中，主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即杆件系统。
至于非杆状结构，则是弹性力学的主要研究内容。
在弹性力学中，研究杆状结构一般都不用诸如一些关于构建的形变状态或应力分布的假定，因而得到的结果就比较精确。
从8个方程8个未知量，到圣维南原理、相容方程；从逆解法、半逆解法到差分法、变分法，邱老师的课讲的十分生动，同学们也听得十分认真。
到弹性力学下册，也就是板壳理论，主要是研究薄板的小挠度变形及其应力、应变。
求解四边简支矩形薄板在载荷下的挠度，以及矩形薄板的莱维法解及一般解法。
另外，变厚度矩形和圆形薄板的挠度求解问题。
差分法中引进了较为精确的边界条件以及在均布载荷和集中载荷下的不同解法。
在课程设计的过程中，在自学Matlab 的过程中完成了纳维解法中挠度表达式的表示和循环收敛过程，并且完成了差分法中不同网格划分下的差分方程化为矩阵形式后的求解过程。
除此之外，还学会了使用ABAQUS 创建板并定义厚度以减少同等情况下创建实体添加边界条件不准确对计算结果产生的影响。
尽管和差分法与精确解的误差分析相比，误差还是比较大，但相比于创建三维实体并在底边添加约束条件相比，误差还是减少了很多。
在计算过程中，先是采用厚度0.2m 薄板，有限元方法的误差过大，而当把薄板的厚度改为0.1m 时，误差变小。
两种厚度的薄板都进行了同样的计算。
四边简支的薄板在均布载荷作用下位移的最大值，薄板的尺寸为长宽高：110.1⨯⨯ ，均布载荷为21000/q N m = ，弹性模量E=205GPa ，泊松比=0.3μ， 分别用：纳维法、差分法以及有限元方法进行求解并比较求得的结果。
局部均布荷载作用下四边支承矩形板的内力计算
局部均布荷载作用下四边支承矩形板的内力计算作者：杨成永马文辉韩薛果程霖来源：《湖南大学学报·自然科学版》2020年第11期摘要：以矩形板的Navier解為基础，采用带补充项的傅里叶级数作为挠度函数，研究了局部均布荷载作用下四边支承矩形薄板的弯曲问题. 推导了确定待定系数的线性代数方程组，给出了简支边和固支边不同组合条件下的统一计算公式. 讨论了带补充项法级数解的收敛速度，并与叠加法级数解及有限元数值解分别进行了精度和计算量的对比. 结果表明，带补充项法的级数解达到收敛的级数项数约为40项. 带补充项法的级数解与叠加法级数解具有同样的求解精度. 有限元解随网格的细分，计算结果逐渐接近级数法解. 级数解法的计算量与有限元解法相比是微不足道的. 研究成果适于进行构筑物顶板受局部均布荷载作用的结构计算.关键词：矩形板;四边支承;局部均布荷载;级数解;求解精度中图分类号：U411 文献标志码：AInternal Force Calculation of Four Edges Supported RectangularPlates under Local Uniformly Distributed LoadYANG Chengyong，MA Wenhui†，HAN Xueguo，CHENG Lin（School of Civil Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）Abstract：On the basis of Navier’s s olution to rectangular plates， the bending problem was studied for the four edges supported thin plates under local uniformly distributed load， where the double Fourier series with additional terms was adopted as the deflection function of the plates. Linear algebraic equations for solving the undetermined coefficients were derived. A unified solution was obtained to the rectangular plates with clamped and simply supported edges. The rate of convergence was discussed on the solution of the series method with additional terms. The proposed method was compared both with superposition series method on accuracy， and with finite element numerical method on computational cost. The results show that 40 terms should be employed for a convergence of the series. The method with additional terms shows the same accuracy of solution as superposition series method does. The solution by finite element method gradually approaches that by the series method as the mesh gets finer and finer. In comparison with finite element method， the computational time by the series method is negligible. This work is applicable for structural analysis of the top plates of underground buildings under truck wheel pressure.Key words：rectangular plate;four supported edges;locally uniformly distributed load;series solution;solution accuracy地铁、热力和燃气等地下工程中，地下构筑物的顶板多为四边支承的薄板，板上常承受局部均布荷载如汽车轮压作用. 为了确定像汽车轮压这类荷载在板内产生的最大挠度和内力，需要进行任意位置局部均布荷载作用下挠度和内力的计算.对四边支承的矩形薄板问题，可以从四边简支板的Navier解出发，采用叠加方法[1-2]或加补充项的方法[3-4]解决. 如：蔡长安等[5-6]以带附加补充项的Fourier级数作为挠度函数，求解了Winkler地基及Pasternak地基上自由边矩形板的弯曲问题. 许琪楼等[7-8]采用一种能满足自由角点条件的挠度表达式，解决了二邻边支承二邻边自由矩形板和二邻边及对角点支承矩形板的弯曲问题. 他们还采用叠加方法[9-10]，提出了四边支承矩形板及一边固定一角点或二角点支承的矩形板的统一求解方法. 岳建勇等[11-12]采用一种双三角级数形式的挠度函数，得到了三边固定一边自由及两对边固定两对边自由矩形板的精确解. 钟阳等[13]在辛几何空间中利用分离变量法推导出了四边固支弹性矩形薄板的精确解析表达式. 于天崇等[14]假定矩形板的抗弯刚度沿板的宽度方向按照一般幂函数形式变化，研究了四边简支一对边受弯作用下面内变刚度矩形板的弯曲问题. 肖闪闪等[15]采用载荷叠加法研究了集中载荷下四边固支正交各向异性矩形板的线性弯曲，并讨论了经典Kirchhoff薄板假设对于集中载荷的适用性.可以看出，目前已有的研究成果中，叠加方法应用较多. 而补充项的方法公式简单，能够对各种边界条件进行统一处理.既有研究工作存在以下不足：1）没有直接给出局部均布荷载作用下四边支承板内力计算公式，致使工程技术人员在实践中对级数解的研究成果难以利用. 2）对级数解的收敛速度讨论不充分，不清楚究竟需要取多少项级数才能满足精度要求. 3）级数解与有限元数值解在计算精度和速度方面没有进行仔细对比. 不了解两种解法在精度上能达到多高的吻合程度;不清楚级数解法的计算速度比有限元法具体快多少.为了探讨上述问题，本文采用补充项方法进行四边支承板计算，提出了挠度及弯矩的计算公式;讨论了解法的收敛速度，并与既有文献进行了求解结果正确性的验证;最后与有限元数值结果在求解精度和计算量上进行了对比.1 微分方程及右端荷载采用图1所示的坐标系. 图中a、b为板的长度和宽度，m;x0、y0为局部均布荷载中心的坐标，m;c、d为局部均布荷载的分布长度和宽度，m.式中：[Δ]2为拉普拉斯算子，[Δ]2 = + ;D为板的抗弯刚度，D = ;h为板的厚度，m;E为板的弹性模量，kPa;μ为板的泊松比.为了对公式（1）按傅里叶级数法求解，对其右端荷载q（x，y）进行傅里叶级数展开为：对局部均布荷载，公式（2）中的傅里叶系数qij为（参见文献[1]第111页上的公式（a））[1]：式中：q0为局部均布荷载，kPa.2 挠度和弯矩计算对不同支承条件下的矩形板，文献[3]给出了带补充项的挠度表达式. 针对本文的四边支承矩形板，有简化的挠度表达式为：3 待定系数的确定公式（5）～（10）中待定系数Aj、Bj、Ci、Di需要根据板边的支承条件确定. 由于Aj、Bj、Ci、Di分别为左边、右边、前边及后边法向弯矩正弦级数的待定系数，因此当板的某边为简支边时，按公式（8）可知，相应的待定系数取为0. 某边为固支时，按如下方法计算待定系数.当板左边（x = 0边）为固支时，由式（4）在x = 0处取w对x的偏导数：在利用公式（17）～（20）确定待定系数Aj、Bj、Ci、Di时，若某一边、某二边甚至某三边为简支，则舍弃相应的方程，留下剩余的方程组成方程组解出待定系数. 以板左边及前边固支其余两边简支为例，此时由于右边和后边简支，故待定系数Bj = Di = 0;舍弃公式（18）及（20）所列方程，剩下公式（17）及（19）所列方程组成方程组，并且在留下的方程中，置Bj及Di为0，进而解出左边及前边两个固支边的待定系数Aj和Ci即可.4 计算与分析4.1 计算步骤采用本文公式计算四边支承板挠度和弯矩的步骤如下：1）若板的四边全为简支边，则取Aj = Bj = Ci = Di = 0. 若板存有固支边，则从公式（17）～（20）中选择相应的公式组成方程组，计算待定系数Aj、Bj、Ci或Di.2）确定系数Aj、Bj、Ci及Di后，按公式（7）计算挠度的傅里叶系数wij .3）最后，按公式（4）计算挠度，按公式（9）及（10）计算弯矩.本文后续计算中，线性方程组的求解采用克劳特（Crout）分解法. 计算程序采用C語言编写，程序中实型变量采用双精度.4.2 计算参数取板沿x方向长度a = 5 m，y方向长度b = 7 m，厚h = 0.1 m;板弹性模量E = 3 × 107 kPa，泊松比μ =0.3;荷载按公路桥涵设计通用规范（JTG D60—2015）取一个汽车轮压传递到板上形成的局部均布荷载. 轴重取120 kN，单轮地面分布尺寸0.6 m × 0.2 m，轮压扩散角35°，板埋深0.714 m. 由此得作用在板上的局部均布荷载q0 = 31.25 kPa，荷载x方向分布长度c = 1.6 m，y方向分布长度d = 1.2 m;荷载中心坐标x0 = 2.5 m，y0 = 3.5 m.4.3 收敛速度的讨论采用4.2节的计算参数，板四边均固支，取级数项数为5项、10项、20项、30项、40项、50项、60项及80项，计算结果列于表1.表1及后续表格中，“板中心挠度”“板中心x方向弯矩”“板中心y方向弯矩”“长边中点x 方向弯矩”分别为无量纲量、、、.从表1看出，30项后，挠度计算结果的前5位有效数字不再发生变化;40项后，弯矩计算结果的前4位有效数字不再发生变化. 因此可得出，40项时，级数已可视为收敛. 后续计算中采用40项级数的计算结果.4.4 计算结果与既有文献对比4.4.1 与文献[1]对比文献[1]中有四边固支板受满布均布荷载作用的计算结果. 为与之对比，采用4.2节的计算参数，板四边均固支，荷载改为满布，荷载强度不变，仍为q0 = 31.25 kPa. 计算结果列于表2.由表2看出，2种方法的结果前2位有效数字相同. 由于文献[1]表格的有效数字只有3位，可以认为表2中2种结果是一致的.可以看出，目前已有的研究成果中，叠加方法应用较多. 而补充项的方法公式简单，能够对各种边界条件进行统一处理.既有研究工作存在以下不足：1）没有直接给出局部均布荷载作用下四边支承板内力计算公式，致使工程技术人员在实践中对级数解的研究成果难以利用. 2）对级数解的收敛速度讨论不充分，不清楚究竟需要取多少项级数才能满足精度要求. 3）级数解与有限元数值解在计算精度和速度方面没有进行仔细对比. 不了解两种解法在精度上能达到多高的吻合程度;不清楚级数解法的计算速度比有限元法具体快多少.为了探讨上述问题，本文采用补充项方法进行四边支承板计算，提出了挠度及弯矩的计算公式;讨论了解法的收敛速度，并与既有文献进行了求解结果正确性的验证;最后与有限元数值结果在求解精度和计算量上进行了对比.1 微分方程及右端荷载采用图1所示的坐标系. 图中a、b为板的长度和宽度，m;x0、y0为局部均布荷载中心的坐标，m;c、d为局部均布荷载的分布长度和宽度，m.式中：[Δ]2为拉普拉斯算子，[Δ]2 = + ;D为板的抗弯刚度，D = ;h为板的厚度，m;E为板的弹性模量，kPa;μ为板的泊松比.为了对公式（1）按傅里叶级数法求解，对其右端荷载q（x，y）进行傅里叶级数展开为：对局部均布荷载，公式（2）中的傅里叶系数qij为（参见文献[1]第111页上的公式（a））[1]：式中：q0为局部均布荷载，kPa.2 挠度和弯矩计算对不同支承条件下的矩形板，文献[3]给出了带补充项的挠度表达式. 针对本文的四边支承矩形板，有简化的挠度表达式为：3 待定系数的确定公式（5）～（10）中待定系数Aj、Bj、Ci、Di需要根据板边的支承条件确定. 由于Aj、Bj、Ci、Di分别为左边、右边、前边及后边法向弯矩正弦级数的待定系数，因此当板的某边为简支边时，按公式（8）可知，相应的待定系数取为0. 某边为固支时，按如下方法计算待定系数.当板左边（x = 0边）为固支时，由式（4）在x = 0处取w对x的偏导数：在利用公式（17）～（20）确定待定系数Aj、Bj、Ci、Di时，若某一边、某二边甚至某三边为简支，则舍弃相应的方程，留下剩余的方程组成方程组解出待定系数. 以板左边及前边固支其余两边简支为例，此时由于右边和后边简支，故待定系数Bj = Di = 0;舍弃公式（18）及（20）所列方程，剩下公式（17）及（19）所列方程组成方程组，并且在留下的方程中，置Bj及Di为0，进而解出左边及前边两个固支边的待定系数Aj和Ci即可.4 计算与分析4.1 计算步骤采用本文公式计算四边支承板挠度和弯矩的步骤如下：1）若板的四边全为简支边，则取Aj = Bj = Ci = Di = 0. 若板存有固支边，则从公式（17）～（20）中选择相应的公式组成方程组，计算待定系数Aj、Bj、Ci或Di.2）确定系数Aj、Bj、Ci及Di后，按公式（7）计算挠度的傅里叶系数wij .3）最后，按公式（4）计算挠度，按公式（9）及（10）计算弯矩.本文后续计算中，线性方程组的求解采用克劳特（Crout）分解法. 计算程序采用C语言编写，程序中实型变量采用双精度.4.2 计算参数取板沿x方向长度a = 5 m，y方向长度b = 7 m，厚h = 0.1 m;板弹性模量E = 3 × 107 kPa，泊松比μ =0.3;荷载按公路桥涵设计通用规范（JTG D60—2015）取一个汽车轮压传递到板上形成的局部均布荷载. 轴重取120 kN，单轮地面分布尺寸0.6 m × 0.2 m，轮压扩散角35°，板埋深0.714 m. 由此得作用在板上的局部均布荷載q0 = 31.25 kPa，荷载x方向分布长度c = 1.6 m，y方向分布长度d = 1.2 m;荷载中心坐标x0 = 2.5 m，y0 = 3.5 m.4.3 收敛速度的讨论采用4.2节的计算参数，板四边均固支，取级数项数为5项、10项、20项、30项、40项、50项、60项及80项，计算结果列于表1.表1及后续表格中，“板中心挠度”“板中心x方向弯矩”“板中心y方向弯矩”“长边中点x 方向弯矩”分别为无量纲量、、、.从表1看出，30项后，挠度计算结果的前5位有效数字不再发生变化;40项后，弯矩计算结果的前4位有效数字不再发生变化. 因此可得出，40项时，级数已可视为收敛. 后续计算中采用40项级数的计算结果.4.4 计算结果与既有文献对比4.4.1 与文献[1]对比文献[1]中有四边固支板受满布均布荷载作用的计算结果. 为与之对比，采用4.2节的计算参数，板四边均固支，荷载改为满布，荷载强度不变，仍为q0 = 31.25 kPa. 计算结果列于表2.由表2看出，2种方法的结果前2位有效数字相同. 由于文献[1]表格的有效数字只有3位，可以认为表2中2种结果是一致的.可以看出，目前已有的研究成果中，叠加方法应用较多. 而补充项的方法公式简单，能够对各种边界条件进行统一处理.既有研究工作存在以下不足：1）没有直接给出局部均布荷载作用下四边支承板内力计算公式，致使工程技术人员在实践中对级数解的研究成果难以利用. 2）对级数解的收敛速度讨论不充分，不清楚究竟需要取多少项级数才能满足精度要求. 3）级数解与有限元数值解在计算精度和速度方面没有进行仔细对比. 不了解两种解法在精度上能达到多高的吻合程度;不清楚级数解法的计算速度比有限元法具体快多少.为了探讨上述问题，本文采用补充项方法进行四边支承板计算，提出了挠度及弯矩的计算公式;讨论了解法的收敛速度，并与既有文献进行了求解结果正确性的验证;最后与有限元数值结果在求解精度和计算量上进行了对比.1 微分方程及右端荷载采用图1所示的坐标系. 图中a、b为板的长度和宽度，m;x0、y0为局部均布荷载中心的坐标，m;c、d为局部均布荷载的分布长度和宽度，m.式中：[Δ]2为拉普拉斯算子，[Δ]2 = + ;D为板的抗弯刚度，D = ;h为板的厚度，m;E为板的弹性模量，kPa;μ为板的泊松比.为了对公式（1）按傅里叶级数法求解，对其右端荷载q（x，y）进行傅里叶级数展开为：对局部均布荷载，公式（2）中的傅里叶系数qij为（参见文献[1]第111页上的公式（a））[1]：式中：q0为局部均布荷载，kPa.2 挠度和弯矩计算对不同支承条件下的矩形板，文献[3]给出了带补充项的挠度表达式. 针对本文的四边支承矩形板，有简化的挠度表达式为：3 待定系数的确定公式（5）～（10）中待定系数Aj、Bj、Ci、Di需要根据板边的支承条件确定. 由于Aj、Bj、Ci、Di分别为左边、右边、前边及后边法向弯矩正弦级数的待定系数，因此当板的某边为简支边时，按公式（8）可知，相应的待定系数取为0. 某边为固支时，按如下方法计算待定系数.当板左边（x = 0边）为固支时，由式（4）在x = 0处取w对x的偏导数：在利用公式（17）～（20）确定待定系数Aj、Bj、Ci、Di时，若某一边、某二边甚至某三边为简支，则舍弃相应的方程，留下剩余的方程组成方程组解出待定系数. 以板左边及前边固支其余两边简支为例，此时由于右边和后边简支，故待定系数Bj = Di = 0;舍弃公式（18）及（20）所列方程，剩下公式（17）及（19）所列方程组成方程组，并且在留下的方程中，置Bj及Di为0，进而解出左边及前边两个固支边的待定系数Aj和Ci即可.4 计算与分析4.1 计算步骤采用本文公式计算四边支承板挠度和弯矩的步骤如下：1）若板的四边全为简支边，则取Aj = Bj = Ci = Di = 0. 若板存有固支边，则从公式（17）～（20）中选择相应的公式组成方程组，计算待定系数Aj、Bj、Ci或Di.2）确定系数Aj、Bj、Ci及Di后，按公式（7）计算挠度的傅里叶系数wij .3）最后，按公式（4）计算挠度，按公式（9）及（10）计算弯矩.本文后续计算中，线性方程组的求解采用克劳特（Crout）分解法. 计算程序采用C语言编写，程序中实型变量采用双精度.4.2 计算参数取板沿x方向长度a = 5 m，y方向长度b = 7 m，厚h = 0.1 m;板弹性模量E = 3 × 107 kPa，泊松比μ =0.3;荷载按公路桥涵设计通用规范（JTG D60—2015）取一个汽车轮压传递到板上形成的局部均布荷载. 轴重取120 kN，单轮地面分布尺寸0.6 m × 0.2 m，轮压扩散角35°，板埋深0.714 m. 由此得作用在板上的局部均布荷载q0 = 31.25 kPa，荷载x方向分布长度c = 1.6 m，y方向分布长度d = 1.2 m;荷载中心坐标x0 = 2.5 m，y0 = 3.5 m.4.3 收敛速度的讨论采用4.2节的计算参数，板四边均固支，取级数项数为5项、10项、20项、30项、40项、50项、60项及80项，计算结果列于表1.表1及后续表格中，“板中心挠度”“板中心x方向弯矩”“板中心y方向弯矩”“长边中点x 方向弯矩”分别为无量纲量、、、.从表1看出，30项后，挠度计算结果的前5位有效数字不再发生变化;40项后，弯矩计算结果的前4位有效数字不再发生变化. 因此可得出，40项时，级数已可视为收敛. 后续计算中采用40项级数的计算结果.4.4 计算结果与既有文献对比4.4.1 与文献[1]对比文献[1]中有四边固支板受满布均布荷载作用的计算结果. 为与之对比，采用4.2节的计算参数，板四边均固支，荷载改为满布，荷载强度不变，仍为q0 = 31.25 kPa. 计算结果列于表2.由表2看出，2种方法的结果前2位有效数字相同. 由于文献[1]表格的有效数字只有3位，可以认为表2中2種结果是一致的.。
abaqus四边简支板的边界条件
abaqus四边简支板的边界条件全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在ABAQUS中，四边简支板是一个常见的结构，通常用于测试和学习有限元分析的基本原理。
在进行有限元分析时，正确的设置边界条件至关重要，因为它们直接影响到结果的准确性和可靠性。
下面我们来讨论一下关于ABAQUS四边简支板的边界条件设置。
四边简支板是一种简单的结构，由一个矩形板和四个简支支撑组成。
在有限元分析中，我们需要对这个结构进行几何建模，材料属性定义以及加载和边界条件的设置。
在这里，我们主要关注边界条件的设置。
我们需要定义四边简支板的几何尺寸和材料属性。
在ABAQUS中，我们可以通过几何建模模块来绘制板的几何形状，并通过材料属性来定义板的材料性质，比如弹性模量、泊松比、密度等等。
接下来，我们需要设置四边简支板的边界条件。
在这个问题中，四边简支板的四个边分别是简支边界，所以我们需要将这四个边定义为简支条件。
简支条件意味着这四个边不能有任何位移或旋转，而约束了结构的自由度。
在ABAQUS中，我们可以通过施加位移边界条件或定义边界条件来实现这一设置。
在完成边界条件的设置后，我们还需要定义加载条件。
对于简支板的加载条件，通常可以施加均布载荷、集中载荷或者边界支撑反力等。
通过在适当位置施加加载，我们可以模拟不同的工程情况和应力状态。
我们需要选择适当的求解器和求解算法，运行模拟并分析结果。
通过正确设置边界条件，我们可以得到精确的应力、应变和位移结果，从而评估结构的性能和稳定性，为工程设计提供重要参考。
ABAQUS四边简支板的边界条件设置是有限元分析中的关键步骤，直接影响到结果的准确性和可靠性。
通过正确设置简支条件，加载条件和求解算法，我们可以得到准确的模拟结果，帮助工程师更好地理解和优化结构设计。
希望以上内容能对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：Abaqus是一种用于进行有限元分析的强大软件工具，它可以用来研究各种结构的性能和行为。
在实际工程中，我们经常会遇到四边简支板的问题，这种结构在工程设计中应用广泛。
矩形板计算
矩形板计算书一、构件编号: LB-1二、示意图三、依据规范《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001《混凝土结构设计规范》 GB50010-2010四、计算信息1.几何参数计算跨度: Lx = 6000 mm; Ly = 4200 mm板厚: h = 100 mm2.材料信息混凝土等级: C20 fc=9.6N/mm2 ft=1.10N/mm2 ftk=1.54N/mm2Ec=2.55×104N/mm2钢筋种类: HRB335 fy = 300 N/mm2Es = 2.0×105 N/mm2最小配筋率: ρ= 0.200%纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 20mm保护层厚度: c = 10mm3.荷载信息(均布荷载)永久荷载分项系数: γG = 1.200可变荷载分项系数: γQ = 1.400准永久值系数: ψq = 1.000永久荷载标准值: ｑgk = 7.000kN/m2可变荷载标准值: ｑqk = 4.000kN/m24.计算方法:弹性板5.边界条件(上端/下端/左端/右端):固定/固定/固定/固定6.设计参数结构重要性系数: γo = 1.00泊松比:μ = 0.200五、计算参数:1.计算板的跨度: Lo = 4200 mm2.计算板的有效高度: ho = h-as=100-20=80 mm六、配筋计算(lx/ly=6000/4200=1.429<2.000 所以按双向板计算):1.X向底板钢筋1) 确定X向板底弯矩Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0113+0.0321*0.200)*(1.200*7.000+1.400*4.000)*4.22 = 4.376 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*4.376×106/(1.00*9.6*1000*80*80)= 0.0713) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.071) = 0.0744) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*80*0.074/300= 189mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 189/(1000*100) = 0.189%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*100 = 200 mm2采取方案⌱8@200, 实配面积251 mm22.Y向底板钢筋1) 确定Y向板底弯矩My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0321+0.0113*0.200)*(1.200*7.000+1.400*4.000)*4.22 = 8.486 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*8.486×106/(1.00*9.6*1000*80*80)= 0.1383) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.138) = 0.1494) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*80*0.149/300= 382mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 382/(1000*100) = 0.382%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌱8@130, 实配面积386 mm23.X向支座左边钢筋1) 确定左边支座弯矩M o x = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0569*(1.200*7.000+1.400*4.000)*4.22= 14.052 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o x/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*14.052×106/(1.00*9.6*1000*80*80)= 0.2293) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.229) = 0.2634) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*80*0.263/300= 674mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 674/(1000*100) = 0.674%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌱12@160, 实配面积706 mm24.X向支座右边钢筋1) 确定右边支座弯矩M o x = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0569*(1.200*7.000+1.400*4.000)*4.22= 14.052 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o x/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*14.052×106/(1.00*9.6*1000*80*80)= 0.2293) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.229) = 0.2634) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*80*0.263/300= 674mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 674/(1000*100) = 0.674%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌱12@160, 实配面积706 mm25.Y向上边支座钢筋1) 确定上边支座弯矩M o y = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0735*(1.200*7.000+1.400*4.000)*4.22= 18.152 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o y/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*18.152×106/(1.00*9.6*1000*80*80)= 0.2953) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.295) = 0.3604) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*80*0.360/300= 923mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 923/(1000*100) = 0.923%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌱12@120, 实配面积942 mm26.Y向下边支座钢筋1) 确定下边支座弯矩M o y = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0735*(1.200*7.000+1.400*4.000)*4.22= 18.152 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o y/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*18.152×106/(1.00*9.6*1000*80*80)= 0.2953) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.295) = 0.3604) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*80*0.360/300= 923mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 923/(1000*100) = 0.923%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌱12@120, 实配面积942 mm2七、跨中挠度计算：Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值1.计算荷载效应Mk = Mgk + Mqk= (0.0321+0.0113*0.200)*(7.000+4.000)*4.22 = 6.667 kN*mMq = Mgk+ψq*Mqk= (0.0321+0.0113*0.200)*(7.000+1.0*4.000)*4.22 = 6.667 kN*m 2.计算受弯构件的短期刚度 Bs1) 计算按荷载荷载效应的两种组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk = Mk/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 6.667×106/(0.87*80*386) = 248.169 N/mmσsq = Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 6.667×106/(0.87*80*386) = 248.169 N/mm2) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积: Ate = 0.5*b*h = 0.5*1000*100= 50000mm2ρte = As/Ate 混规(7.1.2-4)= 386/50000 = 0.772%3) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψk = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*1.54/(0.772%*248.169) = 0.578ψq = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*1.54/(0.772%*248.169) = 0.5784) 计算钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αEαE = Es/Ec = 2.0×105/2.55×104 = 7.8435) 计算受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf矩形截面，γf=06) 计算纵向受拉钢筋配筋率ρρ = As/(b*ho)= 386/(1000*80) = 0.483%7) 计算受弯构件的短期刚度 BsBsk = Es*As*ho2/[1.15ψk+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*386*802/[1.15*0.578+0.2+6*7.843*0.483%/(1+3.5*0.0)]= 4.528×102 kN*m2Bsq = Es*As*ho2/[1.15ψq+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*386*802/[1.15*0.578+0.2+6*7.843*0.483%/(1+3.5*0.0)]= 4.528×102 kN*m23.计算受弯构件的长期刚度B1) 确定考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ当ρ'=0时，θ=2.0 混规(7.2.5)2) 计算受弯构件的长期刚度 BBk = Mk/(Mq*(θ-1)+Mk)*Bs (混规(7.2.2-1))= 6.667/(6.667*(2.0-1)+6.667)*4.528×102= 2.264×102 kN*m2Bq = Bsq/θ (混规(7.2.2-2))= 4.528×102/2.0= 2.264×102 kN*m2B = min(Bk,Bq)= min(226.391,226.391)= 226.3914.计算受弯构件挠度f max = f*(q gk+q qk)*Lo4/B= 0.00211*(7.000+4.000)*4.24/2.264×102= 31.902mm5.验算挠度挠度限值fo=Lo/200=4200/200=21.000mmfmax=31.902mm>fo=21.000mm，不满足规范要求!八、裂缝宽度验算:1.跨中X方向裂缝1) 计算荷载效应Mx = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0113+0.0321*0.200)*(7.000+1.00*4.000)*4.22= 3.438 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=3.438×106/(0.87*80*251)=196.821N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*100=50000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=251/50000 = 0.0050因为ρte=0.0050 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*1.540/(0.0100*196.821)=0.5917) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/200=58) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=5*8*8/(5*0.7*8)=119) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.591*196.821/2.0×105*(1.9*20+0.08*11/0.0100)=0.1431mm ≤ 0.30, 满足规范要求2.跨中Y方向裂缝1) 计算荷载效应My = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0321+0.0113*0.200)*(7.000+1.00*4.000)*4.22= 6.667 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=6.667×106/(0.87*80*386)=248.169N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*100=50000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=386/50000 = 0.0077因为ρte=0.0077 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*1.540/(0.0100*248.169)=0.6977) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/130=78) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=7*8*8/(7*0.7*8)=119) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.697*248.169/2.0×105*(1.9*20+0.08*11/0.0100)=0.2126mm ≤ 0.30, 满足规范要求3.支座上方向裂缝1) 计算荷载效应M o y = 表中系数((ｑgk+ψｑqk)*Lo2)= 0.0735*(7.000+1.00*4.000)*4.22= 14.262 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=14.262×106/(0.87*80*942)=217.530N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*100=50000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=942/50000 = 0.01886) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*1.540/(0.0188*217.530)=0.8567) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/120=88) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=8*12*12/(8*0.7*12)=179) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.856*217.530/2.0×105*(1.9*20+0.08*17/0.0188)=0.1959mm ≤ 0.30, 满足规范要求4.支座下方向裂缝1) 计算荷载效应M o y = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0735*(7.000+1.00*4.000)*4.22= 14.262 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=14.262×106/(0.87*80*942)=217.530N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*100=50000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=942/50000 = 0.01886) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*1.540/(0.0188*217.530)=0.8567) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/120=88) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=8*12*12/(8*0.7*12)=179) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.856*217.530/2.0×105*(1.9*20+0.08*17/0.0188)=0.1959mm ≤ 0.30, 满足规范要求5.支座左方向裂缝1) 计算荷载效应M o x = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0569*(7.000+1.00*4.000)*4.22= 11.041 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=11.041×106/(0.87*80*706)=224.693N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*100=50000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=706/50000 = 0.01416) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*1.540/(0.0141*224.693)=0.7847) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/160=68) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=6*12*12/(6*0.7*12)=179) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.784*224.693/2.0×105*(1.9*20+0.08*17/0.0141)=0.2263mm ≤ 0.30, 满足规范要求6.支座右方向裂缝1) 计算荷载效应M o x = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0569*(7.000+1.00*4.000)*4.22= 11.041 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=11.041×106/(0.87*80*706)=224.693N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*100=50000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=706/50000 = 0.01416) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*1.540/(0.0141*224.693)=0.7847) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/160=68) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=6*12*12/(6*0.7*12)=179) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.784*224.693/2.0×105*(1.9*20+0.08*17/0.0141)=0.2263mm ≤ 0.30, 满足规范要求。
四边固定矩形板计算书
LB-1矩形板计算项目名称_____________日期_____________设计者_____________校对者_____________一、构件编号: LB-1二、示意图三、依据规范《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001《混凝土结构设计规范》 GB50010-2010四、计算信息1.几何参数计算跨度: Lx = 11400 mm; Ly = 8500 mm板厚: h = 400 mm2.材料信息混凝土等级: C30 fc=14.3N/mm2 ft=1.43N/mm2 ftk=2.01N/mm2Ec=3.00×104N/mm2钢筋种类: HRB400 fy = 360 N/mm2Es = 2.0×105 N/mm2最小配筋率: ρ= 0.200%纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 55mm保护层厚度: c = 40mm3.荷载信息(均布荷载)永久荷载分项系数: γG = 1.200可变荷载分项系数: γQ = 1.400准永久值系数: ψq = 1.000永久荷载标准值: ｑgk = 39.500kN/m2可变荷载标准值: ｑqk = 0.000kN/m24.计算方法:弹性板5.边界条件(上端/下端/左端/右端):固定/固定/固定/固定6.设计参数结构重要性系数: γo = 1.00泊松比:μ = 0.200五、计算参数:1.计算板的跨度: Lo = 8500 mm2.计算板的有效高度: ho = h-as=400-55=345 mm六、配筋计算(lx/ly=11400/8500=1.341<2.000 所以按双向板计算):1.X向底板钢筋1) 确定X向板底弯矩Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0129+0.0298*0.200)*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52 = 64.434 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*64.434×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.0383) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.038) = 0.0394) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.039/360= 529mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 529/(1000*400) = 0.132%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*400 = 800 mm2采取方案⌲14@150, 实配面积1026 mm22.Y向底板钢筋1) 确定Y向板底弯矩My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0298+0.0129*0.200)*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52 = 110.923 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*110.923×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.0653) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.065) = 0.0674) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.067/360= 924mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 924/(1000*400) = 0.231%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲14@125, 实配面积1231 mm23.X向支座左边钢筋1) 确定左边支座弯矩M o x = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0565*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52= 193.613 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o x/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*193.613×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.1143) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.114) = 0.1214) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.121/360 = 1659mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 1659/(1000*400) = 0.415%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲20@100, 实配面积3142 mm24.X向支座右边钢筋1) 确定右边支座弯矩M o x = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0565*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52= 193.613 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o x/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*193.613×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.1143) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.114) = 0.1214) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.121/360 = 1659mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 1659/(1000*400) = 0.415%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲20@100, 实配面积3142 mm25.Y向上边支座钢筋1) 确定上边支座弯矩M o y = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0704*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52= 241.089 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o y/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*241.089×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.1423) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.142) = 0.1534) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.153/360= 2102mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 2102/(1000*400) = 0.526%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲20@100, 实配面积3142 mm26.Y向下边支座钢筋1) 确定下边支座弯矩M o y = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0704*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52= 241.089 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o y/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*241.089×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.1423) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.142) = 0.1534) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.153/360= 2102mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 2102/(1000*400) = 0.526%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲20@100, 实配面积3142 mm2七、跨中挠度计算：Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值1.计算荷载效应Mk = Mgk + Mqk= (0.0298+0.0129*0.200)*(39.500+0.000)*8.52 = 92.436 kN*mMq = Mgk+ψq*Mqk= (0.0298+0.0129*0.200)*(39.500+1.0*0.000)*8.52 = 92.436 kN*m 2.计算受弯构件的短期刚度 Bs1) 计算按荷载荷载效应的两种组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk = Mk/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 92.436×106/(0.87*345*1231) = 250.174 N/mmσsq = Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 92.436×106/(0.87*345*1231) = 250.174 N/mm2) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积: Ate = 0.5*b*h = 0.5*1000*400= 200000mm2ρte = As/Ate 混规(7.1.2-4)= 1231/200000 = 0.615%3) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψk = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*2.01/(0.615%*250.174) = 0.252ψq = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*2.01/(0.615%*250.174) = 0.2524) 计算钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αEαE = Es/Ec = 2.0×105/3.00×104 = 6.6675) 计算受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf矩形截面，γf=06) 计算纵向受拉钢筋配筋率ρρ = As/(b*ho)= 1231/(1000*345) = 0.357%7) 计算受弯构件的短期刚度 BsBsk = Es*As*ho2/[1.15ψk+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*1231*3452/[1.15*0.252+0.2+6*6.667*0.357%/(1+3.5*0.0)]= 4.637×104 kN*m2Bsq = Es*As*ho2/[1.15ψq+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*1231*3452/[1.15*0.252+0.2+6*6.667*0.357%/(1+3.5*0.0)]= 4.637×104 kN*m23.计算受弯构件的长期刚度B1) 确定考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ当ρ'=0时，θ=2.0 混规(7.2.5)2) 计算受弯构件的长期刚度 BBk = Mk/(Mq*(θ-1)+Mk)*Bs (混规(7.2.2-1))= 92.436/(92.436*(2.0-1)+92.436)*4.637×104= 2.318×104 kN*m2Bq = Bsq/θ (混规(7.2.2-2))= 4.637×104/2.0= 2.318×104 kN*m2B = min(Bk,Bq)= min(23184.291,23184.291)= 23184.2914.计算受弯构件挠度f max = f*(q gk+q qk)*Lo4/B= 0.00198*(39.500+0.000)*8.54/2.318×104= 17.630mm5.验算挠度挠度限值fo=Lo/250=8500/250=34.000mmfmax=17.630mm≤fo=34.000mm，满足规范要求!八、裂缝宽度验算:1.跨中X方向裂缝1) 计算荷载效应Mx = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0129+0.0298*0.200)*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 53.695 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=53.695×106/(0.87*345*1026)=174.360N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=1026/200000 = 0.0051因为ρte=0.0051 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0100*174.360)=0.3517) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/150=68) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=6*14*14/(6*1.0*14)=149) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.351*174.360/2.0×105*(1.9*40+0.08*14/0.0100)=0.1092mm ≤ 0.30, 满足规范要求2.跨中Y方向裂缝1) 计算荷载效应My = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0298+0.0129*0.200)*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 92.436 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=92.436×106/(0.87*345*1231)=250.174N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=1231/200000 = 0.0062因为ρte=0.0062 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0100*250.174)=0.5787) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/125=88) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=8*14*14/(8*1.0*14)=149) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.578*250.174/2.0×105*(1.9*40+0.08*14/0.0100)=0.2582mm ≤ 0.30, 满足规范要求3.支座上方向裂缝1) 计算荷载效应M o y = 表中系数((ｑgk+ψｑqk)*Lo2)= 0.0704*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 200.908 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=200.908×106/(0.87*345*3142)=213.036N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=3142/200000 = 0.01576) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0157*213.036)=0.7107) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*20*20/(10*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.710*213.036/2.0×105*(1.9*40+0.08*20/0.0157)=0.2554mm ≤ 0.30, 满足规范要求4.支座下方向裂缝1) 计算荷载效应M o y = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0704*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 200.908 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=200.908×106/(0.87*345*3142)=213.036N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=3142/200000 = 0.01576) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0157*213.036)=0.7107) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*20*20/(10*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.710*213.036/2.0×105*(1.9*40+0.08*20/0.0157)=0.2554mm ≤ 0.30, 满足规范要求5.支座左方向裂缝1) 计算荷载效应M o x = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0565*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 161.344 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=161.344×106/(0.87*345*3142)=171.084N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=3142/200000 = 0.01576) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0157*171.084)=0.6147) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*20*20/(10*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.614*171.084/2.0×105*(1.9*40+0.08*20/0.0157)=0.1774mm ≤ 0.30, 满足规范要求6.支座右方向裂缝1) 计算荷载效应M o x = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0565*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 161.344 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=161.344×106/(0.87*345*3142)=171.084N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=3142/200000 = 0.01576) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0157*171.084)=0.6147) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*20*20/(10*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.614*171.084/2.0×105*(1.9*40+0.08*20/0.0157)=0.1774mm ≤ 0.30, 满足规范要求。
矩形薄板的几种解法
（范文素材和资料部分来自网络，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为()00x ω==, 2200x x ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0y ω==，220y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑，（a ）其中m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（a ）代入弹性曲面微分方程，得到为了求出系数mn A ，须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。
（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。
将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n yD q ab a b πππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。
（）ysinsin am x i ydx a aππ=⎰就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。
再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意s i n s i n bon y j y dy b bππ=⎰就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。
（13-25）与式（b ）对比，即得当薄板受均布荷载时，q 成为常量0q ，式（d ）积分式成为()()00000002sinsin =q sin sin 1cos 1cos a ba b m x n y q dxdy a bm x n yq dx dya b q ab m n mnπππππππ=--⎰⎰⎰⎰于是由式（d ）得到()()022262241cos 1cos mn mn q m n A m n D ab πππ--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()222622161,3,5,;1,3,5,mn mnq A m n m n D ab π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。
本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。
一、理论计算在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。
根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。
二、有限元分析在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。
有限元分析的主要步骤包括：1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。
2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定支撑。
3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解振型特征值和振型模态来得出。
4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。
通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。
总之，四边固支矩形薄板的固有振动特性对于结构稳定性和响应能力有着重要的影响。
通过理论计算和有限元分析两个方面的探讨，我们可以更好地理解并应用这一结构特性。
为了更加深入地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，我们可以从以下几个方面进行数据的收集和分析：1. 材料弹性模量与密度：材料的弹性模量和密度直接影响到四边固支矩形薄板的固有振动频率。
单块矩形板计算
单块矩形板计算(BAN-1)项目名称构件编号日期设计校对审核执行规范:《混凝土结构设计规范》(GB 50010-2002), 本文简称《混凝土规范》-----------------------------------------------------------------------按弹性板计算:1 计算条件计算跨度: L x=1.600mL y=4.200m板厚h=150mm板容重=25.00kN/m3；板自重荷载设计值=4.50kN/m2恒载分项系数=1.20 ；活载分项系数=1.40荷载设计值(不包括自重荷载):均布荷载q=28.00kN/m2砼强度等级: C30, f c=14.30 N/mm2, E c=3.00×104 N/mm2支座纵筋级别: HRB335, f y=300.00 N/mm2, E s=2.00×105 N/mm2板底纵筋级别: HRB335, f y=300.00 N/mm2, E s=2.00×105 N/mm2 混凝土保护层=50mm, 配筋计算as=55mm, 泊松比=0.20支撑条件=四边上:简支下:简支左:简支右:简支角柱左下:无右下:无右上:无左上:无2 计算结果弯矩单位:kN.m/m, 配筋面积:mm2/m, 构造配筋率:0.21%弯矩计算方法: 单向板按公式法挠度计算方法: 单向板按公式法。
---------------------------------------------------------------(1)跨中: [水平] [竖向]弯矩 10.4 0.0面积 381(0.25%) 322(0.21%)实配 D12@200(565) D12@200(565)(2)四边: [上] [下] [左] [右]弯矩 0.0 0.0 0.0 0.0面积 322(0.21%) 322(0.21%) 322(0.21%) 322(0.21%)实配 D12@200(565) D12@200(565) D12@200(565) D12@200(565) (3)挠度结果(按单向板计算):挠度验算: 2.81<f max=8.00mm,满足(4)跨中最大裂缝: 0.10<[ωmax]=0.20mm,满足异形板计算(YXB-1)项目名称构件编号日期设计校对审核执行规范:《混凝土结构设计规范》(GB 50010-2002), 本文简称《混凝土规范》《建筑结构荷载规范》(GB 50009-2001), 本文简称《荷载规范》-----------------------------------------------------------------------1 设计资料1.1 计算简图1.2 已知条件荷载条件:均布恒载 : 4.00kN/m2恒载分项系数 : 1.20均布活载 : 2.00kN/m2活载分项系数 : 1.40板容重 : 25.00kN/m3活载准永久值系数: 0.50板厚 : 120mm配筋条件:材料类型 : 混凝土支座配筋调整系数: 1.00混凝土等级 : C20 跨中配筋调整系数: 1.00纵筋级别 : HRB400 跨中配筋方向(度): 0.00保护层厚度 : 15mm1.3 计算内容(1) 有限元内力计算(2) 弹性位移计算(3) 板边及跨中最大最小弯矩位置处配筋(4) 挠度、裂缝计算2 计算结果2.1 单位说明弯矩:kN.m/m 钢筋面积:mm2/m2.2 垂直板边弯矩边号最大弯矩最小弯矩左中右1 0.963 -2.309 -2.309 -0.287 0.2592 0.597 -0.258 -0.052 0.061 0.0943 1.206 -0.280 0.059 -0.059 0.6924 1.691 -4.139 -0.086 0.322 -4.1392.3 跨中弯矩注:跨中弯矩是在用户指定方向上跨中弯矩的最大值(以下同)x(m) y(m) 平行配筋方向垂直配筋方向4.094 3.084 13.688 ----3.5644.305 ---- 10.8052.4 垂直板边配筋边号最大弯矩截面最小弯矩截面左中右1 240 240 240 240 2402 240 240 240 240 2403 240 240 240 240 2404 240 240 240 240 2402.5 跨中配筋x(m) y(m) 平行配筋方向垂直配筋方向4.094 3.084 412 ----3.5644.305 ---- 3192.6 垂直板边选筋边号最大弯矩截面最小弯矩截面左中右1 E12@200(565) E12@200(565) E12@200(565) E12@200(565) E12@200(565)2 E12@200(565) E12@200(565) E12@200(565) E12@200(565) E12@200(565)3 E12@200(565) E12@200(565) E12@200(565) E12@200(565) E12@200(565)4 E12@200(565) E12@200(565) E12@200(565) E12@200(565) E12@200(565)2.7 跨中选筋x(m) y(m) 平行配筋方向垂直配筋方向4.094 3.084 E12@200(565) ----3.5644.305 ---- E12@200(565)2.8 挠度和裂缝弹性位移/挠度 = BI/EI = 0.234挠度最大值: 21.691mm作用位置:x=3.766m y = 3.594m裂缝最大值: 0.205mm作用位置:x=4.094 y = 3.084(平行跨中方向配筋) 3 计算结果简图-----------------------------------------------------------------------【理正结构设计工具箱软件 6.0】计算日期: 2012-07-18 21:30:30。
四边简支矩形层合板屈曲问题分析
四边简支矩形层合板屈曲问题分析四边简支矩形层合板屈曲问题分析一、问题的描述四边简支的正交对称矩形层合板，单层厚度为0.2mm ，a=800mm ，b=100mm 。
已知各单层特性：受单向压缩121221181,10.3,7.17,0.28E GPa E GPa G GPa ν====求：临界载荷[0/90/90/0]二、解析解1、理论分析正交对称层合板单向受压的屈曲方程：()4442111266224224222+0w w w w D D D D N x x y y x+++= 由Navier 法设屈曲形状为双正弦函数：11sinsin mn m n m x n y w a a bππ∞∞===∑∑ 将w 代入屈曲方程求得临界屈曲荷载为：()()()221112662222122cr N D mb a D D D b mb a π?? ?=+++ // 由上式可知N 取最小值的x 方向半波数m 与边长比b a /及刚度有关。
2、matlab 编程求解E1=181;E2=10.3;v21=0.28;v12=E2*v21/E1;G12=7.17;%材料常数Q11=E1/(1-v12*v21);Q22=E2/(1-v12*v21);Q12=E2*v21/(1-v12*v21);Q66=G12;%正轴刚度U1_Q=(1/8)*(3*Q11+3*Q22+2*Q12+4*Q66);U2_Q=(1/2)*(Q11-Q22);U3_Q=(1/8)*(Q11+Q22-2*Q12-4*Q66);U4_Q=(1/8)*(Q11+Q22+6*Q12-4*Q66);U5_Q=(1/8)*(Q11+Q22-2*Q12+4*Q66);%单向板正轴刚度的线性组合z0=-0.4;z1=-0.2;z2=0;z3=0.2;z4=0.4;%层合板厚度方向的坐标theta1=0;theta2=pi/2;theta3=pi/2;theta4=0;%每层的铺设角h=0.8;%层合板的总厚度V1_D=(1/3)*(((z1)^3-(z0)^3)*cos(2*theta1)+((z2)^3-(z1)^3)*cos(2*t heta2)+((z3)^3-(z2)^3)*cos(2*theta3)+((z4)^3-(z3)^3)*cos(2*theta4));V2_D=(1/3)*(((z1)^3-(z0)^3)*cos(4*theta1)+((z2)^3-(z1)^3)*cos(4*t heta2)+((z3)^3-(z2)^3)*cos(4*theta3)+((z4)^3-(z3)^3)*cos(4*theta4));V3_D=0;V4_D=0;%层合板的几何因子D11=U1_Q*h^3/12+V1_D*U2_Q+V2_D*U3_Q;D22=U1_Q*h^3/12-V1_D*U2_Q+V2_D*U3_Q;D12=U4_Q*h^3/12-V2_D*U3_Q;D66=U5_Q*h^3/12-V2_D*U3_Q;%弯曲刚度a=0.8;b=0.1;%层合板的边长m=1;N1=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);m=2;N2=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);m=3;N3=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);m=4;N4=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);m=5;N5=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);m=6;N6=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);m=7;N7=pi^2/b^2*(D11*(m*b/a)^2+2*(D12+2*D66)+D22/ (m*b/a)^2);M=[1:7]N=[N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7]%m为半波数，N为临界荷载结果：M =1 2 3 4 5 6 7N =1.0e+004 *由N可知，当半波数m=5时，最小临界载荷为N。
矩形板计算书示例
LB-1矩形板计算项目名称_____________日期_____________设计者_____________校对者_____________一、构件编号: LB-1二、示意图三、依据规范《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001《混凝土结构设计规范》 GB50010-2002四、计算信息1.几何参数计算跨度: Lx = 6000 mm; Ly = 4200 mm板厚: h = 100 mm2.材料信息混凝土等级: C20 fc=9.6N/mm2 ft=1.10N/mm2 ftk=1.54N/mm2Ec=2.55×104N/mm2钢筋种类: HRB335 fy = 300 N/mm2Es = 2.0×105 N/mm2最小配筋率: ρ= 0.200%纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 20mm保护层厚度: c = 10mm3.荷载信息(均布荷载)永久荷载分项系数: γG = 1.200可变荷载分项系数: γQ = 1.400准永久值系数: ψq = 1.000永久荷载标准值: ｑgk = 7.000kN/m2可变荷载标准值: ｑqk = 4.000kN/m24.计算方法:弹性板5.边界条件(上端/下端/左端/右端):固定/固定/固定/固定6.设计参数结构重要性系数: γo = 1.00泊松比:μ = 0.200五、计算参数:1.计算板的跨度: Lo = 4200 mm2.计算板的有效高度: ho = h-as=100-20=80 mm六、配筋计算(lx/ly=6000/4200=1.429<2.000 所以按双向板计算):1.X向底板钢筋1) 确定X向板底弯矩Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0113+0.0321*0.200)*(1.200*7.000+1.400*4.000)*4.22 = 4.376 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*4.376×106/(1.00*9.6*1000*80*80)= 0.0713) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.071) = 0.0744) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*80*0.074/300= 189mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 189/(1000*100) = 0.189%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*100 = 200 mm2采取方案d8@200, 实配面积251 mm22.Y向底板钢筋1) 确定Y向板底弯矩My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0321+0.0113*0.200)*(1.200*7.000+1.400*4.000)*4.22 = 8.486 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*8.486×106/(1.00*9.6*1000*80*80)= 0.1383) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.138) = 0.1494) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*80*0.149/300= 382mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 382/(1000*100) = 0.382%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案d8@130, 实配面积386 mm23.X向支座左边钢筋1) 确定左边支座弯矩M o x = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0569*(1.200*7.000+1.400*4.000)*4.22= 14.052 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o x/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*14.052×106/(1.00*9.6*1000*80*80)= 0.2293) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.229) = 0.2634) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*80*0.263/300 = 674mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 674/(1000*100) = 0.674%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案d12@160, 实配面积706 mm24.X向支座右边钢筋1) 确定右边支座弯矩M o x = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0569*(1.200*7.000+1.400*4.000)*4.22= 14.052 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o x/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*14.052×106/(1.00*9.6*1000*80*80)= 0.2293) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.229) = 0.2634) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*80*0.263/300 = 674mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 674/(1000*100) = 0.674%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案d12@160, 实配面积706 mm25.Y向上边支座钢筋1) 确定上边支座弯矩M o y = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0735*(1.200*7.000+1.400*4.000)*4.22= 18.152 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o y/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*18.152×106/(1.00*9.6*1000*80*80)= 0.2953) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.295) = 0.3604) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*80*0.360/300 = 923mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 923/(1000*100) = 0.923%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案d12@120, 实配面积942 mm26.Y向下边支座钢筋1) 确定下边支座弯矩M o y = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0735*(1.200*7.000+1.400*4.000)*4.22= 18.152 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o y/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*18.152×106/(1.00*9.6*1000*80*80)= 0.2953) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.295) = 0.3604) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*80*0.360/300= 923mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 923/(1000*100) = 0.923%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案d12@120, 实配面积942 mm2七、跨中挠度计算：Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值1.计算荷载效应Mk = Mgk + Mqk= (0.0321+0.0113*0.200)*(7.000+4.000)*4.22 = 6.667 kN*mMq = Mgk+ψq*Mqk= (0.0321+0.0113*0.200)*(7.000+1.000*4.000)*4.22 = 6.667 kN*m 2.计算受弯构件的短期刚度 Bs1) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk = Mk/(0.87*ho*As) (混凝土规范式 8.1.3－3)= 6.667×106/(0.87*80*386) = 248.169 N/mm2) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积: Ate = 0.5*b*h = 0.5*1000*100= 50000mm2ρte = As/Ate (混凝土规范式 8.1.2－4)= 386/50000 = 0.772%3) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) (混凝土规范式 8.1.2－2)= 1.1-0.65*1.54/(0.772%*248.169) = 0.5784) 计算钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αEαE = Es/Ec = 2.0×105/2.55×104 = 7.8435) 计算受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf矩形截面，γf=06) 计算纵向受拉钢筋配筋率ρρ = As/(b*ho)= 386/(1000*80) = 0.483%7) 计算受弯构件的短期刚度 BsBs = Es*As*ho2/[1.15ψ+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混凝土规范式8.2.3--1) = 2.0×105*386*802/[1.15*0.578+0.2+6*7.843*0.483%/(1+3.5*0.0)]= 4.528×102 kN*m23.计算受弯构件的长期刚度B1) 确定考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ当ρ'=0时，θ=2.0 (混凝土规范第 8.2.5 条)2) 计算受弯构件的长期刚度 BB = Mk/(Mq*(θ-1)+Mk)*Bs (混凝土规范式 8.2.2)= 6.667/(6.667*(2.0-1)+6.667)*4.528×102= 2.264×102 kN*m24.计算受弯构件挠度f max = f*(q gk+q qk)*Lo4/B= 0.00211*(7.000+4.000)*4.24/2.264×102= 31.902mm5.验算挠度挠度限值fo=Lo/200=4200/200=21.000mmfmax=31.902mm>fo=21.000mm，不满足规范要求!八、裂缝宽度验算:1.跨中X方向裂缝1) 计算荷载效应Mx = 表中系数(ｑgk+ｑqk)*Lo2= (0.0113+0.0321*0.200)*(7.000+4.000)*4.22= 3.438 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk=Mk/(0.87*ho*As) (混凝土规范式 8.1.3－3)=3.438×106/(0.87*80*251)=196.821N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*100=50000 mm2ρte=As/Ate (混凝土规范式 8.1.2－4)=251/50000 = 0.0050因为ρte=0.0050 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) (混凝土规范式 8.1.2－2)=1.1-0.65*1.540/(0.0100*196.821)=0.5917) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/200=58) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=5*8*8/(5*0.7*8)=119) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsk/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混凝土规范式 8.1.2－1) =2.1*0.591*196.821/2.0×105*(1.9*20+0.08*11/0.0100)=0.1582mm ≤ 0.30, 满足规范要求2.跨中Y方向裂缝1) 计算荷载效应My = 表中系数(ｑgk+ｑqk)*Lo2= (0.0321+0.0113*0.200)*(7.000+4.000)*4.22= 6.667 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk=Mk/(0.87*ho*As) (混凝土规范式 8.1.3－3)=6.667×106/(0.87*80*386)=248.169N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*100=50000 mm2ρte=As/Ate (混凝土规范式 8.1.2－4)=386/50000 = 0.0077因为ρte=0.0077 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) (混凝土规范式 8.1.2－2)=1.1-0.65*1.540/(0.0100*248.169)=0.6977) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/130=78) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=7*8*8/(7*0.7*8)=119) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsk/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混凝土规范式 8.1.2－1) =2.1*0.697*248.169/2.0×105*(1.9*20+0.08*11/0.0100)=0.2350mm ≤ 0.30, 满足规范要求3.支座上方向裂缝1) 计算荷载效应M o y = 表中系数((ｑgk+ｑqk)*Lo2)= 0.0735*(7.000+4.000)*4.22= 14.262 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk=Mk/(0.87*ho*As) (混凝土规范式 8.1.3－3)=14.262×106/(0.87*80*942)=217.530N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*100=50000 mm2ρte=As/Ate (混凝土规范式 8.1.2－4)=942/50000 = 0.01886) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) (混凝土规范式 8.1.2－2)=1.1-0.65*1.540/(0.0188*217.530)=0.8567) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/120=88) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=8*12*12/(8*0.7*12)=179) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsk/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混凝土规范式 8.1.2－1) =2.1*0.856*217.530/2.0×105*(1.9*20+0.08*17/0.0188)=0.2166mm ≤ 0.30, 满足规范要求4.支座下方向裂缝1) 计算荷载效应M o y = 表中系数(ｑgk+ｑqk)*Lo2= 0.0735*(7.000+4.000)*4.22= 14.262 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk=Mk/(0.87*ho*As) (混凝土规范式 8.1.3－3)=14.262×106/(0.87*80*942)=217.530N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*100=50000 mm2ρte=As/Ate (混凝土规范式 8.1.2－4)=942/50000 = 0.01886) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) (混凝土规范式 8.1.2－2)=1.1-0.65*1.540/(0.0188*217.530)=0.8567) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/120=88) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=8*12*12/(8*0.7*12)=179) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsk/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混凝土规范式 8.1.2－1) =2.1*0.856*217.530/2.0×105*(1.9*20+0.08*17/0.0188)=0.2166mm ≤ 0.30, 满足规范要求5.支座左方向裂缝1) 计算荷载效应M o x = 表中系数(ｑgk+ｑqk)*Lo2= 0.0569*(7.000+4.000)*4.22= 11.041 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk=Mk/(0.87*ho*As) (混凝土规范式 8.1.3－3)=11.041×106/(0.87*80*706)=224.693N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*100=50000 mm2ρte=As/Ate (混凝土规范式 8.1.2－4)=706/50000 = 0.01416) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) (混凝土规范式 8.1.2－2)=1.1-0.65*1.540/(0.0141*224.693)=0.7847) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/160=68) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=6*12*12/(6*0.7*12)=179) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsk/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混凝土规范式 8.1.2－1) =2.1*0.784*224.693/2.0×105*(1.9*20+0.08*17/0.0141)=0.2501mm ≤ 0.30, 满足规范要求6.支座右方向裂缝1) 计算荷载效应M o x = 表中系数(ｑgk+ｑqk)*Lo2= 0.0569*(7.000+4.000)*4.22= 11.041 kN*m2) 光面钢筋,所以取值v i=0.73) 因为C < 20，所以取C = 204) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk=Mk/(0.87*ho*As) (混凝土规范式 8.1.3－3)=11.041×106/(0.87*80*706)=224.693N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*100=50000 mm2ρte=As/Ate (混凝土规范式 8.1.2－4)=706/50000 = 0.01416) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) (混凝土规范式 8.1.2－2)=1.1-0.65*1.540/(0.0141*224.693)=0.7847) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/160=68) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=6*12*12/(6*0.7*12)=179) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsk/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混凝土规范式 8.1.2－1) =2.1*0.784*224.693/2.0×105*(1.9*20+0.08*17/0.0141)=0.2501mm ≤ 0.30, 满足规范要求。
矩形薄板地几种解法
弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为()00x ω==, 2200x x ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0y ω==， 2200y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑， （a ）其中m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（a ）代入弹性曲面微分方程 ，得到为了求出系数mn A ，须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。
（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。
将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意sinsin am x i ydx a aππ=⎰，， 就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。
()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n y D q a b a bπππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。
（）y再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意sin sin bon y j y dy b b ππ=⎰，jb ， j就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。
（13-25）与式（b ）对比，即得当薄板受均布荷载时，q 成为常量0q ，式（d ）积分式成为()()000000002sinsin =q sin sin 1cos 1cos a ba b m x n y q dxdya bm x n yq dx dya b q ab m n mnπππππππ=--⎰⎰⎰⎰于是由式（d ）得到()()022262241cos 1cos mn mnq m n A m n D ab πππ--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()222622161,3,5,;1,3,5,mn mnq A m n m n D ab π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
四边简支矩形板计算
四边简支矩形板计算项目名称_____________日期_____________设计者_____________校对者_____________一、构件编号: LB-1二、示意图三、依据规范《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001《混凝土结构设计规范》 GB50010-2010四、计算信息1.几何参数计算跨度: Lx = 11000 mm; Ly = 7500 mm板厚: h = 400 mm2.材料信息混凝土等级: C30 fc=14.3N/mm2 ft=1.43N/mm2 ftk=2.01N/mm2Ec=3.00×104N/mm2钢筋种类: HRB400 fy = 360 N/mm2Es = 2.0×105 N/mm2最小配筋率: ρ= 0.200%纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 55mm保护层厚度: c = 40mm3.荷载信息(均布荷载)永久荷载分项系数: γG = 1.200可变荷载分项系数: γQ = 1.400准永久值系数: ψq = 1.000永久荷载标准值: ｑgk = 15.000kN/m2可变荷载标准值: ｑqk = 0.000kN/m24.计算方法:弹性板5.边界条件(上端/下端/左端/右端):简支/简支/简支/简支6.设计参数结构重要性系数: γo = 1.00泊松比:μ = 0.200五、计算参数:1.计算板的跨度: Lo = 7500 mm2.计算板的有效高度: ho = h-as=400-55=345 mm六、配筋计算(lx/ly=11000/7500=1.467<2.000 所以按双向板计算):1.X向底板钢筋1) 确定X向板底弯矩Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0287+0.0707*0.200)*(1.200*15.000+1.400*0.000)*7.52 = 43.374 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*43.374×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.0253) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.025) = 0.0264) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.026/360= 354mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 354/(1000*400) = 0.088%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*400 = 800 mm2采取方案⌲12@140, 实配面积807 mm22.Y向底板钢筋1) 确定Y向板底弯矩My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0707+0.0287*0.200)*(1.200*15.000+1.400*0.000)*7.52 = 77.430 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*77.430×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.0453) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.045) = 0.0474) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.047/360= 638mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 638/(1000*400) = 0.160%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*400 = 800 mm2采取方案⌲12@100, 实配面积1131 mm2七、跨中挠度计算：Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值1.计算荷载效应Mk = Mgk + Mqk= (0.0707+0.0287*0.200)*(15.000+0.000)*7.52 = 64.525 kN*mMq = Mgk+ψq*Mqk= (0.0707+0.0287*0.200)*(15.000+1.0*0.000)*7.52 = 64.525 kN*m2.计算受弯构件的短期刚度 Bs1) 计算按荷载荷载效应的两种组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk = Mk/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 64.525×106/(0.87*345*1131) = 190.077 N/mmσsq = Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 64.525×106/(0.87*345*1131) = 190.077 N/mm2) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积: Ate = 0.5*b*h = 0.5*1000*400= 200000mm2ρte = As/Ate 混规(7.1.2-4)= 1131/200000 = 0.566%3) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψk = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*2.01/(0.566%*190.077) = -0.115因为ψ不能小于最小值0.2，所以取ψk = 0.2ψq = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*2.01/(0.566%*190.077) = -0.115因为ψ不能小于最小值0.2，所以取ψq = 0.24) 计算钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αEαE = Es/Ec = 2.0×105/3.00×104 = 6.6675) 计算受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf矩形截面，γf=06) 计算纵向受拉钢筋配筋率ρρ = As/(b*ho)= 1131/(1000*345) = 0.328%7) 计算受弯构件的短期刚度 BsBsk = Es*As*ho2/[1.15ψk+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*1131*3452/[1.15*-0.115+0.2+6*6.667*0.328%/(1+3.5*0.0)]= 4.798×104 kN*m2Bsq = Es*As*ho2/[1.15ψq+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*1131*3452/[1.15*-0.115+0.2+6*6.667*0.328%/(1+3.5*0.0)]= 4.798×104 kN*m23.计算受弯构件的长期刚度B1) 确定考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ当ρ'=0时，θ=2.0 混规(7.2.5)2) 计算受弯构件的长期刚度 BBk = Mk/(Mq*(θ-1)+Mk)*Bs (混规(7.2.2-1))= 64.525/(64.525*(2.0-1)+64.525)*4.798×104= 2.399×104 kN*m2Bq = Bsq/θ (混规(7.2.2-2))= 4.798×104/2.0= 2.399×104 kN*m2B = min(Bk,Bq)= min(23990.371,23990.371)= 23990.3714.计算受弯构件挠度f max = f*(q gk+q qk)*Lo4/B= 0.00752*(15.000+0.000)*7.54/2.399×104= 14.879mm5.验算挠度挠度限值fo=Lo/250=7500/250=30.000mmfmax=14.879mm≤fo=30.000mm，满足规范要求!八、裂缝宽度验算:1.跨中X方向裂缝1) 计算荷载效应Mx = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0287+0.0707*0.200)*(15.000+1.00*0.000)*7.52= 36.145 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=36.145×106/(0.87*345*807)=149.222N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=807/200000 = 0.0040因为ρte=0.0040 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0100*149.222)=0.2247) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/140=78) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=7*12*12/(7*1.0*12)=129) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.224*149.222/2.0×105*(1.9*40+0.08*12/0.0100)=0.0547mm ≤ 0.20, 满足规范要求2.跨中Y方向裂缝1) 计算荷载效应My = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0707+0.0287*0.200)*(15.000+1.00*0.000)*7.52= 64.525 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=64.525×106/(0.87*345*1131)=190.077N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=1131/200000 = 0.0057因为ρte=0.0057 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0100*190.077)=0.4137) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*12*12/(10*1.0*12)=129) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.413*190.077/2.0×105*(1.9*40+0.08*12/0.0100)=0.1282mm ≤ 0.20, 满足规范要求。
四边固支的双模量矩形板的弯曲计算
四边固支的双模量矩形板的弯曲计算张鹏;范存新【摘要】运用弹性力学的相关知识计算出双模量矩形板在外荷载作用下的中性面的具体位置;然后用康托洛维奇法和伽辽金法计算四边固支的双模量矩形板的弯曲;最后列举算例,将计算所得数据与用ANSYS有限元分析软件计算的结果相比较. 得出结论:文中所得关于四边固支的双模量的矩形板的弯曲计算公式精度较高;当材料拉压模量差异较大时,在计算中不能忽略双模量的影响.%This paper worked out the position of the neutral plane of bimodulous rectangular plate under the uniform load by applying elastic mechanics theory.The paper deduced the formula for the bending calcula-tion of the bimodulous rectangular plate with four edges clamped by the Kantorovich and Galerkin method.In conclusion,the paper enumerated an example and compared the calculated result based on the deduced formula with the result based on the finite element software.It concluded that the formula for bending calculation of bi-modulous rectangular thin plate with four edges clamped has high accuracy.When there is a great difference between tension and compression of the material,the effect of double modulus cannot be neglected.【期刊名称】《常州工学院学报》【年(卷),期】2015(028)006【总页数】6页(P1-6)【关键词】双模量;四边固支;康托洛维奇法;伽辽金法【作者】张鹏;范存新【作者单位】江苏省结构工程重点实验室(苏州科技学院) ,江苏苏州 215011;江苏省结构工程重点实验室(苏州科技学院) ,江苏苏州 215011【正文语种】中文【中图分类】TU313.1Abstract：This paper worked out the position of the neutral plane of bimodulous rectangular plate under the uniform load by applying elastic mechanics theory.The paper deduced the formula for the bending calculation of the bimodulous rectangular plate with four edges clamped by the Kantorovich and Galerkin method.In conclusion,the paper enumerated an example and compared the calculated result based on the deduced formula with the result based on the finite element software.It concluded that the formula for bending calculation of bimodulous rectangular thin plate with four edges clamped has high accuracy.When there is a great difference between tension and compression of the material,the effect of double modulus cannot be neglected.Key words：bimodulous;four edges clamped;Kantorovich;Galerkin大量研究发现，很多材料具有拉压弹性模量不同的性质，如混凝土、石墨、玻璃、陶瓷等。
集中载荷作用下四边固接矩形薄板的刚度计算方法
集中载荷作用下四边固接矩形薄板的刚度计算方法作者：***来源：《计算机辅助工程》2022年第01期摘要：为研究集中载荷作用下四边固接矩形薄板的刚度，将矩形弹性薄板等效成双向正交板条，以板条宽与板宽的比和载荷作用位置为参数，研究板的长宽比与板刚度的关系。
以实际工程中常见的剪力墙尺寸为例，给出计算板刚度的拟合公式，并进行有限元验证，证明拟合公式误差较小。
关键词：四边固接; 薄板; 刚度; 双向正交板条中图分类号： TU392; TB115.1文献标志码： BStiffness calculation method of rectangular thin plate withfour edges fixed under concentrated loadSU Zhe（College of Civil Engineering， Shandong Jianzhu University， Jinan 250101， China）Abstract： To study the stiffness of rectangular thin plates with four edges fixed， the rectangular elastic thin plate is equivalent to a two-way orthogonal strips. Taking the strip width to plate width ratio and load action position as parameters， the relationship between length-width ratio and plate stiffness is studied. Taking the common shear wall size in practical engineering as examples， the fitting formula for calculating plate stiffness is given. The fitting formula is verified by finite element， and the error of the fitting formula is small.Key words： four edges fixed; thin plate; stiffness; twoway orthogonal strips作者簡介：苏哲（1990—），男，山东东营人，硕士研究生，研究方向为钢结构受力，（E-mail）******************引言高层建筑塔式起重机需要通过附着装置连接到建筑结构上，当起重机与剪力墙相连时，剪力墙要给起重机附着装置以支撑约束，而剪力墙刚度将直接决定支撑力大小，因此有必要提供一种计算刚度的简便算法。
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四边简支矩形板计算项目名称_____________日期_____________设计者_____________校对者_____________一、构件编号: LB-1二、示意图三、依据规范《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001《混凝土结构设计规范》 GB50010-2010四、计算信息1.几何参数计算跨度: Lx = 11000 mm; Ly = 7500 mm板厚: h = 400 mm2.材料信息混凝土等级: C30 fc=14.3N/mm2 ft=1.43N/mm2 ftk=2.01N/mm2Ec=3.00×104N/mm2钢筋种类: HRB400 fy = 360 N/mm2Es = 2.0×105 N/mm2最小配筋率: ρ= 0.200%纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 55mm保护层厚度: c = 40mm3.荷载信息(均布荷载)永久荷载分项系数: γG = 1.200可变荷载分项系数: γQ = 1.400准永久值系数: ψq = 1.000永久荷载标准值: ｑgk = 15.000kN/m2可变荷载标准值: ｑqk = 0.000kN/m24.计算方法:弹性板5.边界条件(上端/下端/左端/右端):简支/简支/简支/简支6.设计参数结构重要性系数: γo = 1.00泊松比:μ = 0.200五、计算参数:1.计算板的跨度: Lo = 7500 mm2.计算板的有效高度: ho = h-as=400-55=345 mm六、配筋计算(lx/ly=11000/7500=1.467<2.000 所以按双向板计算):1.X向底板钢筋1) 确定X向板底弯矩Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0287+0.0707*0.200)*(1.200*15.000+1.400*0.000)*7.52 = 43.374 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*43.374×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.0253) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.025) = 0.0264) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.026/360= 354mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 354/(1000*400) = 0.088%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*400 = 800 mm2采取方案⌲12@140, 实配面积807 mm22.Y向底板钢筋1) 确定Y向板底弯矩My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0707+0.0287*0.200)*(1.200*15.000+1.400*0.000)*7.52 = 77.430 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*77.430×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.0453) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.045) = 0.0474) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.047/360= 638mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 638/(1000*400) = 0.160%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*400 = 800 mm2采取方案⌲12@100, 实配面积1131 mm2七、跨中挠度计算：Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值1.计算荷载效应Mk = Mgk + Mqk= (0.0707+0.0287*0.200)*(15.000+0.000)*7.52 = 64.525 kN*mMq = Mgk+ψq*Mqk= (0.0707+0.0287*0.200)*(15.000+1.0*0.000)*7.52 = 64.525 kN*m2.计算受弯构件的短期刚度 Bs1) 计算按荷载荷载效应的两种组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk = Mk/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 64.525×106/(0.87*345*1131) = 190.077 N/mmσsq = Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 64.525×106/(0.87*345*1131) = 190.077 N/mm2) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积: Ate = 0.5*b*h = 0.5*1000*400= 200000mm2ρte = As/Ate 混规(7.1.2-4)= 1131/200000 = 0.566%3) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψk = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*2.01/(0.566%*190.077) = -0.115因为ψ不能小于最小值0.2，所以取ψk = 0.2ψq = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*2.01/(0.566%*190.077) = -0.115因为ψ不能小于最小值0.2，所以取ψq = 0.24) 计算钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αEαE = Es/Ec = 2.0×105/3.00×104 = 6.6675) 计算受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf矩形截面，γf=06) 计算纵向受拉钢筋配筋率ρρ = As/(b*ho)= 1131/(1000*345) = 0.328%7) 计算受弯构件的短期刚度 BsBsk = Es*As*ho2/[1.15ψk+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*1131*3452/[1.15*-0.115+0.2+6*6.667*0.328%/(1+3.5*0.0)]= 4.798×104 kN*m2Bsq = Es*As*ho2/[1.15ψq+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*1131*3452/[1.15*-0.115+0.2+6*6.667*0.328%/(1+3.5*0.0)]= 4.798×104 kN*m23.计算受弯构件的长期刚度B1) 确定考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ当ρ'=0时，θ=2.0 混规(7.2.5)2) 计算受弯构件的长期刚度 BBk = Mk/(Mq*(θ-1)+Mk)*Bs (混规(7.2.2-1))= 64.525/(64.525*(2.0-1)+64.525)*4.798×104= 2.399×104 kN*m2Bq = Bsq/θ (混规(7.2.2-2))= 4.798×104/2.0= 2.399×104 kN*m2B = min(Bk,Bq)= min(23990.371,23990.371)= 23990.3714.计算受弯构件挠度f max = f*(q gk+q qk)*Lo4/B= 0.00752*(15.000+0.000)*7.54/2.399×104= 14.879mm5.验算挠度挠度限值fo=Lo/250=7500/250=30.000mmfmax=14.879mm≤fo=30.000mm，满足规范要求!八、裂缝宽度验算:1.跨中X方向裂缝1) 计算荷载效应Mx = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0287+0.0707*0.200)*(15.000+1.00*0.000)*7.52= 36.145 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=36.145×106/(0.87*345*807)=149.222N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=807/200000 = 0.0040因为ρte=0.0040 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0100*149.222)=0.2247) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/140=78) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=7*12*12/(7*1.0*12)=129) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.224*149.222/2.0×105*(1.9*40+0.08*12/0.0100)=0.0547mm ≤ 0.20, 满足规范要求2.跨中Y方向裂缝1) 计算荷载效应My = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0707+0.0287*0.200)*(15.000+1.00*0.000)*7.52= 64.525 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=64.525×106/(0.87*345*1131)=190.077N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=1131/200000 = 0.0057因为ρte=0.0057 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0100*190.077)=0.4137) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*12*12/(10*1.0*12)=129) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.413*190.077/2.0×105*(1.9*40+0.08*12/0.0100)=0.1282mm ≤ 0.20, 满足规范要求。