三重积分的计算方法

三重积分的计算方法

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积

分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分⎰2

1

z z dz )z ,y ,x (f ，再做二重积分

⎰⎰σD

d )y ,x (F ，就是“投影法”

，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”

这一步。σ=⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰d ]dz )z ,y ,x (f [dv )z ,y ,x (f D z z 2

1

如果先做二重积分⎰⎰σz

D d )z ,y ,x (f 再做定积分⎰2

1c c dz )z (F ，就是“截面法”，也

即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即]c ,c [z 21∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分⎰⎰σz

D d )z ,y ,x (f ，完成了“先二”这一步（二重积分）；

进而计算定积分⎰2

1c c dz )z (F ，完成“后一”这一步。

dz ]d )z ,y ,x (f [dv )z ,y ,x (f 2

1z

c c D σ=⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰。当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)z (σ容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)

D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）

D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)x

y

(f ),y x (f 22+时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）

（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)z y x (f 222++时，可选择球

面坐标系计算。

1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数f(x,y,z)的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）： z D 是

Ω在z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。

特殊地，对z D 积分时，f(x,y,z)与x,y 无关，可直接计算z

D S 。因而Ω中

只要],[b a z ∈, 且f(x,y,z)仅含z 时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z 或)y x (zf 22+时，可考虑用柱面坐标计算。

历年真题

1、计算三重积分⎰⎰⎰Ω

=zdxdydz I ，其中Ω为平面1z y x =++与三个坐标面

0z ,0y ,0x ===围成的闭区域。

【解析】 “投影法”

（1）画出Ω及在xoy 面投影域D. （2）“穿线”y x 1z 0--≤≤

X 型 D ：x 1y 01

x 0-≤≤≤≤

∴Ω：y

x 1z 0x 1y 01

x 0--≤≤-≤≤≤≤

（3）

⎰⎰⎰-⎰--⎰⎰-⎰⎰⎰Ω+---=--===10

10

32210x 10y x 1010x 102

]y 31y )x 1(y )x 1[(21dy )y x 1(21dx zdz dy dx zdxdydz I 24

1]x 41x x 23x [61dx )x 1(6110

410323=-+-=-=⎰ “截面法” （1）画出Ω。

（2）]1,0[z ∈ 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。

z D 是两直角边为x,y 的直角三角形，z 1y ,z 1x -=-=

（3）计算

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰====10D 1

D 10D z z z dz zS dz ]dxdy [z dz ]zdxdy [zdxdydz I

⎰⎰⎰=+-=--==10321010241

dz )z z 2z (21dz )z 1)(z 1(2

1z dz )xy 21(z

2、计算⎰⎰⎰+dv y x 22，其中Ω是222z y x =+和z=1围成的闭区域。 【解析】 “投影法”

（1）画出Ω及在xoy 面投影域D. 由⎪⎩⎪⎨

⎧=+=1

z y 2x z 2

2消去z ， 得1y x 22=+即D ：1y x 22≤+ （2）“穿线”1z y x 22≤≤+， X

型

D

：

⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-22x

1y x 11

x 1

∴ ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧≤≤+-≤≤--≤≤-Ω1z y x x 1y x 11x 1:2

2

22

（3）计算

⎰⎰⎰Ω⎰

---⎰+⎰-⎰

---⎰-+-+=+=+x 1x 11y x 11x 1x 1222222112

222

22

2

d

)y x 1(y x dx dz y x dy dx dv y x “截面法”

（1）画出Ω。 （2）]1,0[z ∈ 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D ：

222z y x ≤+

z D ： ⎩⎨⎧≤≤π≤θ≤z

r 020

用柱坐标计算 ⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤≤≤π≤θ≤Ω1z 0z r 020:

（3）计算

⎰⎰⎰Ω

⎰⎰⎰

⎰⎰π⎰⎰⎰π=

π=π=θ=+=+1

0D 1020z 010103z 032

2

2

2

2

z 6dz z 32dz ]r 31[2dz ]dr r d [dz ]dxdy y x [dv y x 3、化三重积分⎰⎰⎰Ω

=dxdydz )z ,y ,x (f I 为三次积分，其中Ω：

222x 2z y 2x z -=+=及所围成的闭区域。

【解析】

（1）画出Ω及在xoy 面上的投影域D.

由 ⎪⎩

⎪⎨

⎧-=+=222x 2z y

2x z 消去z ，得1y x 22=+

即D ： 1y x 22≤+