第2章 傅里叶变换.

输出信号的频谱是输入信号频谱和系统频率响应的乘积.( 时域卷积定理)
2.频域卷积定理
如果两个序列的时域乘积为 y(n) x(n) • h(n),则其频域
表示为:
Y (e jw ) 1 X (e j ) • H (e j(w ) )d
2
两个相乘序列的傅氏变换是各自的傅氏变换的卷积
2
利用上面的结论可得
y(n) 1 [H (e jw )e jwn H (e e j(w) jwn ] 2
设x(n)为实序列，
则
y(n) H (e jw ) cos[wn (w)]
由此可见，线性时不变系统对单频正弦信号的 响应为同频正弦信号，其幅度放大 H(e jw) 倍，相移 增加(w) ，这就是频率响应函数的物理意义。
c


sin cn n
理想低通滤波器频带有限，但为非因果且不稳定系 统，是物理不可实现的。
例:若x(n)为因果序列，且记 F [x(n)] ，X (求e j ) ？ F [x(2n)]
F [x(2n)] x(2n)e jn n0 x(0) x(2)e j x(4)e j2 x(6)e j3 L
k

如果令 H (e jw ) h(k)e jwk
系统的频率响应
k
则输出 y(n) e jwn H (e jw )
输出序列仍是输入序列同频率的复指数序列，只是幅值和相位发生变化
例：求正弦信号 x(n) cos(wn) 的稳态响应。
因为 x(n) cos(wn) 1 [e jwn e jwn ]
e j0n h(k )e j0k k
e j0n H (e j0 )
帕斯瓦尔定理
x(n) y *(n) 1
n
2

X
(e
为周期的周期函数。
2.3 傅里叶变换的性质
1.时域卷积定理
1. 如果一个线性时不变稳定系统的单位取样响应是h(n),其频率
响应是 H (e jw;该) 系统的输入序列是x(n),频谱是
的输出序列y(n)的频谱 是 Y (e jw )
X,则(e该jw )系统
Y (e jw ) X (e jw ) H (e jw )
1
h(n) RN (n)
0
0 n N 1 其他n
H (e j )
h(n)e jn
n
e N 1 jn
n0

1 e jN 1 e j

jN
e2
jN e 2
jN
e 2


sin

n
2
这就是说，在输出端该正弦被放大4.0928倍，移位了3.42个
样本。Matlab仿真验证如下：
二.离散系统频率响应
H (e是jw )一复数，它可以写成如下形式：
H (e jw ) HR (e jw ) jHI (e jw ) H (e jw ) exp j arg H (e jw )


e
j

(
N 2
1)
j
j
j
e 2 e 2 e 2


sin


2

由该式可得矩形窗的幅频响应和相频响应分别为:
H (e jw ) sin(wN / 2) / sin(w / 2)
arg H (e jw ) w(N 1) / 2 arg(sin(wN / 2)) sin(w / 2)
第2章 傅里叶变换
2.1 傅里叶变换 1.正变换:

F[x(n)] x(e j ) x(n)e jn , n
收敛条件为： x(n) n
2.反变换: F 1[ X (e j )] x(n)
1 x(e j )e jnd
2
例:求矩形窗的频率响应.
对于线性时不变系统，若输入序列为 x(n) e j0n (复指数序列)，则 y(n) e j0n H (e j0 )
y(n) x(n) h(n) h(n) x(n)
h(k)x(n k) k
h(k)e j0 (nk ) k


1
[
x(
n)

(1)
n

x(n)]e
j
2
n
n0 2
1


x(n)e
j 2
n

1

x(n)(1)n

e
j
2
n
2 n0
2 n0

1
X
(e
j 2
)

1
2
2

j ( )n
x(n)e 2
n0

1
X
(e
j 2
)

1
X
(e
j( 2
)
)
2
2
注意:
其中系统频率响应的幅值和相位分别是：
H (e jw )

H
2 R
(e
jw
)

H
2 I
(e
jw
)
1 2
arg[H (e jw )] arctan H I (e jw ) / H R (e jw )
系统频率响应 H (e，jw )以及相应的幅频响应和相频
响应都是数字角频率W的连续函数，而且是以 2
当系统的频率响应为：H
(e
jw
)

1

，1 在稳态下，输入是
0.8e jw
x(n) cos(0，.0其5n频) 率为
百度文库
w0 ， 0经.05过 ,系0 统 0的稳态
响应为：y(n) 4.0928cos(0.05n 0.5377) 4.0928cos[0.05 (n 3.42)]
j( )
j
X (e 2 ) X (e 2 )
2.2 线性移不变系统的频率响应
一.离散系统对复指数序列 e j的wn 响应
设输入序列 x(n) ， e则jwn

y(n) h(n) * x(n) h(k)e jw(nk)
k

e jwn h(k )e jwk
例:一个理想低通滤波器的频率响应如下,试求该系
统的单位取样响应.
H (e j )
H
(e
jw
)

0
1
( w wc )
(wc w
其中 wc 截止频率 .
1
2 c 0 c
2

h(n) 1
2

H (e j )e jnd

1
2
e d c jn