2021新高考数学新课程复习课件-第八章-第3讲-圆的方程

(3)若原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5 的内部，则实数 m 的取值范围是 _(_－__1_,1_)__．
解析 因为原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5 的内部，所以(0－2m)2＋(0 －m)2<5.解得－1<m<1.
(4)圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程为_x2_＋__(_y－__2_)_2_＝__1．
解析 解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则
a2＋b2＝r2， 有1－a2＋1－b2＝r2，
2a＋3b＋1＝0，
a＝4， 解得b＝－3，
r＝5.
所以圆的标准方程是(x－4)2＋
(y＋3)2＝25.
解法二：(直接法)由题意，知 OP 是圆的弦，其垂直平分线为 x＋y－1 ＝0.因为弦的垂直平分线过圆心，
D.(x－1)2＋(y－ 3)2＝4
答案 D
解析
设圆(x－2)2＋y2＝4
的圆心(2,0)关于直线
y＝
3 3x
对称的点的坐标
a－b 2·33＝－1，
为(a，b)，则有 2b＝
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据 已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值．见举例说 明 2.
1.圆(x－2)2＋y2＝4
关于直线
y＝
3 3x
对称的圆的方程是(
)
A.(x－ 3)2＋(y－1)2＝4
B.(x－ 2)2＋(y－ 2)2＝4
C.x2＋(y－2)2＝4
1
PART ONE
基础知识过关
1．圆的定义及方程
平面内与 □01 定点
定义 的集合(轨迹)
的距离等于 □02 定长 的点
标准方程
□03 (x－a)2＋(y－ 圆心：□04 (a，b) ，
b)2＝r2(r>0)
半径： □05 r
□ 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 圆心： 06 －D2 ，－E2 ，
入，得23DD－பைடு நூலகம்4EE＋－FF＝＝－201，0.
① ②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
设 x1，x2 是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6 有 D2－4F＝36，④ 由①②④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8 或 D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0.
第八章 平面解析几何
第3讲 圆的方程
[考纲解读] 1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能 根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)
2.掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测 2021 年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问 题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.
(4)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 A＝C≠0，
B＝0，D2＋E2－4AF＞0.( √ )
2．小题热身 (1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
1．概念辨析
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆心为－2a，－a，半径为
1 2
－3a2－4a＋4的圆．( × )
(3)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程是(x－x1)(x
－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ )
解析 由题意，可设所求圆的方程为 x2＋(y－b)2＝1，因为此圆过点 (1,2)，所以 12＋(2－b)2＝1，解得 b＝2.故所求圆的方程为 x2＋(y－2)2＝1.
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 求圆的方程
1．经过点 P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线 2x＋3y＋1＝0 上的圆的 标准方程为__(_x_－_4__)2_＋__(_y＋__3_)_2_＝__2_5_____．
答案 D 解析 由已知，得所求圆的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 12＋12＝ 2， 所以此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)若方程 x2＋y2＋mx－2y＋3＝0 表示圆，则 m 的取值范围是( ) A．(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞) B．(－∞，－2 2)∪(2 2，＋∞) C．(－∞，－ 3)∪( 3，＋∞) D．(－∞，－2 3)∪(2 3，＋∞) 答案 B 解析 若方程 x2＋y2＋mx－2y＋3＝0 表示圆，则 m 应满足 m2＋(－2)2 －4×3>0，解得 m<－2 2或 m>2 2.
所以由2x＋x＋y－3y＋ 1＝1＝ 0，0， 得xy＝ ＝4－，3， 即圆心坐标为(4，－3)，半径为 r＝ 42＋－32＝5， 所以圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
2．一圆经过 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6，求此圆的方程．
解 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将 P，Q 两点的坐标分别代
□ 0(D2＋E2－4F>0)
07 1 半径： 2
D2＋E2－4F
2．点与圆的位置关系
平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 之间存在着下列关
系：
设 d 为点 M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离
□ (1)d>r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M 在 01 圆外 ； □ (2)d＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在 02 圆上 ； □ (3)d<r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M 在 03 圆内
求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出 方程．见举例说明 1 解法二. (2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已 知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值．见举例说明 1 解法一.