平新乔课后习题详解(第10讲--策略性博弈与纳什均衡)

平新乔《微观经济学十八讲》第10讲策略性博弈与纳什均衡

1 •假设厂商A与厂商B的平均成本与边际成本都是常数，MC A=10，MC B =8，对厂

商产出的需求函数是

Q D二500 -20 p

(1)如果厂商进行Bertrand竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？

(2)每个厂商的利润分别为多少？

(3)这个均衡是帕累托有效吗？

解：(1)如果厂商进行Bertrand竞争，纳什均衡下的市场价格是p B =10 一；，p A =10 , 其中；是一个极小的正数。理由如下：

假设均衡时厂商A和B对产品的定价分别为p A和p B,那么必有p A刃0 , p B K8，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。其次，达到均衡时，p A和p B都不会严格大于10。否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高

自己的利润。所以均衡价格一定满足p A空10 , p B・「0。但是由于p A的下限也是10,所以均衡时P A =10。给定P A =10 ,厂商B的最优选择是令P B =10- ；，这里：是一个介于0到2 之间的正数，这时厂商B可以获得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价格为P A =10 , P B =10 -；。

(2)由于厂商A的价格严格高于厂商B的价格，所以厂商A的销售量为零，从而利润也是零。下面来确定厂商B的销售量，此时厂商B是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：

max pq —cq ①其中p =10 _ q =500 -20 107、把这两个式子代入①式中，得到：

max (10 —芯―)500 —20(10 —名卩

解得；=0,由于；必须严格大于零，这就意味着；可以取一个任意小的正数，所以厂商

B 的利润为：||500-20 10 -; 10-;。

(3)这个结果不是帕累托有效的。因为厂商B的产品的价格高于它的边际成本，所以

如果厂商B和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10一；之间的价格，那么厂商B的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A的剩余(因为A的利润

还是零)。

2.(单项选择)在下面的支付矩阵(表10-1 )中，第一个数表示A的支付水平，第二个数表示B 的支付水平，a、b、c、d是正的常数。如果A选择“下”而B选择“右”，那么：

(1) b .1 且d ：：：1

(2)c：：：1 且b ：::1

(3) b ：：：1 且 c :：: d

(4) b ::: c 且 d ：：：1

(5) a ：：：1 且b ::: d

【答案】(3)

【分析】由于(下，右)是均衡策略，所以给定B选择“右”，“下”是A的最优选择，这就意味着c ::: d ;同样的，给定A选择“下”，“右”也是B的最优选择，这就意味着 b ：：：1。

3•史密斯与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支

付给斯密3美元。如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。

(1)描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。

(2)如果每一个局中人以1的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有

3

一纳什均衡。这个对策的值是什么？

解：(1 )根据题意，构造如下的支付矩阵(表10-2 )(其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付) ：

表10-2 玩数字匹配游戏的支付矩阵

首先由史密斯来选择，假设史密斯选择1，并期望约翰选择1,从而使自己得到3的支

付。但是，如果史密斯选择1，则约翰一定会选择2或者3,从而使自己得到1,而不是-3。

假设约翰选择2,他期望史密斯选择1或者3,以使得自己得到1 ,而实际上史密斯会选择2, 使得约翰得到-3 ,等等。不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。因此，这个对策没有一个纯策略纳什均衡。

(2)假设均衡时，约翰选择1、2、3的概率分别为为、X2和1 -为-x2，那么此时史密斯在选择1、2、3之间是没有区别的，即：

3X1 - X2 - 1 - X1 - X2 = —X1 '3冷-1 - X1 - X2 = —X1 - X2 3 _ x-i - X2 i 从而解得

1

人=x2 =1 -为-X2

3

类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3。

4.假定世界上氟的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000克。世界对氟的需求是

Q =1000 T000p

其中p是每克的价格。

(1)如果所有拥有者合谋控制氟的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量

是多少？

（2） 为什么（1）中计算的价格是不稳定的？

（3） 通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定 的均衡时，氟的价格是多少？

解：（1 ）所有拥有者合谋控制氟的价格，此时总的利润函数为：

-1 —Q Q

V 1000 丿

利润最大化的一阶条件为：

兰亠丄Q=0

dQ 500

解得总供应量为Q =500 （克）。此时p=1

・Q =0.5 ,每个厂商的供应量为

1000

500/20 =25 （克）。

（2） 对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为 25克，那么他的利润最大化问 题为：

525 T max q q

1000

根据一阶条件解得：

q =262.5

可见在其他厂商的供应量为 25克的条件下，厂商 1增加供应量会提高自己的利润。类 似的结论对市场上的其他厂商也成立，所以合谋是不稳定的。

（3） 题目要求完全竞争市场的均衡结果。令 p 二MC ，得到氟的价格为零。市场上的总 供给量为1000克，每个成员的出售量为 50克。

5•在下表所示的策略型博弈（表

10-3 ）中，找出占优均衡。

答：对于行为人2而言，R 优于M ，所以行为人2将会剔除掉M 策略，只在R 、L 这 两个策略中进行选择； 对于行为人1来说，知道了行为人2会在L 、R 策略中选择，则U 占 优于M 和D 策略。当行为人2知道行为人1选择了 U 策略时，他则最终会选择 L 策略。所 以，最终的占优均衡为（U , L ）。

6 •模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：杆子、 老虎，鸡和虫子。输赢规则是：杆子降考虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人 同时出令。如果一个打败另一个，赢者的效用为

1,输者的效用为-1 ;否则，效用均为0。

写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。

答：（1 ）该题的支付矩阵（表 10-4 ）为：

表10-4 划拳博弈的支付矩阵