《数值模拟导论》讲义-第十四讲 有限体积法1-郑百林2015解读
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ˆ f
n j 1 / 2
n
u jn 1 u jn t
a
u jn u jn1 x
0
等价于一阶迎风差分
若采用线性重构
u n ( x) u jn D j ( x x j )
u j 1 / 2 (t ) u n ( x j 1 / 2 a (t t n )) u jn D j ( x j 1 / 2 a (t t n ) x j ) u jn
1 ˆn u n ( x) f j 1 / 2 t
t j 1 / 2
t j 1 / 2
f j 1 / 2 ( x ) dt
t j 1 / 2
t j 1 / 2
f j 1 / 2 ( x ) dt 反演（evolution)
(1) 重构过程
j+1
A. 零阶重构，假设分片常数
有限体积法
有限体积法主要优势： 处理复杂网格
差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x ( , , ) y y ( , , ) z z ( , , )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f V f f V V U 3 1 2 1 2 3 t
积分（精确）
u jn 1 u jn t
ˆn ˆn f j 1 / 2 f j 1 / 2 x
0
积分方程
离散化
u jn 1 ˆn f j 1 / 2 t
1 x
x j 1 / 2
x j 1 / 2
u n ( x ) dx
u jn u n ( x) 重构（Reconstruction)
or
Dj
u jn1 u jn x
orቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
或其他方法
C. 更高阶的重构例如: 分片二次函数 （PPM）, WENO等
有限差分法的离散：数值微分过程 有限体积法的离散：数值积分过程 重构是有限体积的空间离散化过程，有多 种方法
（2） 演化过程 （以线性方程为例）
1 ˆn f j 1 / 2 t
x j 1 / 2
u n ( x ) dx
空间平均 时间平均
ˆ f
n j 1 / 2
1 t
t n 1
tn
f j 1/ 2 (t ) dt
0
u jn 1 u jn t
ˆn ˆn f j 1 / 2 f j 1 / 2 x
精确推导，不含误差
u f (u ) 0 t x
u n ( x) u j x j 1/ 2 x x j 1/ 2
j-1
j
B. 线性重构，假设分片线性函数
u ( x) u D j ( x x j )
n n j
零阶重构与一阶重构示意图
Dj u jn1 u jn1 2 x
Dj
u jn u jn1 x
Institute of Applied Mechanics School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics
数值模拟导论(INS)
（ Introduction to Numerical Simulation ）
第十四讲 有限体积法 (Finite Volume Method) 主讲教师 郑百林 (Lecturer Zheng Bailin) 助理教师 张锴 李泳 杨彪 何旅洋 王琪(TA Zhang Kai, Li Yong, Yang Biao , He Lvyang & Wang Qi)
绪论 (Abstract)
有限体积法的基本概念 (The Basic Concept of Finite Volume Method)
一维Euler方程的有限体积法 ( The Finite Volume Method of One-dimensional Euler Equations )
多维问题的有限体积法 (Finite Volume Method of Multidimensional Problems)
(
u f (u ) ) dxdt 0 t x
含义： f在j+1/2点的值 （注意与差分法的区别）
定义：
x j 1 / 2
x j 1 / 2
(u n 1 u n )dx
t n1
tn
( f j 1/ 2 f j 1/ 2 )dt 0
u jn
1 x
x j 1 / 2
不足
差分离散与几何解耦，难 复杂、不易提高精度 以处理复杂网格
实质： 把几何信息包含于离散过程中
1. 有限体积法的基本概念
u f (u ) 0 t x
j-1/2 j+1/2
j-1
j
j+1
1. 全离散型过程
在控制体上积分原方程
tn
t n 1
x j 1 / 2
x j 1 / 2
若采用零阶重构：
u n ( x) u j x j 1/ 2 x x j 1/ 2
ˆ f j 1 / 2 au j
假设时间步长足够小
x j 1/ 2 a(t tn ) [ x j 1/ 2 , x j 1/ 2 ]
则： 则方程为：
u ( x j 1/ 2 a(t tn )) u j
ˆ J 1 ( f f f ) f 1 x 1 y 2 z 3
J 1
( x, y , z ) ( , , )
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难
差分法
优点
有限体积法
简单、计算量小、易于提 本身包含几何信息，易处 高精度 理复杂网格
u f (u) 0, f (u) au, a 0 t x
t n 1
tn
f j 1/ 2 (t ) dt
需要得知时间演化信息，通常利用特征方程
u u a 0, a 0 t x
Riemann解
u ( x, t ) u0 ( x at )
f j 1/ 2 (t ) au j 1/ 2 (t ) au n ( x j 1/ 2 a(t tn ))
n j 1 / 2
n
u jn 1 u jn t
a
u jn u jn1 x
0
等价于一阶迎风差分
若采用线性重构
u n ( x) u jn D j ( x x j )
u j 1 / 2 (t ) u n ( x j 1 / 2 a (t t n )) u jn D j ( x j 1 / 2 a (t t n ) x j ) u jn
1 ˆn u n ( x) f j 1 / 2 t
t j 1 / 2
t j 1 / 2
f j 1 / 2 ( x ) dt
t j 1 / 2
t j 1 / 2
f j 1 / 2 ( x ) dt 反演（evolution)
(1) 重构过程
j+1
A. 零阶重构，假设分片常数
有限体积法
有限体积法主要优势： 处理复杂网格
差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x ( , , ) y y ( , , ) z z ( , , )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f V f f V V U 3 1 2 1 2 3 t
积分（精确）
u jn 1 u jn t
ˆn ˆn f j 1 / 2 f j 1 / 2 x
0
积分方程
离散化
u jn 1 ˆn f j 1 / 2 t
1 x
x j 1 / 2
x j 1 / 2
u n ( x ) dx
u jn u n ( x) 重构（Reconstruction)
or
Dj
u jn1 u jn x
orቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
或其他方法
C. 更高阶的重构例如: 分片二次函数 （PPM）, WENO等
有限差分法的离散：数值微分过程 有限体积法的离散：数值积分过程 重构是有限体积的空间离散化过程，有多 种方法
（2） 演化过程 （以线性方程为例）
1 ˆn f j 1 / 2 t
x j 1 / 2
u n ( x ) dx
空间平均 时间平均
ˆ f
n j 1 / 2
1 t
t n 1
tn
f j 1/ 2 (t ) dt
0
u jn 1 u jn t
ˆn ˆn f j 1 / 2 f j 1 / 2 x
精确推导，不含误差
u f (u ) 0 t x
u n ( x) u j x j 1/ 2 x x j 1/ 2
j-1
j
B. 线性重构，假设分片线性函数
u ( x) u D j ( x x j )
n n j
零阶重构与一阶重构示意图
Dj u jn1 u jn1 2 x
Dj
u jn u jn1 x
Institute of Applied Mechanics School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics
数值模拟导论(INS)
（ Introduction to Numerical Simulation ）
第十四讲 有限体积法 (Finite Volume Method) 主讲教师 郑百林 (Lecturer Zheng Bailin) 助理教师 张锴 李泳 杨彪 何旅洋 王琪(TA Zhang Kai, Li Yong, Yang Biao , He Lvyang & Wang Qi)
绪论 (Abstract)
有限体积法的基本概念 (The Basic Concept of Finite Volume Method)
一维Euler方程的有限体积法 ( The Finite Volume Method of One-dimensional Euler Equations )
多维问题的有限体积法 (Finite Volume Method of Multidimensional Problems)
(
u f (u ) ) dxdt 0 t x
含义： f在j+1/2点的值 （注意与差分法的区别）
定义：
x j 1 / 2
x j 1 / 2
(u n 1 u n )dx
t n1
tn
( f j 1/ 2 f j 1/ 2 )dt 0
u jn
1 x
x j 1 / 2
不足
差分离散与几何解耦，难 复杂、不易提高精度 以处理复杂网格
实质： 把几何信息包含于离散过程中
1. 有限体积法的基本概念
u f (u ) 0 t x
j-1/2 j+1/2
j-1
j
j+1
1. 全离散型过程
在控制体上积分原方程
tn
t n 1
x j 1 / 2
x j 1 / 2
若采用零阶重构：
u n ( x) u j x j 1/ 2 x x j 1/ 2
ˆ f j 1 / 2 au j
假设时间步长足够小
x j 1/ 2 a(t tn ) [ x j 1/ 2 , x j 1/ 2 ]
则： 则方程为：
u ( x j 1/ 2 a(t tn )) u j
ˆ J 1 ( f f f ) f 1 x 1 y 2 z 3
J 1
( x, y , z ) ( , , )
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难
差分法
优点
有限体积法
简单、计算量小、易于提 本身包含几何信息，易处 高精度 理复杂网格
u f (u) 0, f (u) au, a 0 t x
t n 1
tn
f j 1/ 2 (t ) dt
需要得知时间演化信息，通常利用特征方程
u u a 0, a 0 t x
Riemann解
u ( x, t ) u0 ( x at )
f j 1/ 2 (t ) au j 1/ 2 (t ) au n ( x j 1/ 2 a(t tn ))