高等数学基础课课件第5讲_导数与微分(1)

且在点a 右可导, 在点b 左可导, 则称 f 在闭区间 [a , b]上可导. 若函数 f 在区间I 上可导, 则在区间 I 上定义了一个新的函数 f ( x ), 称为 f
的导函数.
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三、函数的微分 导数是从函数对自变量变化的速度来 研究;而微分则是直接研究函数的增量， 这有许多方便之处。 （一）函数的微分的定义 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某邻域有定义.
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例:线密度问题
设有一根由某种物质做 成的细杆AB, 求在断面M处细杆的线密度.
A M
x
N
o
B
x x
x
设AM的质量是 m( x ) MN的质量为 m( x x ) m( x )
m( x x ) m( x ) 平均线密度 x m ( x x ) m ( x ) ( x) l i m x 0 x 2015-1-31
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[注意2] 导数的意义： 导数是函数在一点的变化率 物理意义
瞬时速度： v(t0 ) s(t0 )
线密度： ( x ) m( x )
几何意义 切线斜率： k( x0 ) f ( x0 )
导数 f ( x0 ) 是曲线 y f ( x )在点
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M 0 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率 .
dy dx x x0
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[注意1] 导数的等价定义：
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) l i m h 0 h

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f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x0 x x0
0
[注意1] 当确定点x0 时, 微分df ( x0 )是
x x x0 的线性函数.
[注意2] 当x很小时, 微分df ( x0 ) 可作为 增量f ( x0 ) 的近似值, 其误差
f ( x0 ) df ( x0 )
是x的高阶无穷小 .
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微分是增量的“线性主 部”
如果极限存在, 这个极限值就是质点的 瞬时速度.
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[例2]
曲线的切线斜率问题
设曲线 L, 其方程为 y f ( x ) ( a x b ) f ( x ) C[a, b]. x0 ( a, b ), 求曲线 L 在点M 0 ( x0 , y0 )的切线 (其中, y0 f ( x0 )).
t
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t0
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t t0 t
[解] (1) 求时段 t0 到t0 t 的平均速度
x( t 0 t ) x( t 0 ) v (t0 , t ) t
(2) 平均速度的极限是瞬时 速度
x( t 0 t ) x( t 0 ) v( t 0 ) lim t 0 t
某邻域有定义.如果极限 f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称函数 f 在 x0 可导, 并称此 极限值为函数 f 在 x0 的导数. 记作 df f ( x0 ), dx ,
x x0
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定理： 函数 f 在点 x0 可导 f 在 x0 的
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左、右导数都存在且相 等, 即 f ( x0 )存在 f ( x0 ) f ( x0 )
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3. 导函数定义： 若函数 f 在开区间 ( a, b) 上处处
可导, 则称 f 在开区间 (a, b) 上可导. 若函数 f 在开区间 (a , b) 上可导,
如果 f ( x ) 在点 x0 的增量可表示成
f ( x0 ) A( x0 ) x o( x )
则称函数 f 在点 x0 可微.
线性函数 A x 称为函数 f 在点 x0 的微分.
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记作 df ( x0 ) A x 或 dy x x A x
(2) 割线斜率的极限是切线 斜率
f ( x0 x ) f ( x 0 ) k ( x0 ) lim x 0 x
(3) 曲线 L 在点M0 ( x0 , y0 )的切线方程
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y f ( x0 ) k ( x0 )( x x0 )
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二、导数定义与性质 1. 导数定义： 设函数 y f ( x ) 在点 x0 的
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四、可导、可微与连续的关系
定理1: 函数可微与可导是等价的
(1) 函数 f ( x )在点x0处可导, 则它在 点 x0 必可微, 且 A( x0 ) f ( x0 ) 即 df ( x0 ) f ( x0 )x
第五讲 导数与微分（一）
一、引言
二、导数定义与性质 三、函数的微分
四、可导、可微与连续的关系 五、基本导数（微分）公式
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一、引言 两个典型背景示例
[例1] 运动物体的瞬时速度
设汽车沿t轴作直线运动, 若己知其运动 规律(路程与时间的函数关系)为 x x( t ) 求在时刻 t 0 的瞬时速度.
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2. 单侧导数定义： f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x ) 左导数 lim 0 x 0 x
f 在 x0 左可导 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 右导数 lim f ( x ) 0 x 0 x f 在 x0 右可导
什麽是曲线的切线？
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y
当N M 0时, 割线 的极限位置就是切线
N
L : y f ( x)
M0
割线
T
切线
x0 x
o
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x0
x
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(1) 求区间x0 到 x0 x 的割线斜率
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) k ( x0 , x ) x