数值分析插值
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限定次数
所谓次数不超过n次插值多项式P(x)存在且唯一，
就是指在集合 Hn中有且只有一个 P(x)满足插值条件.
数值分析
2 n 事实上,由插值条件可得 a 0 a1 x 0 a 2 x 0 a n x 0 y 0 a a x a x 2 a x n y 1 n 2 n n n n 0
n=1
分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算 x 0
利用 x1 , x2
4
3
~ 5 0 . 00538 R 0.00660 sin 50 0.76008, 1 18
内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596
y f ( x) 的 n次插值多项式可写成
Ln ( x)
n n n
于是得
yl
i 0
i i
( x)
( x
i 0 j 0 j i
x xj
i
xj
)y i
数值分析 易验证有 即 称
Ln ( xi )
y l (x )
i 0 i i i
n
yi ,
Ln满足插值条件 ( x) .
数值分析
Ch6 插值法
6.1 引言 6.2 拉格朗日插值多项式
6.3 牛顿插值多项式
6.4 埃尔米特插值多项式
6.5 分段低次插值、三次样条插值多项式
数值分析
6.1 引言
许多实际问题都用函数 y f ( x) 来表示某种内在规 律的数量规律的数量关系，其中相当一部分函数是通 过实验或观测的得到的.一般得到的只是[a, b]上一系
Ln ( x)
i 0
n
li ( x)
1 i j y i l i ( x ), l i ( x j ) 0 i j
称为Lagrange插值基函数.
l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0, l ( x ) 0, l ( x ) 1, 1 0 1 1 ln x0 0, ln ( x1 ) 0,
( n 1) ( ) f ( n 1) ( ) k ( x)(n 1)!
f ( n 1) ( ) k ( x) (n 1)!
所以,
f ( n 1) ( ) R n ( x) ( x x0 ) ( x xn ) (n 1)!
n 1 ( x)
这样确定的
p ( x) 就是我们希望得到的插值函数
f(x) p(x)
p ( x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
数值分析 插值法定义
设函数
插值区间
[a上有定义，且 , b] y f在区间 ( x) a x0 x1 xn b
已知在点 x0 , x1 ,, xn 插值节点 y0 , y1 ,, yn 上的值 px a0 a1 x an x n 若存在一个次数不超过n次的多项式 满足 px i y i i 1,2, n 插值条件 则称 p(x) 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。 若 p(x)为分段多项式，就是分段多项式插值。若 p(x) 为三角 多项式，就称为三角插值。
( x 0)(x 2)(x 3) l0 ( x ) (1 0)(1 2)(1 3) ( x 1)(x 0)(x 3) l2 ( x) (2 1)(2 0)(2 3)
( x 1)(x 2)(x 3) l1 ( x) (0 1)(0 2)(0 3) ( x 1)(x 0)(x 2) l3 ( x) (3 1)(3 0)(3 2)
1 i j li ( x j ) 0 i j
L2 ( x) f ( x0 )l0 ( x) f ( x1 )l1 ( x) f ( x2 )l2 ( x)
数值分析
一般情形 求作 n次多项式 Ln ( x) : Ln ( xi ) yi f ( xi ), i 0,1, , n.
l 0 ( x) x ， x1 , x 0 x1
若记
则 L1 ( x )还可以写成
x x0 l1 ( x) x1 x0
1
L1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) yi li ( x)
i 0
数值分析
l i ( x) 称为插值基函数，且有如下特点
l 0 ( x 0 ) 1, l 0 ( x1 ) 0 l1 ( x 0 ) 0, l1 ( x1 ) 1
这是一个关于
1 D 1 1
a0 , a1 an 的n 1 元线性方程组。
范得蒙行列式
( xi x j ) 0
0 j i n
此方程组的系数行列式
x0 x1 xn x 02 x 0n x12 x1n
2 n xn xn
于是,此线性方程组有唯一解. 即次数不超过n次的插值多 项式 P( x) a0 a1 x a n x n 存在且唯一.
数值分析 我们需要解决以下的问题:
p(x)是否存在?是否唯一?
如何构造 p(x)? 收敛性及分析误差 |f (x)-p(x)|?
数值分析
6.2 Lagrange 插值多项式
插值多项式存在的唯一性
设 P(x) 是次数不超过n次的满足插值条件P(xi) =yi i =0, 1, … , n , 得到的插值多项式. 用 Hn 代表所有次数不超过n 次的多项式集合， 于是 P( x) H n .
x0 , x1 ,, xi 1 , xi , xn
且
li ( xi ) 1 ，
( x x0 )(x x1 )( x xi 1 )(x xi 1 )( x xn ) li ( x) ( xi x1 )(xi x1 )( xi xi 1 )(xi xi 1 )( xi xn )
考察 k ( x) ? 构造辅助函数
(t ) f (t ) Ln (t ) k ( x)(t x0 )(t xn ) and ( x) 0 易知 ( xi ) 0, i 0, n
数值分析
(t )
有n+2个零点. 反复应用罗尔定理, 有
, ( n 1) ( ) 0, (a, b)
L3 ( x) 2l 0 ( x) 0l1 ( x) 1l 2 ( x) 3l 3 ( x)
数值分析 Lagrange 插值多项式的误差分析
误差 Rn ( x) f ( x) Ln ( x) 称为插值多项式的余项。 假设 f (x) 有直到 n+1阶的导数, 分析
因为 f ( x i ) Ln ( x i ) , i 0, n 所以， R n ( x i ) 0 , i 0, n 于是，设 R n ( x) k ( x)( x x 0 ) ( x x n )
Ln为拉格朗日（ ( x) Lagrange）插值多项式， li ( x)(i 0,1,,称为以 n) x (i 0,1,, n)
i
为节点的拉格朗日（Lagrange）插值基函数。 上述构造插值多项式的方法称为基函数法。
数值分析
例 已知如下数据 (1,2), (0,0), (2,1), (3,3) 试构造三次插值多项式 L(x). 解
由于 的具体位置不可能给出,通常考虑的是截断误差限.
数值分析
例
1, 已知 sin 6 2
sin 1 , sin 3 4 3 2 2
0
解
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 5 50 并估计误差。 18
x2 x1 利用 x0 , x1 L1 ( x ) x / 4 1 x / 6 1 6 4 / 6 / 4 2 / 4 / 6 2 sin 50 0 内插通常优于外推。选择 L1 ( 5 ) 0.77614 这里 f ( x) sinx , f ( 2) ( x ) sin x , x ( , ) 18 6 3 ( 2) 要计算的 x 所在的区间的 f ( x ) 而 1 sin x 3 , R1 ( x ) ( x )( x ) 2 2 2! 6 4 端点，插值效果较好。 sin 50 = 0.7660444… 0.01319 R1 ( 5 ) 0.00762 18 外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001
数值分析
注: 如果不要求”次数不超过n次”, 满足插值条件的多项式就不唯一了.
例如:
( x) P( x) k ( x)( x x 0 )( x x1 ) ( x x n ),
其中， k ( x)是任意多项式。
Lagrange插值多项式的构造
一次插值
满足条件 L( x 0 ) y 0 , L( x1 ) y1
即
l i ( x j ) ij 1 0 i j i j
数值分析
二次插值(n=2)
插值基函数特点:
( x x1 )(x x2 ) 插值基函数 l0 ( x) ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x x0 )(x x2 ) l1 ( x) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x x0 )(x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
数值分析
n=2
(x (x (x 1 1 4 )( x 3 ) 6 )( x 3 ) 6 )( x 4 ) L2 ( x ) 3 ( 6 4 )( 6 3 ) 2 ( 4 6 )( 4 3 ) 2 ( 3 6 )( 3 4 ) 2
从几何上看，这就是过两点
(n 1) ，这时找一次多项式 L ( x), 1
使 L1 ( x) 的直线.
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
由解析几何知识知道，这条直线可用点斜式表示为
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
数值分析
或写成
x x0 x x1 L1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
列点 x i 上的函数值 y f ( x )(i 0,1,, n) i i 这只是一张函数表; 有的函数虽有解析表达式，但由 于分析性质复杂,例如 数,用牛顿-莱布尼兹公式不可行.
sin x 0 x dx 的计算,找不到原函
1Leabharlann Baidu
数值分析
p( x) f(x). 因此我们希望找到简单函数 近似 通常我们用代数多项式或分段代数多项式作为 ,) p( x p( xi ) f ( xi ) , i 0, 并使 1, , n 即p(x)通过所有的离散点.
, l0 ( xn ) 0 , l1 ( xn ) 0 , l n ( xn ) 1
数值分析
n 次多项式 l0 ( x) 有 n 个零点 x1 , x2 ,, xn
其中 A 为待定常数，把 x x0 到 l0 ( x0 ) 1 ，得 ，所以
l 0 ( x) A( x x1 )( x x 2 ) ( x x n )
代入上式，注意
1 A ( x 0 x1 )( x 0 x) ( x 0 x n )
则
( x x1 )(x x2 ) ( x xn ) l0 ( x) ( x0 x1 )(x0 x1 ) ( x0 xn )
数值分析
一般地，因 n 次多项式 li ( x) 有 n 个零点:
所谓次数不超过n次插值多项式P(x)存在且唯一，
就是指在集合 Hn中有且只有一个 P(x)满足插值条件.
数值分析
2 n 事实上,由插值条件可得 a 0 a1 x 0 a 2 x 0 a n x 0 y 0 a a x a x 2 a x n y 1 n 2 n n n n 0
n=1
分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算 x 0
利用 x1 , x2
4
3
~ 5 0 . 00538 R 0.00660 sin 50 0.76008, 1 18
内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596
y f ( x) 的 n次插值多项式可写成
Ln ( x)
n n n
于是得
yl
i 0
i i
( x)
( x
i 0 j 0 j i
x xj
i
xj
)y i
数值分析 易验证有 即 称
Ln ( xi )
y l (x )
i 0 i i i
n
yi ,
Ln满足插值条件 ( x) .
数值分析
Ch6 插值法
6.1 引言 6.2 拉格朗日插值多项式
6.3 牛顿插值多项式
6.4 埃尔米特插值多项式
6.5 分段低次插值、三次样条插值多项式
数值分析
6.1 引言
许多实际问题都用函数 y f ( x) 来表示某种内在规 律的数量规律的数量关系，其中相当一部分函数是通 过实验或观测的得到的.一般得到的只是[a, b]上一系
Ln ( x)
i 0
n
li ( x)
1 i j y i l i ( x ), l i ( x j ) 0 i j
称为Lagrange插值基函数.
l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0, l ( x ) 0, l ( x ) 1, 1 0 1 1 ln x0 0, ln ( x1 ) 0,
( n 1) ( ) f ( n 1) ( ) k ( x)(n 1)!
f ( n 1) ( ) k ( x) (n 1)!
所以,
f ( n 1) ( ) R n ( x) ( x x0 ) ( x xn ) (n 1)!
n 1 ( x)
这样确定的
p ( x) 就是我们希望得到的插值函数
f(x) p(x)
p ( x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
数值分析 插值法定义
设函数
插值区间
[a上有定义，且 , b] y f在区间 ( x) a x0 x1 xn b
已知在点 x0 , x1 ,, xn 插值节点 y0 , y1 ,, yn 上的值 px a0 a1 x an x n 若存在一个次数不超过n次的多项式 满足 px i y i i 1,2, n 插值条件 则称 p(x) 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。 若 p(x)为分段多项式，就是分段多项式插值。若 p(x) 为三角 多项式，就称为三角插值。
( x 0)(x 2)(x 3) l0 ( x ) (1 0)(1 2)(1 3) ( x 1)(x 0)(x 3) l2 ( x) (2 1)(2 0)(2 3)
( x 1)(x 2)(x 3) l1 ( x) (0 1)(0 2)(0 3) ( x 1)(x 0)(x 2) l3 ( x) (3 1)(3 0)(3 2)
1 i j li ( x j ) 0 i j
L2 ( x) f ( x0 )l0 ( x) f ( x1 )l1 ( x) f ( x2 )l2 ( x)
数值分析
一般情形 求作 n次多项式 Ln ( x) : Ln ( xi ) yi f ( xi ), i 0,1, , n.
l 0 ( x) x ， x1 , x 0 x1
若记
则 L1 ( x )还可以写成
x x0 l1 ( x) x1 x0
1
L1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) yi li ( x)
i 0
数值分析
l i ( x) 称为插值基函数，且有如下特点
l 0 ( x 0 ) 1, l 0 ( x1 ) 0 l1 ( x 0 ) 0, l1 ( x1 ) 1
这是一个关于
1 D 1 1
a0 , a1 an 的n 1 元线性方程组。
范得蒙行列式
( xi x j ) 0
0 j i n
此方程组的系数行列式
x0 x1 xn x 02 x 0n x12 x1n
2 n xn xn
于是,此线性方程组有唯一解. 即次数不超过n次的插值多 项式 P( x) a0 a1 x a n x n 存在且唯一.
数值分析 我们需要解决以下的问题:
p(x)是否存在?是否唯一?
如何构造 p(x)? 收敛性及分析误差 |f (x)-p(x)|?
数值分析
6.2 Lagrange 插值多项式
插值多项式存在的唯一性
设 P(x) 是次数不超过n次的满足插值条件P(xi) =yi i =0, 1, … , n , 得到的插值多项式. 用 Hn 代表所有次数不超过n 次的多项式集合， 于是 P( x) H n .
x0 , x1 ,, xi 1 , xi , xn
且
li ( xi ) 1 ，
( x x0 )(x x1 )( x xi 1 )(x xi 1 )( x xn ) li ( x) ( xi x1 )(xi x1 )( xi xi 1 )(xi xi 1 )( xi xn )
考察 k ( x) ? 构造辅助函数
(t ) f (t ) Ln (t ) k ( x)(t x0 )(t xn ) and ( x) 0 易知 ( xi ) 0, i 0, n
数值分析
(t )
有n+2个零点. 反复应用罗尔定理, 有
, ( n 1) ( ) 0, (a, b)
L3 ( x) 2l 0 ( x) 0l1 ( x) 1l 2 ( x) 3l 3 ( x)
数值分析 Lagrange 插值多项式的误差分析
误差 Rn ( x) f ( x) Ln ( x) 称为插值多项式的余项。 假设 f (x) 有直到 n+1阶的导数, 分析
因为 f ( x i ) Ln ( x i ) , i 0, n 所以， R n ( x i ) 0 , i 0, n 于是，设 R n ( x) k ( x)( x x 0 ) ( x x n )
Ln为拉格朗日（ ( x) Lagrange）插值多项式， li ( x)(i 0,1,,称为以 n) x (i 0,1,, n)
i
为节点的拉格朗日（Lagrange）插值基函数。 上述构造插值多项式的方法称为基函数法。
数值分析
例 已知如下数据 (1,2), (0,0), (2,1), (3,3) 试构造三次插值多项式 L(x). 解
由于 的具体位置不可能给出,通常考虑的是截断误差限.
数值分析
例
1, 已知 sin 6 2
sin 1 , sin 3 4 3 2 2
0
解
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 5 50 并估计误差。 18
x2 x1 利用 x0 , x1 L1 ( x ) x / 4 1 x / 6 1 6 4 / 6 / 4 2 / 4 / 6 2 sin 50 0 内插通常优于外推。选择 L1 ( 5 ) 0.77614 这里 f ( x) sinx , f ( 2) ( x ) sin x , x ( , ) 18 6 3 ( 2) 要计算的 x 所在的区间的 f ( x ) 而 1 sin x 3 , R1 ( x ) ( x )( x ) 2 2 2! 6 4 端点，插值效果较好。 sin 50 = 0.7660444… 0.01319 R1 ( 5 ) 0.00762 18 外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001
数值分析
注: 如果不要求”次数不超过n次”, 满足插值条件的多项式就不唯一了.
例如:
( x) P( x) k ( x)( x x 0 )( x x1 ) ( x x n ),
其中， k ( x)是任意多项式。
Lagrange插值多项式的构造
一次插值
满足条件 L( x 0 ) y 0 , L( x1 ) y1
即
l i ( x j ) ij 1 0 i j i j
数值分析
二次插值(n=2)
插值基函数特点:
( x x1 )(x x2 ) 插值基函数 l0 ( x) ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x x0 )(x x2 ) l1 ( x) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x x0 )(x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
数值分析
n=2
(x (x (x 1 1 4 )( x 3 ) 6 )( x 3 ) 6 )( x 4 ) L2 ( x ) 3 ( 6 4 )( 6 3 ) 2 ( 4 6 )( 4 3 ) 2 ( 3 6 )( 3 4 ) 2
从几何上看，这就是过两点
(n 1) ，这时找一次多项式 L ( x), 1
使 L1 ( x) 的直线.
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
由解析几何知识知道，这条直线可用点斜式表示为
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
数值分析
或写成
x x0 x x1 L1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
列点 x i 上的函数值 y f ( x )(i 0,1,, n) i i 这只是一张函数表; 有的函数虽有解析表达式，但由 于分析性质复杂,例如 数,用牛顿-莱布尼兹公式不可行.
sin x 0 x dx 的计算,找不到原函
1Leabharlann Baidu
数值分析
p( x) f(x). 因此我们希望找到简单函数 近似 通常我们用代数多项式或分段代数多项式作为 ,) p( x p( xi ) f ( xi ) , i 0, 并使 1, , n 即p(x)通过所有的离散点.
, l0 ( xn ) 0 , l1 ( xn ) 0 , l n ( xn ) 1
数值分析
n 次多项式 l0 ( x) 有 n 个零点 x1 , x2 ,, xn
其中 A 为待定常数，把 x x0 到 l0 ( x0 ) 1 ，得 ，所以
l 0 ( x) A( x x1 )( x x 2 ) ( x x n )
代入上式，注意
1 A ( x 0 x1 )( x 0 x) ( x 0 x n )
则
( x x1 )(x x2 ) ( x xn ) l0 ( x) ( x0 x1 )(x0 x1 ) ( x0 xn )
数值分析
一般地，因 n 次多项式 li ( x) 有 n 个零点: