信号的频谱

信号的频谱

摘要

本文说明了信号的频谱的由来，确知信号、随机信号的频谱的相关概念等信息的介绍，及其相关的傅里叶变换的知识，对频域分析的方法也进行了说明，便于进行对比理解。

关键词：傅里叶变换频谱确知信号随机信号频域分析

一 信号频谱的由来

在LTI 系统中，信号表示成基本信号的线性组合，这些基本信号应该具有以下两个性质：

1，由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；

2，LTI 系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使得系统对任意输入信号的响应由一个很方便的表示式。

在LTI 系统中，复指数信号的重要性在于：一个LTI 系统对复指数信号的响应也是一个复指数信号，不同的是幅度上的变化，即：

连续时间：st st e s H e )(→

离散时间：n n z z H z )(→

这里)(s H 或)(z H 是一个复振幅因子， 一般来说是复变量s 或z 的函数。 对于连续时间和离散时间来说，如果一个LTI 系统的输入能够表示成复指数的线性组合，那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；并且输出表达式中的每一个系数可以用输入中相应的系数分别与有关的系统特征值

)(k s H 或)(k z H 相乘求得。

频域分析法将信号和系统模型的时间变量函数（或序列）变换为频域的某个变量函数，并研究他们的特性，由于时域中的微分（或差分）方程和卷积运算在频域都变成了代数运算，这就简化了运算。同时，频域分析将时间变量变换成频率变量,揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系,从而导出了信号的频谱,带宽以及滤波,调制和频分复用等重要概念。

信号的频谱，从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，所画出的图形称为信号的频谱图。

傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的,这方面的问题也称为傅里叶分析(频域分析).将信号进行正交分解(分解为三角函数或复数函数的组合)。

二 确知信号的频谱

确知信号：取值在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值，例如：振幅，频率和相位都是确定的一段正弦波，都是一个确知信号。具体来说，确知信号的频谱可以分为周期信号的频谱和非周期信号的频谱。

2.1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS

(1)

狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小

值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰dt t f T 1

)(。

(2)

傅里叶级数：正交函数线性组合。

正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集

}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为

T 1，角频率为1

1122T f π=π=ω。

(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 (4) 三角形式的FS ：

(i)

展开式：∑∞

=ω+ω+=1110)sin ()(n n n t n b t con a a t f

(ii) 系数计算公式：

(a) 直流分量：⎰=

1

)(11

0T

dt t f T a

(b) n 次谐波余弦分量：N

n tdt n t f T a T

n ∈ω=⎰,cos )(21

11

(c)

n 次谐波的正弦分量：N

n tdt n t f T b T

n ∈ω=⎰1

,sin )(211

(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。

(iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。 (v) 合并同频率的正余弦项得：

(a)

∑∞

=ψ+ω+

=1

10)cos()(n n n t n c c t f

(b)

∑∞

=θ+ω+=1

10)sin()(n n n t n d d t f

n ψ和n

θ分别对应合并后n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。

(vi) 傅里叶系数之间的关系：

(a) 000d c a == (b) n n n n n d c a θ=ψ=sin cos (c) n n n n n n d c b θ=ψ-=cos sin (d) 000a d c ==

(e)

2

222n n n n b a d c +==

(f) n

n n a b arctg

-=ψ

(g) n

n n b a arctg

=θ

(5)

复指数形式的FS ：

(i) 展开式：∑∞

-∞

=ω=n t jn n e F t f 1

)(

(ii) 系数计算：Z n dt e t f T F T

t jn n ∈=

⎰ω-,)(11

11

(iii) 系数之间的关系：

⎪⎩

⎪

⎨⎧≠-==0),(21

0,

0n jb a n a F n n n *

*,n

n n n F F F F ==--

)0(,2

1212122≠+===

=-n b a d c F F n n n n n n

)0(,≠==+-n d c F F n n n n

n n n a F F =+- j b F F n n n /=--

)0(442

2

222≠==+==-n F F F b a d c n

n n n n n n

(iv)

n F 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。

(v) 正负n (n 非零)处的n F 的幅度和等于n c 或n d 的幅度。 (6) 奇偶信号的FS ： (i) 偶信号的FS ： ⎰ω=1

11

cos )(2T

n tdt n t f T a ；0sin )(21

11

=ω=

⎰T

n tdt n t f T b ；

n n n a d c ==

n n

n n n F a jb a F -==-=

2

2 (n F 实，偶对称)；0=ψn ；2

π=θn

(ii) 偶的周期信号的FS 系数只有直流项和余弦项。

(iii)奇信号的FS ：

00==n a a ；⎰ω=

1

11

sin )(2T

n tdt

n t f T b ；n n n n jF b d c 2===；

n n n jb F F 2

1

-

=-=- (n F 纯虚，奇对称)； 2

π-

=ψn ；0=θn

(iv) 奇的周期信号的FS 系数只有正弦项。 (7)

周期信号的傅里叶频谱：

(i) 称{}n F 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS 谱。