假设检验-方差分析

原假设H0： µx= µy 或µx- µy =0
检验统计量：
t=
( x − y ) − (µ x − µ y ) sw 1 1 + n1 n 2
~ t ( n1 + n 2 − 2)
其中
2 ( n1 − 1) s12 + ( n 2 − 1) s 2 2 sw = n1 + n 2 − 2
注意：在原假设成立的条件下有µ 注意：在原假设成立的条件下有µx- µy =0
1、P值法 (1)提出原假设H0：µ=2，备择假设H1： µ≠2 (2)计算样本值：已知σ=0.028，x =1.96，在原假设成 立的条件下检验统计量的样本值为
u=
x − µ0 σ/ n
=
1 . 96 − 2 0 . 028 / 6
= − 3 . 4993
(3)求出P值：以|u|=3.4993作为双侧临界值up/2，在H0成立 的条件下有：
x − µ0 x − µ0 p = P ≥ 3.4993 = P ≥ u p / 2 = 0.0004815 σ/ n σ/ n
下拒绝H （4）作出结论：p<0.001，在显著性水平α=0.001下拒绝 0。 ）作出结论： ，在显著性水平α 下拒绝
u=
x − µ0 σ/ n
=
1 . 96 − 2 0 . 028 / 6
= − 3 . 4993
(3)给定α求临界值：取α=0.05，查表得u0.05/2=1.96， 由于|u|>1.96，故在显著性水平α=0.05下拒绝H0。
2、置信区间法 (1)提出原假设H0：µ=2，备择假设H1： µ≠2 (2)给定α求置信区间：取α=0.05，查表得u0.05/2=1.96， σ=0.028， =1.96，则: x 置信下限： x − uα / 2 σ = 1.96 − 1.96 × 0.028 = 1.94
s w = 0.03249
故在H0成立的条件下检验统计量的样本值：
t= sw
x− y 1 1 + n1 n2
=
0.503 − 0.55 1 1 0.03249 × + 6 7
= −2.5646
给定α 给定α=0.05，df=6+7-2=11，查表得 0.05/2=2.201。 ， ，查表得t 。 ， 由|t|=2.5646> t 0.05/2=2.201，p<0.05, 故在显著性水 下拒绝原假设H 平α=0.05下拒绝原假设 0，即两厂生产的药物含量 下拒绝原假设 有显著性差异。 有显著性差异。
它是实数轴的一部分。当拒绝域位于数轴两端 时，即： S 0 = (−∞, a] ∪ [b,+∞) 相应的假设检验称为双侧检验。 当拒绝域位于数轴一端时，即：
S 0 = (−∞, a ]或S 0 = [b,+∞)
相应的假设检验称为单侧检验。 a，b称为临界值。
χ 2 方分布、t分布和 当统计量Ｓ服从标准正态分布、
（1）配对比较t检验 在医药实验研究中，常把研究对象按某种特征配成对子， 把同对中的一个对象分配到处理组（实验组），另一个分配到 对照组，称为配对设计。这种设计得到的两组数据不是相互独 立的，我们可以把各对数据的差值d的随机变化看成为由大量、 微小、独立的随机因素综合作用的结果，可认为d~N(µd，σd2)， 其中σd未知。
采用临界值法。 (1)提出原假设H0：µ=0.5，备择假设H1： µ≠0.5 (2)计算样本值：把µ0=0.5 ， =0.47，s=0.05，n=25代 x 入检验统计量，在原假设成立的条件下检验统计量 的样本值为
t =
x − µ0 s/ n
=
0 . 47 − 0 . 5 0 . 05 / 25
= −3
2 d
t=
0.490 0.549 / 14
= 3.34
由α=0.01及df=14-1=13，查表得 0.01/2(13)=3.012，由 及 ，查表得t ， 故在显著性水平α 下拒绝H0。 于|t|>3.012，p<0.01, 故在显著性水平α=0.01下拒绝 。 ， 下拒绝 即高压氧治疗前后冠状循环指数有显著性差异。 即高压氧治疗前后冠状循环指数有显著性差异。
三、两类错误
实际情况 判断 接受H0 拒绝H0
记
H0为真 正确 第一类错误
H0不真 第二类错误 正确
α = P( s ∈ S 0 | H 0为真)， α = P( s ∉ S 0 | H1为真)
称α为犯第一类错误的概率，β为犯第二类错误概率。
第二节 假设检验的常用方法 第三节 正态总体数学期望的假设检验 一、σ已知的正态总体均数的U检验 设X1，X2，...，Xn是来自正态总体N(µ,σ2)的样 本，且σ已知，原假设H0： µ= µ0；H1： µ≠µ0； 在原假设成立的条件下检验统计量：
t =
x − µ0 s/ n
=
0 . 47 − 0 . 5 0 . 05 / 25
= −3
(3) 由α=0.01及df=25-1=24，查表得 及 ，查表得P(|t|>3)=p<0.01, 拒绝 H0(0.001<p<0.01)。即该厂生产的这批药片不符合规定。 。即该厂生产的这批药片不符合规定。
（二）两个正态总体的检验 1、配对比较与成组比较
例 甲乙两厂生产同一药物，现分别从其产品中抽取若 干样品测定其含量，结果如表：
甲厂 0.51 0.49 0.52 0.55 0.48 0.47 乙厂 0.56 0.58 0.52 0.59 0.49 0.57 0.54
若已知两厂产品的药物含量均服从正态分布，且方差相等。 试问两厂生产的产品总体均数有显著性差异？ 分析：X~N(µ1，σ12)，Y~N(µ2，σ22)，且σ1= σ2= σ。 原假设H0：µx- µy =0， 检验统计量：
(3)给定α求临界值：由α=0.01及df=25-1=24，查表得 给定α求临界值： 给定 及 ， t0.01/2(24)=2.797，由于 ，由于|t|>2.797，故在显著性水平 ， 下拒绝H α=0.01下拒绝 0。即该厂生产的这批药片不符合规 下拒绝 定。
采用P值法。 (1)提出原假设H0：µ=0.5，备择假设H1： µ≠0.5 (2)计算样本值：把µ0=0.5 ， =0.47，s=0.05，n=25代 x 入检验统计量，在原假设成立的条件下检验统计量 的样本值为
（2）成组T检验
有些试验不便作配对设计，而是把实验对象随机地 分成两组（两组个数可以不相等），然后对两组作不同 处理，观察某一指标的变化。这种的设计属于完全随机 化的设计，得到的两组数据是相互独立。 设x1，x2，...，xn1是来自正态总体N(µx，σx2)，y1， y2，...，yn1是来自正态总体N(µy，σy2)，且σx= σy。 试问两个总体均数是否有显著性差异？
二、σ未知的正态总体均数的t检验 （一）单个正态总体数学期望t检验 设X1，X2，...，Xn是来自正态总体N(µ,σ2)的样本，且σ 未知，原假设H0： µ= µ0；H1： µ≠µ0；
x − µ0 检验统计量： t = ~ t ( n − 1) s/ n
例：按规定，作用强烈的某和药片的平均片重为0.5，且服 从正态分布。现从某厂随机抽取25片检查，称得平均片重 为0.47毫克，标准差为0.08毫克。试问这批药片的平均片 重符合要求否？
X −µ X − 0 .5 U= = ~ N (0,1) σ / n 0.01 / 12
例子
查表得： P(| U |≥ 1.96) = 0.05 把样本观测值代入统计量的：
0 . 4938 − 0 . 5 u= = − 2 . 1477 0 . 01 / 12 | u |= 2 . 1477
一次试验使得小概率事件发生，我们认为这 是不可能的。问题出在哪里？显然数学推理没有 错误，错误出在原假设。因此拒绝原假设，即认 为该厂生产的药片平均片重不符合规定。
U= X − µ0 ~ N (0,1) σ/ n
1、临界值法 2、置信区间法
3、P值法
例子
例：从总体N(µ，0.0282)中取得一组样本观 察值：1.98，1.88，2.06，2.00，1.80，2.04。 试用三种方法判断µ=2是否成立？
1、临界值法 (1)提出原假设H0：µ=2，备择假设H1： µ≠2 (2)计算样本值：已知σ=0.028，x =1.96，在原假设成 立的条件下检验统计量的样本值为
n 6
置信上限： x + uα / 2 σ = 1.96 + 1.96 × 0.028 = 1.98
n 6
置信区间：（1.94，1.98） (3)作出判断结论：因为在H0成立的条件下 作出判断结论：因为在 成立的条件下95%的置信区间 作出判断结论 的置信区间 不包含µ ，故在显著水平α 下拒绝H 不包含µ0=2，故在显著水平α=0.05下拒绝 0。 下拒绝
表：
病例号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 合计 治疗前 0.577 0.472 0.698 0.569 1.129 0.694 0.487 0.792 0.648 0.583 0.654 0.402 0.856 0.606 治疗后 2.067 1.000 1.066 0.880 3.044 0.786 0.833 0.961 1.044 0.584 1.016 0.619 1.499 0.627 差值d 1.490 0.528 0.368 0.311 1.915 0.092 0.346 0.169 0.396 0.001 0.362 0.217 0.643 0.021 6.859 d2 2.220 0.279 0.108 0.097 3.667 0.009 0.120 0.029 0.157 0.000 0.131 0.047 0.413 0.000 7.277
第六章 假设检验
第一节 假设检验的基本思想 预先对未知总体作出假设，再根据实测 样本的信息去检验假设的合理性，作出对假 设的判断，这种关于总体的假设称为统计假 设。 处理假设的统计方法称为统计假设检验 （hypothesis testing）。
例子
作用强烈的某种药物,按规定每片的有 效成分含量服从N(0.5，0.012)。某厂生产这 种药品，问如何监控这个药厂生产的药品是 否符合要求？ 解：检验假设H0： µ=0.5 在原假设成立的条件下
解：原假设H0： µd=0 计算如下：
1 14 6.859 d = ∑di = = 0.490 14 i =1 14 1 14 1 14 2 d 2 2 s = ∑ (d i − d ) = 13 ∑ d i − 14 = 0.301 14 − 1 i =1 i =1 sd = 0.549
Ｆ分布时，分别称为u-检验、χ 检验、 t-检验和F2
检验。
３、对于给定的α值作出检验结论，并给以 专业解释
先由样本值计算检验量S的值s，称为检验统计量 的观测值，按如下原则作出检验结论： 若s∈S0，则拒绝H0；否则不能拒绝H0。根据具 体问题给出专业解释。 注：拒绝原假设H0：μ=0.5时，正确的说法是“在 α=0.05的水平下数学期望μ与0.5有显著性差异” 或“在α=0.05的水平下μ与0.5的差异有统计学意 义”。不能说“μ不等于0.5”。
一、小概率原理
小概率事件在一次试验中不会发生。 二、假设检验步骤 １、提出原假设Ｈ0和备择假设H1 ２、在原假设成立的条件下，构造一个分布已知的 统计量 用于检验原假设的合理性的统计量称为检验统 计量，简称检验。如S=f(X1,X2,…,Xn)使得 P(S∈S0)=α,即S∈S0是一个小概率事件。称S0为拒 绝域或临界域。
t = ( x − y ) − (µ x − µ y ) sw 1 1 + n1 n 2 ~ t ( n1 + n 2 − 2 )
解：原假设H0：µx- µy =0 已知： n = 6, x = 0.503, s 2 = 0.000ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6667 1 1
2 n 2 = 7, y = 0.55, s 2 = 0.0012667 2 ( n1 − 1) s12 + ( n2 − 1) s 2 2 sw = = 0.0010849 n1 + n 2 − 2
一、配对T检验
原假设H0： µd=0 检验统计量： t =
d − µd sd / n ~ t ( n − 1)
注意在原假设成立的条件下有µ 注意在原假设成立的条件下有µd =0 例 14例冠心病患者给以高压氧治疗，治疗前后作同位 数冠状循环指数测定，结果见表，试问高压氧治疗前后 冠状循环指数有无显著性差异？